Variables aléatoires indépendantes
Bonjour à tous, voici l'exercice qui me pose souci.
Soient $n$ un entier naturel non nul, $X$ et $Y$ des variables aléatoires indépendantes suivant toutes les deux la loi binomiale de paramètres $n$ et $\frac{1}{2}$. Calculer la probabilité que $X$ et $Y$ prennent la même valeur.
Je vous propose ma solution (dans les grandes lignes).
\begin{align*}
P(X=Y) &=\sum_{k=0}^n P\big((X=k) \cap (Y=k)\big) \\
&=\sum_{k=0}^n P(X=k) \times P(Y=k) \\
&=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^k\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^{n-k} \times
\binom{n}{k}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^k\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^{n-k} \\
&=\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^{2n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 \\
&=\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}.
\end{align*} Ma solution (en supposant qu'elle soit correcte) requiert la connaissance de l'égalité $\quad\displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}}$.
Quelqu'un a-t-il une solution autre, sans avoir recours à cette égalité ?
Je remercie d'avance quiconque me répondra.
Soient $n$ un entier naturel non nul, $X$ et $Y$ des variables aléatoires indépendantes suivant toutes les deux la loi binomiale de paramètres $n$ et $\frac{1}{2}$. Calculer la probabilité que $X$ et $Y$ prennent la même valeur.
Je vous propose ma solution (dans les grandes lignes).
\begin{align*}
P(X=Y) &=\sum_{k=0}^n P\big((X=k) \cap (Y=k)\big) \\
&=\sum_{k=0}^n P(X=k) \times P(Y=k) \\
&=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^k\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^{n-k} \times
\binom{n}{k}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^k\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^{n-k} \\
&=\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^{2n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 \\
&=\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}.
\end{align*} Ma solution (en supposant qu'elle soit correcte) requiert la connaissance de l'égalité $\quad\displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}}$.
Quelqu'un a-t-il une solution autre, sans avoir recours à cette égalité ?
Je remercie d'avance quiconque me répondra.
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Réponses
Sur les 2n lancers de dés effectués par les deux joueurs X et Y, on considère l'ensemble E des lancers qui ont donné une face pour X et de ceux qui ont donné un pile pour Y. C'est un sous-ensemble de l'ensemble des 2n lancers de dés. Eh bien E est de cardinal n ssi X et Y ont obtenu le même nombre de faces. Donc le nombre de résultats exhaustifs des lancers de dés qui donnent le même nombre de faces à X et Y est égal au nombre de sous-ensembles de E, i.e. n parmi 2n.
PS. Je me suis inspiré de la preuve combinatoire de ton identité qui repose sur l'égalité k parmi n = (n-k) parmi n.
$\Delta=\{(x,x)\mid x\in\R\}$, on a
$P((X,Y)\in \Delta)=P((X,n-Y)\in \Delta)$, soit $P(X=Y)=P(X+Y=n)$, or $X+Y\sim\mathcal{B}(2n,1/2)$, d'où le résultat.