Domination
Bonjour
Je réfléchissais un peu sur le critère de domination qu'on voit dès la première année.
Critère.
Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ne s'annulent pas à partir d'un certain rang $N$.
$u_{n} \in O(v_{n})$ ssi la suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}})_{n \geq N}$ est bornée.
La Démo de mon cours.
Pour $n\geq N$ comme $v_{n}$ est non nulle, alors $|u_{n}|\leq \lambda.|v_{n}|$ ssi $|\frac{u_{n}}{v_{n}}| \leq \lambda$.
Ma question est peut-être étrange mais bon, je veux être éclairé.
Qu'est-ce qui nous fait dire que l'entier $N$ est celui qui entraîne l'équivalence ?
En effet si je veux démontrer le résultat dans les deux sens.
Si je suppose que $u_{n} \in O(v_{n})$, lorsqu'il existe $M \in \mathbb{R_{+}}$, tel qu'il existe $N'$, pour tout $n\geq N'$ alors $|u_{n}|\leq M|v_{n}|$.
Je pense que prendre $n\geq \max\{N,N'\}$ permet d'avoir $(\frac{u_{n}}{v_{n}})_{n \geq N}$ est bornée. Et on ne dit pas si la suite précédente est bornée à partir d'un certain rang. La démonstration du livre n'est-elle pas un peu floue sur le choix de $n$ ?
Si je trace un graphique pour illustrer ce que je pense, on a
Je réfléchissais un peu sur le critère de domination qu'on voit dès la première année.
Critère.
Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ne s'annulent pas à partir d'un certain rang $N$.
$u_{n} \in O(v_{n})$ ssi la suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}})_{n \geq N}$ est bornée.
La Démo de mon cours.
Pour $n\geq N$ comme $v_{n}$ est non nulle, alors $|u_{n}|\leq \lambda.|v_{n}|$ ssi $|\frac{u_{n}}{v_{n}}| \leq \lambda$.
Ma question est peut-être étrange mais bon, je veux être éclairé.
Qu'est-ce qui nous fait dire que l'entier $N$ est celui qui entraîne l'équivalence ?
En effet si je veux démontrer le résultat dans les deux sens.
Si je suppose que $u_{n} \in O(v_{n})$, lorsqu'il existe $M \in \mathbb{R_{+}}$, tel qu'il existe $N'$, pour tout $n\geq N'$ alors $|u_{n}|\leq M|v_{n}|$.
Je pense que prendre $n\geq \max\{N,N'\}$ permet d'avoir $(\frac{u_{n}}{v_{n}})_{n \geq N}$ est bornée. Et on ne dit pas si la suite précédente est bornée à partir d'un certain rang. La démonstration du livre n'est-elle pas un peu floue sur le choix de $n$ ?
Si je trace un graphique pour illustrer ce que je pense, on a
Réponses
-
Tu as raison, le $N$ qui permet de donner un sens à $(u_n/v_n)_{n\ge N}$ n'a aucune raison de convenir pour assurer que $u_n\le\lambda v_n$ ou que $\frac{u_n}{v_n}\le\lambda$. Ce n'est pas un problème pour autant.
Ce qui est écrit, c'est « $u_n\le \lambda v_n$ SSI $\frac{u_n}{v_n}\le\lambda$ » pour tout $n\ge N$.
Il n'est pas écrit que ces inégalités sont vraies pour tout $n\ge N$ ! Il est sous-entendu qu'elles le sont pour « $n$ assez grand ». Autrement dit, si on fait l'hypothèse de domination $u_n=O(v_n)$ ou l'hypothèse que $(u_n/v_n)_{n\ge N}$ est bornée, alors il existe $\lambda>0$ et $N'\ge N$ tels que l'une des inégalités est satisfaite, auquel cas l'autre l'est automatiquement. Cela entraîne l'équivalence. -
Merci MC, je me disais la même chose :-)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres