Condition d'existence des racines

$\beta=x_1+x_2\alpha $ avec $ x_1,x_2 \in K$
$ \beta^2=x_{1}^2+2x_2x_1\alpha+x_{2}^2\alpha^2$
si $\beta$ est racine de $x^2-\alpha$ alors on aura
$\alpha=x_{1}^2+2x_2x_1\alpha+x_{2}^{2}\alpha^2$
en notant $ P(X)= x_{2}^2X^2+(2x_{1}x_{2}-1)X+x_{1}^2$
on $ P(\alpha)=0$ ce qui implique $ X^2-a\mid P(X)$
le discriminant $\Delta$ doit être un carré comme $ \Delta=(2x_1x_2-1)^2-4x_{1}^2x_{2}^2=-(4x_{1}x_{2}-1)$
Mon problème est le choix de bons candidats pour $x_1,x_2$
J'ai vu on a nécessairement $ 2x_1x_2=1$ donc
$x^2-a\mid x_{2}^2X^2+x_{1}^2$ $$ x^2-a\mid x_{2}^2(X^2+\frac{x_{1}^2}{x_{2}^2})=x_{2}^2(X^2+4x_{1}^4)$$

Merci @raoul.S