Étude de la convergence d'une série moche

Voici comment je verrais les choses, moi je préfère les $o(...)$.
Soit $u_{n}=\sqrt[n+1]{n}-\sqrt[n]{n+1}$, alors :
$u_n=e^{\frac{1}{n+1}\ln n}-e^{\frac{1}{n}\ln
(n+1)}=e^{\frac{1}{n}\ln (n+1)}(e^{\frac{1}{n+1}\ln n-\frac{1}{n}\ln(n+1)}-1)$$\sim e^{v_{n}}-1$,
avec $v_{n}=\frac{1}{n+1}\ln n-\frac{1}{n}\ln (n+1)$.

Or : $\frac{1}{n+1}\ln n=\frac{1}{n(1+\frac{1}{n})}\ln n=\frac{1}{n}(1-\frac{1%
}{n}+o(\frac{1}{n}))\ln n=\frac{\ln n}{n}-\frac{\ln n}{n^{2}}+o(\frac{\ln n}{%
n^{2}})$
et : $\frac{1}{n}\ln (n+1)=\frac{1}{n}(\ln n+\ln (1+\frac{1}{n}))=\frac{\ln n}{%
n}+\frac{1}{n^{2}}+o(\frac{1}{n^{2}})$.

D’où : $v_{n}=\frac{1}{n+1}\ln n-\frac{1}{n}\ln (n+1)=-\frac{\ln n}{n^{2}}+o(\frac{\ln n}{n^{2}})\sim -\frac{\ln n}{n^{2}}$,
et enfin : $u_{n}\sim e^{v_{n}}-1\sim v_{n}\sim -\frac{\ln n}{n^{2}}$.
Au fond, ce n'est pas si moche...
Bonne journée.
Fr. Ch.

On peut simplifier un tout petit peu la démonstration de Chaurien en écrivant :

$v_{n}=\dfrac{1}{n+1}\ln n-\dfrac{1}{n}\ln n-\dfrac{1}{n}\ln (1+1/n)=-\dfrac{\ln n}{n(n+1)}-\dfrac{1}{n}\ln (1+1/n)\sim-\dfrac{\ln n}{n^2}$

puisque $\dfrac{1}{n}\ln (1+1/n)\sim \dfrac{1}{n^2}$ est négligeable devant $\dfrac{\ln n}{n^2}$.

Ici les équivalents suffisent, pas besoin de développement limité.