Le lemme de maximalité
Bonjour à tous,
Je suis en train de retravailler mon chapitre 21, consacré au forcing itéré (il y a du taf). J'en suis au lemme de maximalité, qui dit la chose suivante : Soient $\mathbb{P}$ un ordre partiel, et $\varphi(x)$ une formule ensembliste à une variable libre (et éventuellement à paramètres). Alors il existe un $\mathbb{P}$-terme $\tau$ tel que
$$\Vdash \exists x \varphi(x) \Rightarrow \varphi(\tau),$$
où l'écriture $\Vdash blabla$ signifie $\mathbb{1}_{\mathbb{P}} \Vdash blabla$ ou, ce qui revient au même, $\forall p \in \mathbb{P}, p \Vdash blabla$.
J'ai la preuve sous les yeux mais ce n'est pas tellement ça qui me pose problème. Ce que je ne vois pas c'est :
a) "en substance", que dit ce résultat ?
b) Quelle est l'utilité de ce fameux $\tau$ ?
c) Et aussi, quand se sert-on du lemme de maximalité ?
Merci d'avance pour vos écalircissements.
Je suis en train de retravailler mon chapitre 21, consacré au forcing itéré (il y a du taf). J'en suis au lemme de maximalité, qui dit la chose suivante : Soient $\mathbb{P}$ un ordre partiel, et $\varphi(x)$ une formule ensembliste à une variable libre (et éventuellement à paramètres). Alors il existe un $\mathbb{P}$-terme $\tau$ tel que
$$\Vdash \exists x \varphi(x) \Rightarrow \varphi(\tau),$$
où l'écriture $\Vdash blabla$ signifie $\mathbb{1}_{\mathbb{P}} \Vdash blabla$ ou, ce qui revient au même, $\forall p \in \mathbb{P}, p \Vdash blabla$.
J'ai la preuve sous les yeux mais ce n'est pas tellement ça qui me pose problème. Ce que je ne vois pas c'est :
a) "en substance", que dit ce résultat ?
b) Quelle est l'utilité de ce fameux $\tau$ ?
c) Et aussi, quand se sert-on du lemme de maximalité ?
Merci d'avance pour vos écalircissements.
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Réponses
En fait $u$ est un exemple d'objet satisfaisant $F$ et nommé à l'avance (ou bien n'importe quoi si $F$ n'est satifsaite par rien).
Je pense que ce lemme est là pour te dire que les phrases que $1_\mathbb P$ force sont vraies dans l'extension par un générique - enfin, c'est l'étape "$\exists$" de cet énoncé :-D
Demain je vous donnerai un exemple d'exercice (que je ne sais pas résoudre) censé être une application immédiate du lemme de maximalité.
Bonne soirée à tous
C'est une sorte de propriété qui fait des modèles booléens (donc où tu n'as pas choisi encore un générique) des trucs très "platonisés", c'est à dire qui se rapprochent d'une situation où il n'y aurait in fine jamais besoin d'aller jusqu'à choisir un générique