Formule de Poincaré

Mais il n'y a pas 0 dans les A_i de base !
Bon, et en remettant dans la formule ça donne quoi ?

Mais tu te compliques vraiment la tâche.
C'est à toi de définir tes $A_i$. Si tu les définis comme tu dis (avec 0 compris) toute ta démonstration est à changer.

OS a écrit:

$n$ divise tous les $p_i$

Soit $(T,\wedge,\vee)$ un ensemble muni de deux lois de composition internes commutatives, associatives et distributives l'une par rapport à l'autre (autrement dit $a\vee (b \wedge c)=(a \vee b) \wedge (a \vee c) $ et $a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)$).

Soit $(M,+)$ un ensemble muni d'une loi de composition interne associative et commutative.

Soit $f: T \to M$ une fonction telle que pour tous $x,y\in T$, $f(x\vee y) + f(x\wedge y) = f(x)+f(y)$.

Alors pour tout entier $n\geq 2$ et tous $x_1,x_2,...,x_n\in T$, on a l'égalité $$
f \left ( x_1 \vee x_2 \vee ... \vee x_n \right ) + \sum_{1\leq k \leq \frac n 2} \left ( \sum_{i_1 < i_2 < ... i_{2k}}f \left ( x_{i_1} \wedge ... \wedge x_{i_{2k}}\right ) \right )= \sum_{0\leq k \leq \frac {n-1} 2} \left ( \sum_{i_1 < i_2 < ... i_{2k+1}}f \left ( x_{i_1} \wedge ... \wedge x_{i_{2k+1}}\right ) \right )
$$

Le cas $n=2$ est une reformulation de la définition, il peut être utile de traiter le cas $n=3$ à la main pour avoir une idée de comment organiser les calculs pour le cas général (qui se traite par récurrence sur $n$ comme on peut s'en douter).

La formule d'inclusion-exclusion est un cas particulier de ce qui précède, où $M=\N$ , $T$ est l'ensemble des parties finies d'un autre ensemble et $f$ est le cardinal (et ledit cas peut se traiter en identifiant les termes de la somme avec ceux d'un produit, cependant on peut se passer d'un tel produit, c'est l'objet du présent message).

Je ne sais pas trop quelle réponse émotionnelle avoir à ce que tu m'as répondu. C'est FOU que tu me dises ça. Pour quelqu'un qui a été à l'école, est un adulte, a fait des études supérieures, et enseigne les mathématiques.

Tu essaies d'établir une formule pour répondre à une question d'exercice. Une formule, ça sert à quoi et ça sort d'où ? Une formule, ça sert à exprimer un fait général. Et ça sort très souvent du fait que quelqu'un remarque un truc sur un exemple, et vérifie si ça marche tout le temps ou non. Tu devrais savoir que parmi des enfants de 6ème, il y en a déjà qui peinent à comprendre $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4} + \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3}$ avec des chiffres connus et le dessin à côté... tu voudrais leur balancer $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad+bc}{bd}$ directement, alors qu'ils ne maîtrisent pas encore le calcul littéral peut-être ? Traiter des exemples, ça sert à comprendre un mécanisme, qu'on peut ensuite essayer de généraliser. Un élève qui aura compris $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4} + \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3}$ pourra calculer d'autres sommes de fractions avec ça, sans jamais avoir vu la formule ni appris à lire une formule mathématique. C'est ça qu'on utilise. Le cerveau humain est une machine hyper-perfectionnée pour reconnaitre des motifs, donc souvent, traiter un exemple suffit à comprendre quel est le cas général.

Toi, tu te bornes à essayer de faire le cas général tout de suite. Je te garantis que personne, ou presque personne, qui t'a répondu dans ce fil, a appris par coeur comment retrouver la formule pour $\phi(n)$ à partir de la formule du crible. C'est complètement inutile de retenir ça. Par contre, tout le monde ici peut retrouver le principe de la démonstration en 2-3 minutes en traitant un exemple. Sauf toi, parce qu'au lieu de traiter un exemple, tu veux magiquement trouver une idée qui relie deux formules abstraites qui n'ont pas les même notations. La formule du crible est une somme alternée de nombres entiers, la formule pour $\phi$ est un produit de rationnels. Tu veux te la sortir d'un chapeau magique ou quoi ?

On se TUE à te répéter les choses que tout le monde ici, y compris toi, ont appris et retenu depuis l'école. On fait un dessin, on traite un exemple, on essaie de se donner une intuition de ce qu'il se passe pour avoir un plan d'attaque de la question. Si un exercice de géométrie ne te fournit pas une figure déjà faite, tu vas essayer de résoudre l'exercice formellement sans faire de figure, peut-être ?

Ton problème, c'est que tu ne sais ni apprendre, ni travailler les mathématiques. C'est tragique pour tes élèves que tu aies réussi le CAPES, et ça ne m'amuse pas particulièrement de te dire ça.

Autre chose : je pense qu'il serait très utile que finalement, tu nous dises avec quels livres tu travailles. Tu ne le mentionnes jamais, comme si c'était un secret que tu as absolument besoin de garder.

Maintenant, traite-moi le cas $n=10$ en entier. Je vais finir par devenir grossier si tu ne commences pas enfin à appliquer les conseils qu'on te donne.

Inutile de prendre "Deux pavés de plus de 1300 pages" quand on ne connaît pas les prérequis (programmes du lycée) parce qu'on ne comprend pas comment fonctionnent les maths : Pas seulement sur la mémoire, mais sur une compréhension globale (les liens entre les différentes idées, une idée de ce dont parlent les notions, ..); on peut savoir par cœur 10000 exercices, ça ne donne pas le corrigé d'un nouvel exercice. Et quand en plus on oublie au bout de 6 mois ce qui a été "appris" ...

Déjà pour le $+$ il faut corriger.
Sinon tu dois montrer une égalité et tu as un résultat intermédiaire. Quels réflexes dois-tu avoir?

Oshine il est l'heure de laisser tomber l'exercice tu énerves tout le monde sur le forum. Y a trop de pavés pédagogiques et de mauvaises ondes sur le topic et tu vas de toute façon rien tirer de ce sujet comme 95% de tes autres sujets. On est déjà à 71 messages pour un exercice pas facile mais qui n'en mérite quand meme pas autant. C'est un nouvel échec

Bon, allez... en fait, dans ce message tu étais vraiment très près du but. Tu avais tous les morceaux, sauf un.

Il faut en fait que tu réutilises la question 2, parce qu'on t'y fait écrire la formule utile. Elle n'est pas écrite sous sa forme "utile" dans ta réponse mais je te la donne, essaie de retrouver cette forme toi-même à partir de celle que tu avais (il suffit de compacter les sommes et les produits) :
$\boxed{\displaystyle \prod_{k=1}^n(X- a_k) = X^n + \sum_{k=1}^n (-1)^k \sum_{1 \leqslant i_1 < ... < i_k \leqslant n} \bigg(\prod_{j=1}^k a_{i_j}\bigg)X^{n-k}}$

Ce que tu as écrit, quand on recolle tout ensemble (y compris le contenu de ce message) et qu'on compacte tous les produits, c'est ceci :

$\varphi(n)$
$\displaystyle = n - \text{card}\bigg( \displaystyle \bigcup_{i=1}^r A_i \bigg)$
$\displaystyle = n - \sum_{k=1}^r (-1)^{k+1} \bigg( \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < ... < i_k \leqslant r}\text{card}(A_{i_1} \cap \dots \cap A_{i_k}) \bigg)$
$= n - \displaystyle \sum_{k=1}^r (-1)^{k+1} \bigg( \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < ... < i_k \leqslant r}\bigg[n \times \prod_{j=1}^k \dfrac{1}{p_{i_j}}\bigg]\bigg)$

Si on met $n$ en facteur : $\varphi(n) = n\bigg[1 - \displaystyle \sum_{k=1}^r (-1)^{k+1} \bigg( \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < ... < i_k \leqslant r}\bigg[\prod_{j=1}^k \dfrac{1}{p_{i_j}}\bigg]\bigg)\bigg]$

Et là, ben, c'est terminé.

Puisque c'est un exercice sur la formule du crible, la question est plutôt de trouver une "meilleure" application à la fin. L'indicatrice d'Euler a des propriétés intéressantes, mais s'il y a plus simple pour retrouver ses propriétés essentielles, je suis d'accord avec toi que la résolution est un tant soit peu capillotractée.

Je ne connaissais pas le nom "dérangement" pour ces permutations-là, tiens.

Tu peux développer un peu ton avis faux ? Tu n'aurais pas comme oublié qu'il fallait la formule du crible ?

Tu commences bien. Cependant il faut finir, je ne vois pas pourquoi tu t'arrêtes là. Et peut-être qu'en calculant le cardinal des Ai tu comprendras pourquoi ton égalité finale est fausse.

Mais c'est quoi l'univers ici ? C'est quoi l'expérience aléatoire d'abord ? On lance un dé à six faces ? On tire une carte dans un jeu de 52 cartes ?
Tu ne t'interroges même pas sur le tout début du raisonnement de proba à savoir "on fait quoi ?". C'est quand même incroyable à quel point tu ne comprends rien. Pourquoi l'univers serait $[|1,n|]$ ?? As-tu essayé $n=3$ ou $n=4$ par exemple pour voir ce qui se passe ?

Je ne sais plus qui me disait que "l'univers on s'en fiche et on ne le précise jamais" mais ça n'est absolument pas vrai pour les petits problèmes de lycée en tout cas. A partir de la spé/L2 où toutes les variables aléatoires sont définies sur un $\Omega$ abstrait, certes, on ne précise que le support image $X(\Omega)$. Mais sinon, bien définir l'univers et la proba, c'est quand même la première chose à faire pour définir un espace probabilisé et faire correctement des proba.

Comme cela a été dit, il faut chercher les permutations de $S_n$ sans points fixes ie les mélanges des gens tels qu'aucun ne se retrouve avec son livre de départ, ça s'appelle un dérangement. Le lien de Chaurien explique comment faire ou encore la page wikipédia du problème des rencontres.

Permutation sans point fixe... J'ai étudié cela en ts spe mathématiques avec monsieur GL... Malheureusement décédé