Condition d'existence des racines
Bonsoir à tous
Quelqu'un peut-il me donner une indication pour résoudre cet exercice ?
Soit $K$ un corps, $a$ un élément de $K$ tel que $a\neq0,\ a\neq1$ et $car(K)\neq2$.
On suppose que $x^2-a$ est irréductible sur $K$ et on note $\alpha$ une de ses racines dans une extension de $K$.
Montrer que $x^2-\alpha$ a une racine dans $K(\alpha)$ si et seulement si $\exists x \in K$ tel que $-4a=x^4$.
Quelqu'un peut-il me donner une indication pour résoudre cet exercice ?
Soit $K$ un corps, $a$ un élément de $K$ tel que $a\neq0,\ a\neq1$ et $car(K)\neq2$.
On suppose que $x^2-a$ est irréductible sur $K$ et on note $\alpha$ une de ses racines dans une extension de $K$.
Montrer que $x^2-\alpha$ a une racine dans $K(\alpha)$ si et seulement si $\exists x \in K$ tel que $-4a=x^4$.
Réponses
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Comment peut-on exprimer un élément $\beta \in K(\alpha)$ en fonction de $\alpha$ ?
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$\beta=x_1+x_2\alpha $ avec $ x_1,x_2 \in K$
$ \beta^2=x_{1}^2+2x_2x_1\alpha+x_{2}^2\alpha^2$
si $\beta$ est racine de $x^2-\alpha$ alors on aura
$\alpha=x_{1}^2+2x_2x_1\alpha+x_{2}^{2}\alpha^2$
en notant $ P(X)= x_{2}^2X^2+(2x_{1}x_{2}-1)X+x_{1}^2$
on $ P(\alpha)=0$ ce qui implique $ X^2-a\mid P(X)$
le discriminant $\Delta$ doit être un carré comme $ \Delta=(2x_1x_2-1)^2-4x_{1}^2x_{2}^2=-(4x_{1}x_{2}-1)$
Mon problème est le choix de bons candidats pour $x_1,x_2$
J'ai vu on a nécessairement $ 2x_1x_2=1$ donc
$x^2-a\mid x_{2}^2X^2+x_{1}^2$ $$ x^2-a\mid x_{2}^2(X^2+\frac{x_{1}^2}{x_{2}^2})=x_{2}^2(X^2+4x_{1}^4)$$ -
Tu ne peux pas choisir $x_1,x_2$ vu qu'ils sont imposés par $\beta$. À moins que quelque chose m'échappe...
Mais tu peux t'en sortir en utilisant le fait que $X^2-a\mid P(X)$ car ceci impose des relations que $x_1,x_2$ doivent vérifier... puis calculs faits tu devrais montrer que $2x_1$ fait l'affaire.
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