Problème de Bâle
À quoi à servit la résolution du problème de Bâle ?
Problème qui consistait à montrer que $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{\ 1}{\ n^2}=\frac{\ \pi^2}{\ 6}.$$
Problème qui consistait à montrer que $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{\ 1}{\ n^2}=\frac{\ \pi^2}{\ 6}.$$
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Réponses
Il a donné une heuristique qui permet de conjecturer des formes closes pour ces réels.
Mais, à ma connaissance, il n'a donné une preuve, qui est encore valide aujourd'hui, que pour $\zeta(2)$.
Ce n'est pas la "preuve" dont on parle sans arrêt , cette dernière n'en est pas une.
(désolé il n'est pas en accès libre)
Peut-être qu'au départ, la question "tiens, la somme des inverses des carrés, ça donne quelque chose ?" était sortie un peu de nulle part, ça je ne sais pas. Donc le problème de départ était, peut-être, complètement artificiel. Mais sa résolution a requis (et donc poussé à faire) des avancées en mathématiques, donc ça en valait le coup. Et le résultat en lui-même... il fait intervenir $\pi$, donc il y a un cercle quelque part dans le scénario, ce qui n'est pas évident au premier coup d'oeil : quel est le rapport entre la somme des inverses des carrés et un cercle ? Je n'ai jamais creusé la question, donc je n'en sais rien, mais ce rapport existe. Donc il y a des choses à apprendre.
Bon, et à part ça, ça permet aussi de calculer les décimales de $\pi$, je ne sais pas comment ils faisaient à l'époque et je ne me souviens plus de la vitesse de convergence de cette série, mais c'est là quand même.
Je ne pense pas qu'il soit très sain de se demander souvent si tel ou tel truc "sert à quelque chose".
Par contre, merci à FdP de nous avoir signalé l'article de Nick Lord, que voici.
Cela irait peut être mieux si tu trouves une expression simple de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^3} $ (:P)
Euler a procédé de cette façon me semble-t-il:
Au départ, il n'avait aucune idée de ce que pouvait être une forme close pour cette série.
Il a commencé par se dire qu'il faudrait pouvoir calculer quelques décimales de ce nombre et il s'est rendu compte que tel quel c'était une tâche insurmontable.
Il a relié $\zeta(2)$ à cette autre somme qui converge bien plus vite $\displaystyle \text{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2 2^n}$ ce qui lui a permis de calculer les décimales souhaitées de $\zeta(2)$.
Et là, je ne sais comment, il a deviné quel était le nombre qu'il avait sous les yeux. Il avait assez de décimales pour se dire que ce n'était sûrement pas une coïncidence. Le fait de connaître une valeur probable lui a donné d'autres idées qu'il a mises en oeuvre.
NB:
$\displaystyle \zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2 2^{n-1}}+\ln^2 2$
*: J'en ai un certain nombre mais il y en a vraiment beaucoup donc collectivement ce sera une tâche plus simple.
D'autant plus, que parfois, c'est bien planqué dans un recoin d'un article et j'en ai sûrement manqué beaucoup.
PS:
Est-ce qu'on ouvre un autre fil dans une autre sous-section du forum ou on continue dans ce fil pour la tâche mentionnée?
Voici un article en français, de l'APMEP, qui revient sur l'historique (via Mengoli) et qui donne des pistes de résolution.
À bientôt.
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C'est tout de même une sacrée coïncidence:
(en parlant de la série des inverses des carrés)
$\displaystyle \dfrac{\pi^2}{6}=1,644...$
PS:
L'article confirme ce que je croyais savoir sur la résolution du problème par Euler.
Axel Thue