OIM 2021
dans Concours et Examens
Les Olympiades Internationales de Mathématiques se sont déroulées lundi et mardi derniers.
Initialement prévues pour se dérouler à Saint-Pétersbourg, elles ont été remplacées par des épreuves à distance, pour des raisons sanitaires évidentes. L'équipe de France a composé à Noisy-le-Grand, à l'université Gustave Eiffel.
Voici les énoncés, en version française, des deux journées d'épreuve, ainsi que le lien vers le site de la Préparation Olympique Française de Mathématiques, où sont narrées jour après jour les aventures de l'équipe :
https://maths-olympiques.fr/?p=7321
Les résultats seront disponibles en fin de semaine.
Vincent.
Initialement prévues pour se dérouler à Saint-Pétersbourg, elles ont été remplacées par des épreuves à distance, pour des raisons sanitaires évidentes. L'équipe de France a composé à Noisy-le-Grand, à l'université Gustave Eiffel.
Voici les énoncés, en version française, des deux journées d'épreuve, ainsi que le lien vers le site de la Préparation Olympique Française de Mathématiques, où sont narrées jour après jour les aventures de l'équipe :
https://maths-olympiques.fr/?p=7321
Les résultats seront disponibles en fin de semaine.
Vincent.
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Réponses
Pierre.
Quelle est la figure géométrique illustrée ?
Les résultats :
https://www.imo-official.org/year_country_r.aspx?year=2021
Sur les énoncés, rien à (re)dire sur le fond, toujours redoutables. Pas d'équation fonctionnelle, pas d'arithmétique, une inégalité de facture inhabituelle. Nos géo-maîtres sont sans doute contents. Juste quelques remarques superficielles de rédaction. Saluons le retour de Clara, l’héroïne française, au problème 1. Les écureuils du problème 5 auraient aussi pu recevoir d'autres noms, par exemple Plic et Ploc ;-). J'ai été surpris au problème 4 de voir apparaître l'« extension » d'un segment de droite, et j'ai mis deux minutes pour comprendre ce que c'est. C'est un anglicisme mal traduit : en français on dit « prolongement », et en espagnol « prolongación ».
La France est 27ème sur 108 pays participants, on peut s'en réjouir en effet. Dans les pays qui nous précèdent, on a les poids lourds, Russie, États-Unis, Chine « populaire », sans surprise. Plus des pays d'Europe centrale, qui ont une très ancienne tradition de compétitions mathématiques. Mais il y a aussi des petits pays, dont la population offre un vivier réduit de jeunes talents, et qui ont donc une politique très efficace de repérage et de préparation de ces jeunes.
Je suis convaincu que la France pourrait faire mieux. Pour moi c'est un problème politique et idéologique. Voir par exemple l'article « La noblesse scientifique » https://www.cairn.info/revue-actes-de-la-recherche-en-sciences-sociales-2017-5-page-68.htm cité par xax http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2215624,2277054#msg-2277054. Écrit par trois dits « sociologues », ce n'est pas un vrai travail universitaire mais un libelle idéologique au titre déjà scandaleux, écrit pour dénigrer l'idée qu'il y a des gens plus doués que d'autres, ce qui est visible en particulier ici. Tant qu'on financera sur deniers publics la propagation de pareilles sottises, l'ambiance ne sera pas favorable pour la promotion de compétitions scientifiques, et les seuls surdoués jugés admirables resteront les pousseurs de ballon.
Bonne journée.
Fr. Ch.
24/07/2021
Moi, je déplore qu'une fois de plus il n'y ait pas eu plus de participation féminine, beaucoup d'équipes étant clairement unisexes (et jamais dans le sens d'une équipe purement féminine, de toutes façons ce n'est pas utile car elles ont leur compétition européenne à part, l'egmo).
Certains pays ont osé la parité (Luxembourg, par exemple), mais je doute que cela soit par souci d'égalité quand on voit la taille de l'équipe (et qu'on connaît la taille du pays).
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Je crois que les jeux participent d'une tout autre dynamique, les aspects ludique et sportif étant quand même essentiels ; JLT en connaisseur nous avait instruit des méthodes de recrutement des autres pays qui sont un peu plus efficaces semble-t-il, mais qui parfois amènent aussi à un certain écœurement dans des régimes politiques un peu raides (cela existe aussi pour le sport).
Ces problèmes sont souvent de petits bijoux, quand j'essaye je fais vite goulp :-D on mesure l'incroyable dextérité et l'astuce nécessaires ; donc bravo pour les participants !
Ça y est, le couplet féministe-parité, etc. Normalement c'était FdP qu'on attendait sur ce coup, il est en vacances ?
Je n'ai pas contrôlé, mais ça manque aussi peut-être de rouquins, de natifs de Castelnaudary, d'amateurs de choucroute, etc.
Vous n'en avez pas marre d'aligner de tels poncifs ?
Je re-re-répète que l'idéologie branchée en vigueur c'est que homme-femme c'est du passé, on a un « genre » qui peut varier au gré de notre fantaisie, 52 nuances de genre selon Facebook : http://www.slate.fr/culture/83605/52-genre-facebook-definition sans doute plus encore pour d'autres sources.
Plus de messieurs-dames :
https://www.nouvelobs.com/monde/20180322.OBS4058/fini-les-monsieur-madame-dans-l-administration-canadienne-et-ca-ne-plait-pas-a-tous.html
https://www.bfmtv.com/international/europe/angleterre/les-transports-londoniens-ne-diront-plus-mesdames-et-messieurs-pour-s-adresser-aux-voyageurs_AN-201707170055.html
Alors pourquoi s'intéresser à la sacro-sainte parité ?
Moi je voudrais bien être un bon élève de ces idéologies modernes et les réciter comme tout un chacun, mais pardonnez-moi, elles se contredisent tellement, je n'y arrive pas.
Quelques impressions à chaud...
$50$ à $100$ % des participants des USA, du Royaume Uni, du Canada et de l'Australie sont des Asiatiques.
Très très bon classement pour l'Italie.
Résultats médiocres pour les pays européens méditerranéens (hors Italie) ou scandinaves.
Bons résultats pour les pays d'Europe Centrale.
A+
Pour ce qui est des résultats de l'Italie, cela ne m'étonne pas. Les lycées scientifiques (du Nord) ont un excellent niveau tant en maths qu'en physique. J'y ai passé un an quand j'avais l'âge d'être en première en France, et quel choc quand j'ai reçu mon manuel de maths épais comme un annuaire, c'était pas forcément d'une très grande profondeur mais au moins on apprenait vraiment à calculer. C'est aussi là-bas que j'ai découvert que ça me plaisait. On faisait de la thermodynamique et de la cinématique du point aussi, autant dire que le retour en France fut moins rude que l'arrivée en Italie. B-)
Cela fait des lustres que les femmes font de la littérature.
Pourquoi ne font-elles pas des math ? That is the question.
A+
Sinon, les groupes humains sont dissemblables; tout le monde comprenait ça jusqu'à cette mode woke qui doit dater de moins de 10 ans.
Si les OIM 2021 ne vous intéressent pas, on ferme !
AD
Voici ce que je propose pour l'exercice 2.
supprimé
L'idée n'aboutit pas ....je supprime tout.
Je trouve qu'il y a peu de participants aux coupes animaths et l'information est difficile d'accès. J'ai suivi animaths, mais j'ai quand même failli de rater celle d'automne. Et que dire des gens qui ne suivent pas !
Pour la prochaine coupe, pourriez-vous vous organiser, pour lancer l'information dès le début septembre ? Même si la coupe est dans 2-3 mois, c'est bien pour ratisser large.
Et un autre souci, mais c'est sur le site de POM. Hélas, les cours pour débutants sont maintenant hors sol. Le niveau a tellement baissé au collège, que sans aide d'un adulte c'est complétement inabordable pour les enfants. Même les plus intelligents n'y arriveront pas. Il manque un niveau zéro. Avez-vous prévu quelque chose sur le sujet ?
@xax, J'adore ce genre de problème. Cela nécessite de voir les choses de façon originale. Alors qu'en France tous les concours, y compris le concours général, misent au final sur le hors sujet. D'où la très forte inégalité en maths.
$\sqrt{|-1 -3|} + \sqrt{|3+1|}$ et $\sqrt{|-1 + 3|} + \sqrt{|3 - 1|}$
$2\sqrt{|-1 -3|} $ et $2 \sqrt{|3 - 1|}$
$4$ et $2\sqrt{2}$
L'inégalité n'est pas vérifiée.
Où ai-je faux ?
Ou je n'ai pas compris l'énoncé ?
Vivement les vacances dans une pièce climatisée! 8-)
Voilà ici ma solution au problème 3.
Cordialement,
Rescassol
« en France tous les concours, y compris le concours général, misent au final sur le hors sujet. D'où la très forte inégalité en maths.»
Complètement faux !
L'Italie n'est pas un petit pays et elle est arrivée huitième svp derrière les poids lourds. (:D Arriver 27ème sur 108 pour un pays comme la France qui a une très grande tradition mathématique c'est pas bon du tout. La France peut faire mieux. Elle peut faire mieux que l'Inde, les Philippines, le Kazakistan, la Thaïlande, la Pologne, l'Allemagne, la Mongolie etc.
[Merci de mettre des majuscules aux noms propres. AD
Un penchant pour la combinatoire m'a conduit à m'intéresser aux exercices $1,5,6.$
$\boxed {\text{Exercice}\: 1}$
Soit $N\geqslant 100, \quad n:=\Big \lfloor \sqrt {N+1}\Big \rfloor-1. \quad $ Alors $n\geqslant 9.\qquad$ On obtient les inégalités suivantes: $$(n+1)^2\leqslant N+1\leqslant (n+2)^2-1\\n^2+2n\leqslant N\leqslant n^2 +4n +2 \leqslant 2n^2 -4n \\N\leqslant a<b<c \leqslant 2N$$
avec $\quad a=2n^2 -4n, \quad b =2n^2 +1,\quad c =2n^2+4n.$
$a+b,\:a+c, \: b+c$ sont des carrés parfaits et deux des trois nombres $a,b,c $ sont dans le même tas.
$\boxed {\text{Exercice}\: 5}$
$N:=2021.\quad $Pour tout $k$ dans $ [\![1;N-1]\!]$, à l'issue de la $k$-ième modification, on colorie en blanc les noix dont le numéro est inférieur ou égal à $k$ et en noir les autres. On obtient ainsi une alternance de "blocs unicolores" et on note $a_k$ le nombre de "blocs blancs",égal au nombre de "blocs noirs".
On raisonne par l'absurde en supposant que:
Pour tout $k$ dans $ [\![1;N-1]\!]$, la $k$-ième modification a consisté à permuter des noix numérotées $a$ et $b$ telles que $(a-k)(b-k)>0.\quad (1)$
Alors, on déduit par récurrence que $\qquad \forall k \in [\![1;N-1]\!],\quad a_k\equiv k \mod 2.\qquad (2)$
C'est vrai pour $k=1$ car $a_1 =1.\quad$ Soit $k\in[\![1;N-2]\!].\:\:$ A l'issue de la $k$-ième modification, la noix $(k+1)$ est, en vertu de $(1)$, adjacente à deux noix de même couleur, de sorte que $a_{k+1} = a_k+1$ ou $a_{k+1} =a_k -1.\:\: $L'hypothèse de récurrence mène alors à $a_{k+1}\equiv k+1 \mod 2.$
D'autre part, à l'issue de la $N-1$-ième modification, on a clairement $a_{N-1} = 1$ , et cela contredit $(2)\:\square$
$\boxed {\text{Exercice}\: 6}$
Que dalle pour l'instant, et surtout pas l'ébauche d'une idée intéressante.
Problème 2 :
Pour tout $n$ entier non nul, pour tous les $\displaystyle x_i$ réels avec $\displaystyle i=1, ..., n$, montrer que $\displaystyle \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i - x_j|} \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i + x_j|} .$
$\bullet$ Pour tout $a $ réel, on calcule l'intégrale $\displaystyle I(a) = \int_0^{+\infty} {1 - \cos (a u) \over u^{3/2}} du = \sqrt{|a|} \int_0^{+\infty} {1 - \cos ( v) \over v^{3/2}} du = \sqrt{|a|} c$ avec $\displaystyle c =\sqrt{2 \pi}>0$. Pour cet exercice, on n'a pas besoin de calculer la constante $c$, seul son signe est suffisant (et évident). L'équation est établie par le changement de variables $\displaystyle u \leadsto v$ avec $\displaystyle v = au$ pour $a \neq 0$ ; le cas $a=0$ est évident.
$\bullet$ On établit sans difficulté l'identité $\displaystyle \cos|a-b| - \cos|a+b| = 2 \sin a \sin b.$
$\bullet$ On calcule alors $\displaystyle \sqrt{|x_i + x_j|} - \sqrt{|x_i - x_j|} ={1 \over c} \int_0^{+\infty} { \cos (|x_i - x_j| u) - \cos (|x_i + x_j| u) \over u^{3/2}} du = {1 \over c} \int_0^{+\infty} { 2 \sin(x_i u) \sin(x_j u) \over u^{3/2}} du.$
$\bullet$ La somme double est positive : $\displaystyle \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (\sqrt{|x_i + x_j|} - \sqrt{|x_i - x_j|} )={1 \over c} \int_0^{+\infty} {\displaystyle 2 \Big(\sum_{i=1}^n \sin(x_i u)\Big)^2 \over u^{3/2}} du \geq 0.$ La somme est nulle et donc on a égalité si et seulement si tous les $x_i$ sont nuls. Voilà !
Tu penses que c’est à la porté des lycéens qui ont participé à OIM?
Non, ce n'est pas à la portée de lycéens. Je ne savais pas que ce sont des lycéens.
En fait, l'idée est l'identité $\displaystyle \cos (a-b) - \cos(a+b) = 2 \sin a \sin b$, symétrique en $a,b$ qui permet par sommation d'avoir un carré.
A partir de là, il faut trouver un truc avec une racine et l'on cherche $\displaystyle\int {\cos a u \over u^y} dy$ : on trouve $y=3/2$ et on ajoute le $1-$ pour la convergence en $0.$ On prend $0, +\infty$ pour les bornes pour qu'elles ne dépendent pas de $a$ après le changement de variables.
Je vais essayer avec des moyens plus élémentaires.
Voilà ici ma solution au problème 4.
Cordialement,
Rescassol
Mais les jeunes participants sont généralement exceptionnellement doués et avancés, et il est possible que certains aient appris des mathématiques au-delà du programme de la classe qu'ils fréquentent. Si l'un d'eux propose une solution d'un tel niveau supérieur, cette solution sera tenue pour valable. Il n'y a donc aucune raison pour refuser la solution d'YvesM, qui est très inventive. Si je me trompe, que les autorités qui me liraient corrigent mes propos.
On trouve des solutions sur Internet, une avec une intégrale comme YvesM, et une autre sans. Si vous ne trouvez pas l'adresse je vous la donnerai.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Chaurien, si tu as une adresse à nous donner, ça m'intéresserait de voir d'autres solutions des problèmes 3 et 4.
Cordialement,
Rescassol
D'une façon générale, pour les solutions des compétitions, retenir le sigle AOPS (Art Of Problem Solving).
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=IMO_Problems_and_Solutions#2021
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Merci Chaurien.
Cordialement,
Rescassol
L’auteur du problème 2 est Calvin Deng
Dans les textes officiels, les sélectionnés doivent juste avoir moins de 20 ans (encore d'application dans les règles générales de 2019, cela peut être amendé par notification d'un jury mais je doute qu'un jury le fasse un jour).
Concernant le niveau des problèmes, il est établi de facto par la liste des problèmes que les chefs d'équipes invités (donc pas le pays hôte) sont tenus d'envoyer et de tenir secrets, ils ont aussi le devoir de signaler les propositions qui sont suffisamment populaires que pour être connues par une majorité des participants, dans le rayon anecdote, on peut aussi mentionner l'histoire du saut de Viète, peu connu des organisateurs lorsqu'ils ont proposé le dernier problème de l'olympiade 1988 en séchant dessus alors que des participants l'on brillamment résolu.
Cela peut donc se trouver dans le programme de secondaire ou pas, certains pays organisent d'ailleurs des Masterclass sur certains points spécifiques quand ils ne se trouvent pas dans leur programme de secondaire.
J'ai aussi entendu dire que le participant qui utilise une notion hors des programmes connus est tenu de montrer sa connaissance générale dessus pour le valider complètement (pas se contenter de donner le nom du résultat comme seul argument).
Je ne sais pas si ce dernier point est vrai car je ne l'ai pas vu dans les conditions de réponses.
À bientôt.
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Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
https://www.cantorsparadise.com/imo-a-celebration-of-difficult-problems-836368adcc09
Bonne journée.
Fr. Ch.
https://docplayer.fr/62972775-Au-coeur-des-o-i-m-pierre-bornsztein-et-xavier-caruso-septembre-que-sont-les-olympiades-internationales-de-mathematiques.html
Non, tout résultat référencé est accepté et aucun candidat n'est convoqué pour être "interrogé" plus avant. Un exemple célèbre est l'évocation du théorème de Chebotarev par plusieurs candidats bulgares pour la résolution du problème 6 de l'OIM 2003.
Idem pour le Combinatorial Nullstellenstaz pour le pb 6 de 2007.
Inversement, si un candidat donne un nom farfelu à un résultat histoire de faire passer un truc qu'il n'arrive pas à prouver, il faudra qu'il (ou plutôt son chef de délégation et son adjoint) donne une référence valable. Il est arrivé que des candidats français aient eu l'habitude de donner des noms personnels à certains résultats ("puzzle vivant", "lemme magique",...), laissant parfois les encadrants un peu démunis...
Une des principales missions du jury est de détecter si, en dehors du fait d'être déjà connu du monde des compétitions mathématiques, tel ou tel problème ne peut pas être trivialisé par un résultat de ce type. Bon, dans un cas comme dans l'autre, ça ne marche pas toujours...
De même, toute technique valide sera acceptée : Intégrales, algèbre linéaire, géométrie projective,... La seule contrainte est qu'un problème doit posséder une solution considérée comme "élémentaire".
Pour anecdote, lors du choix des problèmes par le jury et afin d'éliminer un problème que l'on considère comme peu attractif, une technique efficace consiste à chercher sur internet une référence, un article etc. Par exemple, cela a été le cas pour un exo de géométrie grâce à l'exhumation d'un article de 1905 et ré-oublié depuis.
Pierre.
Pierre.
À bientôt.
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Je n'ai résolu entièrement qu'un seul exercice. C'était de la géométrie et ma solution utilisait les nombres complexes, ce qui confirme ce qui a été dit plus haut sur ce fil.
Avec les années, ma capacité à résoudre ce genre d'exercices s'est assez peu améliorée.
P.S. J'y ai croisé le petit Tao, jeune adolescent qui grimpait sur les épaules de ses camarades plus âgés.
On trouve souvent exprimé ça et là des regrets sur le fait que la France, pourtant le pays des maths, n'a jamais brillé dans les classements, les médailles d'or, les scores parfaits ou autres prix spéciaux.
Quand on lit les témoignages on constate que la préparation et le recrutement n'ont jamais été optimaux, et que les compétiteurs français se signalent plus par le goût du jeu et l’enthousiasme, avec de bonnes têtes bien rigolardes. Personnellement ça me parait nettement moins grave que l'effondrement actuel du niveau.
J'ai trouvé un témoignage d'une mathématicienne chinoise formée et recrutée en France qui donne un point de vue sensiblement moins drôle sur le système de son pays d'origine https://www.insmi.cnrs.fr/fr/cnrsinfo/interview-de-wei-qian où apparemment des classes spécialisées sont organisées avec une ambiance qui semble bien pesante.
Corrélativement, le point de vue des autorités chinoises https://www.dailymotion.com/video/x15o6o4 semble peut-être posséder quand même une certaine justesse.