Ce qui m'embête aussi un peu, car c'est institutionnalisé, c'est par exemple quatre-vingt-dix-huit, où le premier tiret est une multiplication quand les deux autres sont des additions.
On me dira que c'est une exception, soit, mais elle se répète quand même une fois sur cinq (fait exprès) dans la succession des naturels.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
"A la question " qu'est-ce que la somme de 10 et 8 ? " , qu'accepterais-tu ?"
Bonne question... mais concrètement je leur demanderais plutôt combien vaut la somme. Si quelqu'un leur demande "qu'est-ce que la somme" j'imagine qu'il attend la définition de la somme.
Après si on veut les titiller on peut leur demander d'"écrire la somme de 10 et de 8 sous forme de produit" et compter le nombre de "$10 \times 8$" dans les réponses.
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
"la somme de dix et huit est égale au produit de deux par neuf". vrai.
Pour le coup je ne suis pas explicite avec mes élèves, mais quand je parle d'égalité, je parle toujours des nombres, peu importe leur écriture, donc pour moi ici le mot somme désigne le résultat.
On pourrait utiliser un mot différent pour l'écriture de la somme et le résultat de la somme, mais je ne pense pas qu'il y ait source de confusion ici malgré le double emploi. J'ai un avis très différent sur l'emploi du mot "égal(e)", mais il me semble l'avoir déjà dit.
Pour donner suite au message précédent, évidemment que les suisse/belges ont des noms bien moins absurdes que les nôtres dans la numération, mais pour changer des habitudes...
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
Une équation est un couple $(\ell; F)$ où $\ell$ est une liste de lettres et $F$ une expression de la forme $\mathbf m= \mathbf n$ avec $\mathbf m, \mathbf n$ des expressions désignant des objets mathématiques. Les éléments de $\ell$ s'appellent "inconnues" de l'équation $(E)$.
Par exemple il y a cette célèbre équation, inventée par Fermat où $n$ désigne un entier : $([x,y,z]; x^n+y^n=z^n)$.
Résoudre une équation $(\ell;F)$ consiste à trouver ($d$ désignant le nombre de termes de la suite $\ell$) toutes les suites finies $(a_1,\ldots,a_d)$ d'objets (appelées "solutions de $(\ell;F)$") telles que $F'$ est vrai, où $F'$ est l'énoncé obtenu en remplaçant dans $F$, pour tout $k$, chaque occurrence de la $k$-ième lettre de $\ell$ par $a_k$.
Par exemple l'équation (à inconnue réelle) $\left ([t]; t^2-xt+x-1=0 \right )$ admet pour solutions $x-1$ et $1$. La ou les inconnues d'une équations ne sont pas toujours la 24ième lettre de l'alphabet (même si c'est souvent le cas) !!!
Pour alléger en symboles mathématiques les affirmations, on écrit en prose des formulations telles que
"l'équation $t^2-xt+x-1=0$ d'inconnue $t$", "l'équation $ap+bq=c$ d'inconnues $p,q$" etc.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
En se soumettant à la tyrannie de l'égalité fausse on peut s'accommoder de cette définition sans doute pas au collège cependant.
Ne pourrait-on toutefois aborder les équations d'un point de vue ensembliste en considérant les solutions:
{$(x,y,z) \in \mathbb R^3 ,\text{ tels que } x^n+y^n=z^n$} et dans cette écriture le = reprendrait tout son sens ?
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
Pour revenir une dernière fois dessus, avant de n'y plus rien ajouter, juste une dernière remarque.
Quatre-vingt-dix n'est pas plus absurde que nonante ou octante-dix, il est culturellement signifiant.
Pour prendre un autre exemple signifiant obscur, prenons les fractions égyptiennes : par définition, elles sont sensées être de numérateur unitaire. Comment expliquer dans ce cas qu'il existe un symbole particulier pour représenter $\frac{2}{3}$ ?
N'ayant pas encore trouvé de raison logique à cela, je préfère dire que ce symbole s'est imposé par l'usage au point de devenir culturellement signifiant.
Dom à raison, à vouloir rendre cohérent et logique au mépris de l'exception d'usage, on y perd culturellement parlant.
Voyez ce message comme ce qu'il est, une coquetterie de fanfaron cruel.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
En se soumettant à la tyrannie de l'égalité fausse on peut s'accommoder de cette définition sans doute pas au collège cependant.
C'est quoi la "tyrannie de l'égalité fausse"?
Ma définition contient toutes les autres comme cas particuliers (tu peux rajouter la mention explicite de typage ou d' ensembles contenant a priori les solutions). Une équation est fondamentalement un objet syntaxique (contrairement à un ensemble. Un ensemble peut parfois être défini par une équation; on évitera de les confondre). Les inconnues sont à considérer strictement comme des auxiliaires grammaticaux par exemple et elles ne désignent rien (c'est pour cela qu'on peut sereinement parler de l'équation d'inconnue réelle $x$: $x^2+2x+5=0$).
Le sensisme des pédagogistes ("le sens le sens le sens") est à éviter sur ces sujets si on veut comprendre.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Bonjour,
voici comment procède A Millet dans "Algèbre brevet élémentaire", Hachette 1931 :
Il rappelle d'abord ce qu'est une égalité numérique sur un exemple. (17=12+5)
Puis il définit une identité :
Une équation est une égalité qui n'est vérifiée que par certaines valeurs attribuées aux lettres qu'elle contient. Ces valeurs s'appellent les solutions ou racines de l'équation.
Résoudre une équation c'est trouver toutes ses solutions.
Deux équations sont équivalentes quand elles ont les mêmes solutions.
Por résoudre une équation, on cherche à la remplacer par des équations équivalentes de plus en plus simples, jusqu'à ce qu'on arrive à une équation dont on connaisse les solutions.
D'accord avec Mathurin. Ces définitions font sens. Le discours mathématique a un contenu, ce n'est pas un simple assemblage de caractères sans signification. De même un tableau n'est pas qu'une surface plane recouverte de couleurs en un certain ordre assemblées.
Je trouve également que c’est pas mal (A Millet). Le seul petit bémol c’est que j’ai l’impression qu’une équation doit obligatoirement avoir au moins une solution avec sa définition.
Pour ceux qui diront qu’on sort du sujet avec les limites, je pose la même question en adaptant aux matrices nilpotentes (on arrête la somme à la dimension par exemple) et où l’on adapte les notations, notamment pour l’inverse.
Bon, après avoir dit tout ça, je suis d’accord pour dire que Millet propose quelque chose d’assez propre.
Il me semble que l'expression avec la somme infinie possède un rayon de convergence, donc parler d'identité sans préciser le domaine est effectivement une escroquerie.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
d'accord pour rajouter au texte de A Millet:
-"que par certaines valeurs attribuées aux lettres qu'elle contient ou aucunes dans un certain ensemble"
- "que l'on peut donner dans un certain ensemble"
Mais cela alourdit le texte et le rend moins clair (c'est le prix de la précision).
Cordialement
$\frac 1{x^2+2x+1-(x+1)^2} = \frac 2{3(x-1)+3-3x}$ est une identité au sens (pris strictement) de A Millet.
Il faut dire que jusque vers 1970, on ne prenait pas les phrases au sens strict, mais dans un sens utilitaire. Les phrases de A Millet sont descriptives et opérationnelles, ce ne sont pas des définitions de mathématicien (on laissait ça à l'enseignement supérieur). Et, si nécessaire, on voyait avec certains élèves, plus futés, les limites de ces définitions.
Gerard0,
d'accord sur ta remarque sur l'évolution de la pédagogie.
Mais dans ton exemple je ne vois pas comment tu peux dire qu'il s'agit d'une identité, puisque les deux termes n'ont pas de sens dans tous les ensembles de définition imaginables.
Il ne s'agit donc pas d'"une égalité qui est vérifiée par toutes les valeurs numériques que l'on peut donner aux lettres qu'elle renferme." Une égalité relie deux termes qui ont du sens!
Enfin c'est ma lecture...
Cordialement
Je le disais : j'ai pris au sens strict la phrase de A Millet. Et je faisais suite aux messages de Dom et Dreamer.
Pour "toutes les valeurs numériques que l'on peut donner aux lettres qu'elle renferme", "l' égalité [qui] est vérifiée". Tu ne peux pas trouver un contre exemple.
Bien évidemment, ce n'est que du jeu mathématique qui n'a rien à voir avec l'apprentissage des équations. On n'apprend pas le français aux élèves de cours élémentaire en leur faisant faire des dictées de Pivot.
Je comprends bien ce que tu veux dire.
Mais il ne s'agit pas de contre-exemple, je conteste qu'il s'agisse d'une égalité. Il n'y a donc rien de vérifié.
Cordialement.
Il faut dire que jusque vers 1970, on ne prenait pas les phrases au sens strict, mais dans un sens utilitaire. Les phrases de A millet sont descriptives et opérationnelles, ce ne sont pas des définitions de mathématicien (on laissait ça à l'enseignement supérieur). Et, si nécessaire, on voyait avec certains élèves, plus futés, les limites de ces définitions.
Une équation est une égalité qui n'est vérifiée que par certaines valeurs attribuées aux lettres qu'elle contient.
Puisque savoir si une équation diophantienne possède des solutions est indécidable (cf problème de l'arrêt et théorème de Matiasevic).
Imposer des approches de présentation contredisant frontalement des théorèmes mathématiques c'est quand même excessif je trouve.
Et puis même en pratique, on écrit une expression avec égalité au hasard et on livre la liste des inconnues, comment savoir à l'avance s'il y aura des solutions lorsqu'elle est interprétée comme une équation?
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Rappelons que la question posée est de savoir comment on parle d'équations au collège et au lycée.
Pour moi en seconde, résoudre dans truc, une équation bidule (quelque chose avec deux membres et le symbole = entre les deux comme l'a rappelé Rescassol) d'inconnue blabla, consiste à déterminer l'ensemble des valeurs blabla dans truc qui vérifie bidule.
Edit : Foys, j'étais d'accord aussi.
Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
Pour moi en seconde, résoudre dans truc, une équation bidule (quelque chose avec deux membres et le symbole = entre les deux comme l'a rappelé Rescassol) d'inconnue blabla, consiste à déterminer l'ensemble des valeurs blabla dans truc qui vérifie bidule.
C'est ce que je dis essentiellement sauf que j'ai séparé l'objet syntaxique (l'équation) et l'activité (sa résolution).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Je dirais, mais pas aux élèves de collège, que c'est une application $e$ d'un ensemble $V$ dans l'ensemble {Vrai, Faux}. On appelle solutions de $e$ les éléments de l'image réciproque par $e$ de {Vrai}.
Exemple pour une équation d'une courbe $C$ : $V$ étant le plan, pour tout $M$ dans $V$, on défini $e(M)$ par le booléen $M \in C$. On a que $C$ est l'image réciproque de {Vrai} par $e$.
Les notations utilisées en informatique == et := sont je trouve assez commode et gagneraient à être utilisée en mathématiques. Le symbole == sert à définir un booléen alors que le symbole := sert à définir ce qui est à gauche du symbole. On fait alors clairement la différence entre l'écriture de l'équation f(x)==x et la définition des images par f par l'écriture f(x):=x.
Nous sommes le 10 juillet, pourtant c'est un sujet qui sent bon la rentrée. Mes futurs secondes qui auront bouffé beaucoup de cours à distance en quatrième et troisième, que sauront-ils faire le 2 septembre ? Comme tous les ans, on va très vite parler de ce sujet !
Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
Mathurin : "Mais il ne s'agit pas de contre-exemple" Je n'ai jamais dit qu'il s'agissait d'un "contre-exemple". Tout au plus d'un exemple.
"je conteste qu'il s'agisse d'une égalité" C'est ton droit, le mot "égalité" ayant des sens différents suivant les auteurs et les contextes. Mais tu seras bien seul !
Foys : Comme toujours tu parles de mathématiques du supérieur, celles que 99% des gens ne pratiqueront jamais (tu as sans doute une vue faussée par le milieu que tu fréquentes). Ce n'est pas le sujet de ce fil.
Réponses
On me dira que c'est une exception, soit, mais elle se répète quand même une fois sur cinq (fait exprès) dans la succession des naturels.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Je n'ai pas envie de toucher au dictionnaire.
Ou alors, il faudra accepter que tout le monde y touche à sa sauce.
Mais je pense toujours que nonante-huit est préférable à quatre-vingt-dix-huit.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Bonne question... mais concrètement je leur demanderais plutôt combien vaut la somme. Si quelqu'un leur demande "qu'est-ce que la somme" j'imagine qu'il attend la définition de la somme.
Après si on veut les titiller on peut leur demander d'"écrire la somme de 10 et de 8 sous forme de produit" et compter le nombre de "$10 \times 8$" dans les réponses.
Pour le coup je ne suis pas explicite avec mes élèves, mais quand je parle d'égalité, je parle toujours des nombres, peu importe leur écriture, donc pour moi ici le mot somme désigne le résultat.
On pourrait utiliser un mot différent pour l'écriture de la somme et le résultat de la somme, mais je ne pense pas qu'il y ait source de confusion ici malgré le double emploi. J'ai un avis très différent sur l'emploi du mot "égal(e)", mais il me semble l'avoir déjà dit.
Pour donner suite au message précédent, évidemment que les suisse/belges ont des noms bien moins absurdes que les nôtres dans la numération, mais pour changer des habitudes...
Par exemple il y a cette célèbre équation, inventée par Fermat où $n$ désigne un entier : $([x,y,z]; x^n+y^n=z^n)$.
Résoudre une équation $(\ell;F)$ consiste à trouver ($d$ désignant le nombre de termes de la suite $\ell$) toutes les suites finies $(a_1,\ldots,a_d)$ d'objets (appelées "solutions de $(\ell;F)$") telles que $F'$ est vrai, où $F'$ est l'énoncé obtenu en remplaçant dans $F$, pour tout $k$, chaque occurrence de la $k$-ième lettre de $\ell$ par $a_k$.
Par exemple l'équation (à inconnue réelle) $\left ([t]; t^2-xt+x-1=0 \right )$ admet pour solutions $x-1$ et $1$.
La ou les inconnues d'une équations ne sont pas toujours la 24ième lettre de l'alphabet (même si c'est souvent le cas) !!!
Pour alléger en symboles mathématiques les affirmations, on écrit en prose des formulations telles que
"l'équation $t^2-xt+x-1=0$ d'inconnue $t$", "l'équation $ap+bq=c$ d'inconnues $p,q$" etc.
Ne pourrait-on toutefois aborder les équations d'un point de vue ensembliste en considérant les solutions:
{$(x,y,z) \in \mathbb R^3 ,\text{ tels que } x^n+y^n=z^n$} et dans cette écriture le = reprendrait tout son sens ?
Quatre-vingt-dix n'est pas plus absurde que nonante ou octante-dix, il est culturellement signifiant.
Pour prendre un autre exemple signifiant obscur, prenons les fractions égyptiennes : par définition, elles sont sensées être de numérateur unitaire. Comment expliquer dans ce cas qu'il existe un symbole particulier pour représenter $\frac{2}{3}$ ?
N'ayant pas encore trouvé de raison logique à cela, je préfère dire que ce symbole s'est imposé par l'usage au point de devenir culturellement signifiant.
Dom à raison, à vouloir rendre cohérent et logique au mépris de l'exception d'usage, on y perd culturellement parlant.
Voyez ce message comme ce qu'il est, une coquetterie de fanfaron cruel.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Ma définition contient toutes les autres comme cas particuliers (tu peux rajouter la mention explicite de typage ou d' ensembles contenant a priori les solutions). Une équation est fondamentalement un objet syntaxique (contrairement à un ensemble. Un ensemble peut parfois être défini par une équation; on évitera de les confondre). Les inconnues sont à considérer strictement comme des auxiliaires grammaticaux par exemple et elles ne désignent rien (c'est pour cela qu'on peut sereinement parler de l'équation d'inconnue réelle $x$: $x^2+2x+5=0$).
Le sensisme des pédagogistes ("le sens le sens le sens") est à éviter sur ces sujets si on veut comprendre.
voici comment procède A Millet dans "Algèbre brevet élémentaire", Hachette 1931 :
Il rappelle d'abord ce qu'est une égalité numérique sur un exemple. (17=12+5)
Puis il définit une identité : Ensuite il définit une équation : Enfin il précise:
Je trouve que ce n'est pas si mal.
Cordialement
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Aussi, le manquement plus conséquent est l’absence de l’ensemble dans lequel on travaille.
Entiers, rationnels, réels, autres ?
Un (autre ?) question : peut-on qualifier d’identité l’égalité suivante ?
$\displaystyle \dfrac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^{\infty} x^k$
Ou bien d’identité sur un ensemble à préciser ?
Pour ceux qui diront qu’on sort du sujet avec les limites, je pose la même question en adaptant aux matrices nilpotentes (on arrête la somme à la dimension par exemple) et où l’on adapte les notations, notamment pour l’inverse.
Bon, après avoir dit tout ça, je suis d’accord pour dire que Millet propose quelque chose d’assez propre.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
-"que par certaines valeurs attribuées aux lettres qu'elle contient ou aucunes dans un certain ensemble"
- "que l'on peut donner dans un certain ensemble"
Mais cela alourdit le texte et le rend moins clair (c'est le prix de la précision).
Cordialement
Tout dépend de la question posée et de là où vivent les lettres.
-- Schnoebelen, Philippe
Ça passe ou pas ?
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Il faut dire que jusque vers 1970, on ne prenait pas les phrases au sens strict, mais dans un sens utilitaire. Les phrases de A Millet sont descriptives et opérationnelles, ce ne sont pas des définitions de mathématicien (on laissait ça à l'enseignement supérieur). Et, si nécessaire, on voyait avec certains élèves, plus futés, les limites de ces définitions.
Cordialement.
d'accord sur ta remarque sur l'évolution de la pédagogie.
Mais dans ton exemple je ne vois pas comment tu peux dire qu'il s'agit d'une identité, puisque les deux termes n'ont pas de sens dans tous les ensembles de définition imaginables.
Il ne s'agit donc pas d'"une égalité qui est vérifiée par toutes les valeurs numériques que l'on peut donner aux lettres qu'elle renferme." Une égalité relie deux termes qui ont du sens!
Enfin c'est ma lecture...
Cordialement
Pour "toutes les valeurs numériques que l'on peut donner aux lettres qu'elle renferme", "l' égalité [qui] est vérifiée". Tu ne peux pas trouver un contre exemple.
Bien évidemment, ce n'est que du jeu mathématique qui n'a rien à voir avec l'apprentissage des équations. On n'apprend pas le français aux élèves de cours élémentaire en leur faisant faire des dictées de Pivot.
Cordialement.
Mais il ne s'agit pas de contre-exemple, je conteste qu'il s'agisse d'une égalité. Il n'y a donc rien de vérifié.
Cordialement.
La phrase suivante n'est pas opérationnelle (cf http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2272916,2273874#msg-2273874): Puisque savoir si une équation diophantienne possède des solutions est indécidable (cf problème de l'arrêt et théorème de Matiasevic).
Imposer des approches de présentation contredisant frontalement des théorèmes mathématiques c'est quand même excessif je trouve.
Et puis même en pratique, on écrit une expression avec égalité au hasard et on livre la liste des inconnues, comment savoir à l'avance s'il y aura des solutions lorsqu'elle est interprétée comme une équation?
Pour moi en seconde, résoudre dans truc, une équation bidule (quelque chose avec deux membres et le symbole = entre les deux comme l'a rappelé Rescassol) d'inconnue blabla, consiste à déterminer l'ensemble des valeurs blabla dans truc qui vérifie bidule.
Edit : Foys, j'étais d'accord aussi.
Exemple pour une équation d'une courbe $C$ : $V$ étant le plan, pour tout $M$ dans $V$, on défini $e(M)$ par le booléen $M \in C$. On a que $C$ est l'image réciproque de {Vrai} par $e$.
Les notations utilisées en informatique == et := sont je trouve assez commode et gagneraient à être utilisée en mathématiques. Le symbole == sert à définir un booléen alors que le symbole := sert à définir ce qui est à gauche du symbole. On fait alors clairement la différence entre l'écriture de l'équation f(x)==x et la définition des images par f par l'écriture f(x):=x.
Toute aide serait la bienvenue. Même si le posteur de la question m'a remercié, j'ai un goût de trop peu dans la réponse fournie.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
"je conteste qu'il s'agisse d'une égalité" C'est ton droit, le mot "égalité" ayant des sens différents suivant les auteurs et les contextes. Mais tu seras bien seul !
Foys : Comme toujours tu parles de mathématiques du supérieur, celles que 99% des gens ne pratiqueront jamais (tu as sans doute une vue faussée par le milieu que tu fréquentes). Ce n'est pas le sujet de ce fil.
Cordialement.