Bonjour,
concernant la notion de "tables de division" voici à titre d'illustration la table des matières et quelques pages de "le calcul quotidien" CE2, collection Bodard F Nathan 1957.
On voit qu'on ne se contente pas d'enseigner les tables de multiplication à l'endroit.
Cordialement
Une chose que je remarque, c'est qu'à cette époque, ils n'avaient pas le temps de s'ennuyer.
Ils revoyaient continuellement la même matière, mais de façons tellement différentes pour chaque leçon qu'ils devaient forcément accrocher au bout d'un moment.
Et la force de la répétition, qui n'est pas dite car les situations sont variées.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
A la fin des années 70, j’ai appris les tables de multiplication exclusivement à l’envers.
En classe on construisait une fiche avec « tout ce qui fait 12 » puis 14, puis 14... par ordre croissant de résultats (j’ai commencé à 12 pour que ce soit intéressant).
Du coup le soir je récitais 12= 1x12, 12=2x6 et 12=3x4.
Et en même temps on avait appris que les nombres premiers étaient ceux qui n’avaient que la décomposition évidente avec 1 et eux-mêmes.
Il me semble bien que c’était en CP (la maîtresse faisait beaucoup de « calcul » et j’ai retrouvé mon fichier où on faisait des additions dans plein de bases différentes).
D’après ma mère, qui me faisait réciter, sans jamais avoir appris les tables dans l’ordre je les savais.
J'ai trouvé, dans le catalogue d'applications de Ubuntu, un petit logiciel pédagogique sur les fractions qui fonctionne sous Linux. Une version en ligne semble aussi disponible sur inscription https://www.rollapp.com/launch/kbruch. L'auteur originel du logiciel, open sourcehttps://invent.kde.org/education/kbruch, est un allemand, Sebastian Stein. Le logiciel a été traduit dans plusieurs langues dont le français. À noter les boutons de type "menu radio" dans la catégorie réponse : Nombre mixte ; Forme réduite. En allemand, langue d'origine du logiciel, cela donne : Gemischte Brüche ; Gekürtzte Forme. En anglais c'est traduit en : Mixed number ; Reduced form. En russe, je n'arrive pas à lire l'alphabet.
Pour ne pas avoir enseigné cette notation pendant des années et après l'avoir découverte (pas taper!) et introduite il y a 3 ans voici quelques pensées sur le sujet:
2) Les pays l'enseignent par l'habitude ou bien il y a un réel intérêt pédagogique?
3) Est-ce que cela crée une confusion chez les élèves?
4) Est-ce que cette notation est utile?
Tout d'abord comme la notation n'est pas conventionnelle en France et pour ne pas perturber les habitudes passées et futures des élèves, elle reste pour moi principalement un outil oral (entendez que je demande aux élèves de ne pas l'utiliser dans les copies).
Les intérêts que je lui trouve:
1) Les fractions prennent une valeur plus concrète (donc utile aussi pour comparer, approximer etc..)
2) Très utile en calcul mental pour donner la valeur décimale exacte de toutes les fractions sur 2,3,4 et 5 (et plus si affinités)
3) En 6e permet de mieux appréhender la partie entière et la partie décimale (notamment ne pas enlever le 0 et la virgule sur la partie décimale)
4) La partie qui reste sous forme de fraction est plus petite que 1, ce qui correspond mieux à l'intuition qu'ont les élèves des fractions.
En revanche je ne l'utilise absolument pas pour les opérations sur les fractions et à mon sens le faire serait une perte de temps et risquerait d'entraîner de la confusion. Bien sûr pour un ordre de grandeur ce serait pratique, mais dans ce cas remplacer chaque fraction par l'entier le plus proche est plus simple et efficace.
5) S'il faut enseigner cette notation, il faut le faire à quel niveau?
Comme cette notation n'est pas au programme les élèves ne la connaissent pas, je la fais donc en 6,5,4. En 3ème les fractions sont déjà bouclées. En 6ème je passe plus de temps sur la notion mais en 5e et 4e c'est surtout pour que les fractions arrêtent de leur paraître obscures et qu'ils ne prennent pas la calculatrice en paniquant à la moindre division.
Maintenant je ne me verrais plus faire sans car je constate son efficacité pour rendre les fractions plus familières aux élèves, et je constate qu'ils la réinvestissent spontanément seuls.
Si la notation était conventionnelle en France, je demanderais que les résultats finaux soient toujours donnés sous cette forme, mais j'en déconseillerais l'usage dans les étapes intermédiaires.
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
Je reviens ici : je ne comprends toujours pourquoi « une notation pourrait rendre les fractions plus concrètes » ou encore « être utile en calcul mental ».
Qu’une notation permette une aisance à l’écrit, je l’entends.
Qu’une notation change la « vie fractionnaire » d’un collégien, je ne sais pas où et quand quiconque peut le penser.
Je reviens ici : je ne comprends toujours pourquoi « une notation pourrait rendre les fractions plus concrètes » ou encore être utile en calcul mental ». Qu’une notation permette une aisance à l’écrit, je l’entends. Qu’une notation change la « vie fractionnaire » d’un collégien, je ne sais pas où et quand quiconque peut le penser.
Beaucoup d'élèves (les miens pour le moins) ont du mal à appréhender 23/4 comme un nombre, tandis qu'avec 53/4 ils y parviennent mieux. En même temps je connais peu de personnes qui diront spontanément qu'ils en ont pour 23 quarts d'heure de trajet!
Pour ce qui est du calcul mental, le réflexe des élèves quand on leur demande la valeur décimale de 23/4 est de poser la division de tête et n'ont pas le réflexe de la transformer en 53/4 avant de répondre 5,75. En moins d'une heure ils passent de 30s à 5s pour donner le résultat et n'ont plus peur de ces calculs.
Pour les deux derniers points de l'aisance à l'écrit et de changer la vie fractionnaire, je ne saurais te répondre, ça ne me parle pas.
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
J'ai 6 ans et demi, (pas 13 demi ans).
Je suis arrivé il y a 1 heure et quart. Le cours commence à 8 heures et demie.
La bouteille de 1 litre et demi de soda. 6 bouteilles de 1 litre et demi, ça fait 9 litres.
Les gants mapa : taille 8 et demi.
Les chaussures ? taille 36 et demi.
Les anciennes disquettes aujourd'hui disparues ? taille 5 pouces 1 quart, ou 3 pouces et demi.
Tout le monde manipule ça couramment. C'est simple, c'est efficace. Et donc on l'interdit en cours de maths. Pour être sûr que seuls les bons élèves comprennent ???
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
1)
« Tout le monde manipule ça couramment ».
Non. Il faut voir ce que peuvent dire des collégiens, et bien entendu aussi des adultes.
2)
Avec des unités, oui, c’est plus usuel.
Mais là on parle sans unité me semblait-il.
3)
Tant que 13/2 n’est pas accepté, intégré en tant que nombre, tout cela est de la foutaise selon moi.
Ça n’aide pas à proposer une écriture plus simple de 7/2+3/5.
4)
Montrez-moi l’élève qui manipule ces notations aisément et qui rate avec les notations usuelles.
5)
Ça encourage à penser que « une fraction ça peut pas avoir un nombre en haut plus grand qu’en bas ».
Ainsi, que ce soit une méthode d’approche, d’introduction ou tout ce genre d’initiation, ça me va.
Mais, non, ça n’aide pas ensuite. Ce n’est pas une trouvaille géniale qui simplifie la vie des collégiens avec les fractions.
6)
On n’interdit pas.
Encore une fois allons-y : 3$\frac{1}{2}$+5$\frac{1}{4}$, ça donne quoi pour tous les élèves ?
Est-ce que ça change vraiment par rapport à : 3+$\frac{1}{2}$+5+$\frac{1}{4}$.
Le couplet sur « vous faites ça seulement pour les bons élèves » est absurde.
Il faut aller voir dans les classes comment ça se passe. Rien que $\frac{1}{2}$, c’est un nombre déjà mal interprété.
On n’a pas souvent « l’évidence » $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$… c’est $1$.
On ne l’a pas souvent…
Sauf là où ça fonctionne, comme d’habitude.
J’attends les propositions là où ça ne fonctionne pas.
Sauf la proposition : « et bien moi, au lieu de l’écrire comme ça, j’écris 1/2+1/2, et ça passe bien mieux ».
Je dis que ce sont des foutaises. La notation n’est pas un miracle pour la compréhension.
3$\frac{1}{2}$ donne au mieux « heu… c’est trois virgule cinq…. ? » de manière très hésitante.
Mais le « virgule cinq », personne ne sait pourquoi on a « 5 »…
7)
On discute de 3$\frac{1}{2}$ à la place de 3+$\frac{1}{2}. (On a déjà évoqué la confusion avec un $\times$ plus tard… mais admettons…).
Dans les exemples « courants », cela revient à effacer le « et » puis d’annoncer, « les élèves comprennent mieux ce qu’ils lisent ».
Quel âge as-tu ? « 6 ans et demi ».
Dis plutôt « 6 ans demi » tu vas voir, tu vas mieux comprendre.
Dom, tu veux que les élèves comprennent mieux que 13/2 est un nombre (au passage c'est plus pertinent de les confronter à 13/3) et c'est précisément pour cela que je trouve la notation anglaise efficace:
* 13/3 = 41/3 c'est donc bien un nombre compris entre 4 et 5!
* mais comme la division ne tombe pas juste on ne peut écrire le résultat autrement que sous forme fractionnaire
* 13/3 est plus pratique pour les calculs, 41/3 est plus pratique pour connaitre la valeur.
Voilà en résumé ce que je présente à mes élèves et ça fonctionne. Ils ne sont pas d'un coup plus à l'aise pour les additions/multiplications de fractions, mais ils comprennent mieux l'intérêt des fractions, ils comprennent mieux que ce sont des nombres et je vais enfoncer des portes ouvertes en disant qu'une fois qu'ils saisissent mieux la raison d'être ils écoutent mieux la suite...
Pour ce qui est du choix d'écrire le +, vu que je ne veux pas les faire calculer avec, cela me paraît plus naturel sans, et non, je n'ai pas constaté de confusion à cause de cela. Après si tu veux faire des opérations c'est plus discutable...
Si tu as besoin d'être davantage convaincu, je te suggère de le tester avec les tiens, ça prend une heure et tu pourras te faire une opinion plus concrète!
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Sur les notations qui ne sont pas une aide à la compréhension, je renvoie à la merveilleuse notation, dite "spécieuse" (excusez le mot), mise en place par François Viète, qui a quand même permis l'essor de l'algébrisation.
Avant, on parlait de "choses" et de "parties", parfois même sous forme de poèmes (je laisse goûter la difficulté de compréhension possible), sans oublier le magnifique bestiaire des puissances.
Et cela ne l'a pas empéché de faire des choses secrètes tout en en dévoilant les méthodes de son temps, un vrai partageur s'il en est.
Cela dit, ce monsieur était loin d'être dépourvu en termes de moyens calculatoires, cela tempère cet exemple toutefois remarquable.
À bientôt.
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Je ne crois pas un seul instant que des élèves qui mettent 30 secondes à faire la division $\frac{23}{4}$ puissent mettre 5 secondes pour trouver que $\frac{23}{4}$=5$\frac{3}{4}$=5,75
La première étape est exactement la même, pour la deuxième il y a la différence entre être capable de faire la D.E. de 30 par 4 (qui est de la même difficulté que celle de la première étape donc soit 2 secondes pour les élèves connaissant leurs tables à l'envers soit de longues minutes...) et être capable de voir que $\frac{3}{4}$=0.75
Si on prend un autre exemple comme $\frac{23}{5}$ je ne suis pas persuadé que de passer par la notation anglo-saxonne soit le plus pratique.
Il conviendrait sans doute de mettre la fraction en indice, ne fut-ce que pour éviter la confusion avec l'écriture de la puissance fractionnaire.
Pour la compréhension de l'opération implicite, il y a nécessairement une appropriation à faire, mais l'écriture ne peut souffrir d'une confusion avec la multiplication implicite, une condition nécessaire n'étant pas remplie.
À bientôt.
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OK, essayons : $5_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}=\left(5_{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}}$ ou $5_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}=\left(5^{\frac{1}{2}} \right)_{\frac{1}{2}}$ ? :-D
Il y a un moment, quand une notation est pourrie (comme celle en colonne des coefficients binomiaux), il faut savoir en changer.
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about. -- Schnoebelen, Philippe
Oui il me semble que si l’on est bien dans le sujet, il s’agit bien de discuter $5 \scriptsize{\frac{1}{2}}$ (et encore je ne parviens pas à faire tenir la fraction sur la hauteur du 5).
Mais une flemme honteuse sur le téléphone me conduit à écrire $5^{1/2}$
C’est le but de ma remarque précédente.
La discussion est claire à ce niveau là, me semble-t-il.
En fait la discussion ne porte que sur une seule chose :
La suppression du symbole $+$ lorsque le nombre est écrit avec une somme de sa partie entière (écrite en écriture décimale) et de sa partie fractionnaire (écrite en fraction).
Non, non, je ne vois pas.
Vous ne m’avez pas convaincu.
J’y vois davantage d’inconvénients pour la suite de la scolarité.
Faites-lire « 4$\frac{1}{2}$ » et comptez les « quatre demis ». Peut-être y trouverez vous quelque chose de négatif…
Puisqu’on me pose la question en privé : quel est le problème d’ajouter une règle pour les élèves ?
J’ai déjà donné une raison : si ça sert à tenter de colmater une notation déjà foirée, autant ne pas employer cette notation.
Deuxième raison : les élèves ont déjà du mal à retenir les règles d’opérations sur les fractions et les règles de priorités alors si en plus on rajoute à cas…
Quant à mon jeu sur les exposants et les indices, c’est à moitié du troll… au fait, troll et demi ou demi-troll ? :-D
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about. -- Schnoebelen, Philippe
En fait je comprends parfaitement l’idée de cette notation.
Mais elle ne sert que dans un énoncé. Ou comme évoqué par quelques-uns, dans la vie courante (âge, pointure, taille de disquette jadis…).
Le problème c’est qu’on n’en fait rien ensuite.
C’est un peu comme « 7,6 » ou « 97,3 ».
Tel quel, on n’en fait rien.
Je râle sur l’idée de partir d’un calcul (13/3) ou (13/3+7/2) avec des fractions et de demander qu’on attende un résultat sous cette forme « anglaise ».
Je dis que si l’on est capable de l’écrire sous cette forme alors il n’y a aucune raison qu’on ne puisse pas y parvenir sous la forme avec le « $+$ ».
Je n’ai rien vu qui contredise ma phrase précédente.
Mais qui trouve l’égalité : « $13/3=4^{1/3}$ » ? L’élève ou le prof ?
L'élève. Dans 13 combien de fois 3, il y va 4 fois et il reste 1 à partager en 3.
Ensuite je leur demande de connaître par coeur combien valent 1/2 1/3 1/4 et 1/5.
remarque : on est d’accord que ce n’est pas avec une puissance mais que c’est commode entre nous pour en discuter.
Oui, j'écris la barre de fraction à mi hauteur des nombres mais je ne sais pas le faire ici.
Et pour la suite encore une fois ils ne font pas de calcul sous cette forme, c'est juste pour connaître la valeur numérique et éventuellement donner la valeur décimale.
Dans ma vision des nombres 13/3 est un intermédiaire de calcul et 41/3 un résultat final et les élèves semblent y adhérer. J'en veux pour témoignage que très souvent ils me demandent l'autorisation d'utiliser cette notation (ce que je leur refuse et en voyant vos réactions ici je me dis que je fais bien!).
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Ok.
Alors je crois l’avoir dit dans ce fil, peut-être sur la page précédente.
En 6e, même sans le raisonnement qui utilise les tables (et oui, ça manque énormément… les tables… un peut comme des carence en culture générale) on peut faire :
13/3=1/3+1/3+…+1/3
Puis on utilise l’associativité de l’addition et la définition 1/3+1/3+1/3 = 1
Ils entourent par paquet de trois.
En fait c’est exactement ça que tu décris.
13/3=4+1/3
Ça en effet ça fonctionne quand l’élève est disponible.
Et je pense qu’il est mieux d’écrire « + ».
La seule différence est dans la dernière écriture.
Je ne prétends pas que c'est la seule façon de calculer, je constate juste qu'un nombre conséquent de mes élèves sont devenus moins réticents aux fractions en partie grâce à cette notation.
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Ok.
Une dernière question.
C’est à la seule dernière étape que la notation est utilisée, si j’ai bien compris.
C’est en ce sens que je dis que ce n’est pas la panacée.
Avant d'utiliser cette notation, quand je voulais faire calculer de tête aux élèves 13/3, pour les aider à comprendre les étapes du calcul je leur écrivais quelque chose du style: 13/3 = (12+1)/3 = 12/3 + 1/3 = 4+1/3 = 4,333 ou autre version plus ou moins semblable. Je constate que 41/3 sans le symbole + parait moins calculatoire aux élèves en difficulté et qu'ils se laissent faire plus facilement. L'argument n'est pas très rationnel, mais si nos élèves étaient rationnels il n'y aurait pas vraiment lieu d'échanger sur ces sujets.
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Je ne sais pas comment font les autres, mais de mon côté les élèves ne l'écrivent pas du tout. S'ils devaient l'écrire ce serait effectivement à l'avant dernière étape.
Je leur demande toujours de donner le résultat sous la forme la plus simple possible, donc ici sous forme de fraction irréductible. Pour que ces résultats leur parlent plus et pour les entrainer au calcul mental, je leur demande presque systématiquement à l'oral de me donner la valeur du nombre à la fois en notation anglaise et décimale.
Donc pas d'addition ni de multiplication sous cette forme, mais les élèves comprennent mieux (et donc acceptent mieux) pourquoi on leur demande 13/3 comme résultat (pour éventuellement poursuivre les calculs) et comprennent aussi que comme résultat final il y aurait des façons d'écrire plus causantes (notation anglaise et/ou valeur décimale).
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ÉDIT : j’ai tapé ce message avant ton tout dernier message.
C’est bien ce que tu évoques.
——
Ok.
Alors je crois comprendre.
Les élèves attendent toujours « un résultat » quand ils sortent de l’école primaire (et je ne blâme pas les Professeurs des Écoles).
Comprendre : ils attendent par réflexe le nombre écrit en écriture décimale (le fameux « ça fait combien ? »).
Le fait qu’il y ait un « + », ils peuvent avoir l’impression que « ce n’est pas fini ».
Et pire encore, cognitivement, ils peuvent tenter de calculer l’incalculable pour eux.
Je soupçonne que ce soit cela qui pose problème pour eux.
Travailler l’écriture des résultats attendus est primordial.
Dans les consignes, trop peu d’enseignants (de mon point de vue) passent à la trappe cette chose presque essentielle.
Ils écrivent « calculer » et l’élève doit deviner la forme à donner.
Tantôt c’est l’écriture décimale, mais ce n’est pas dit. Tantôt vers une écriture fractionnaire mais ce n’est pas dit. Parfois encore c’est en fraction irréductible (là en général c’est explicite).
Je pense qu’il faut expliciter ça dans les consignes.
Ensuite il y a les situations concrètes avec la question « Quelle est la monnaie rendue ? ».
Et là cela ne me dérange absolument pas qu’un élève réponde : « 20€ - (2$\times$6,35€) ».
Il suffit d’ajouter alors, même à l’oral « et alors ? En écriture décimale ? ».
Et surtout ne pas refuser cette écriture avec les calculs (l’expression du résultat), ou alors écrire explicitement dans la consigne ce que l’on veut.
Pour revenir au sujet, on demandait parfois (ça se perd un peu je trouve) : écrire chaque nombre sous la forme $a+b$ où $a$ est un entier le plus grand possible et $b$ une fraction. Ou des choses similaires.
Cela fonctionnait après avoir expliqué aux élèves. En 2021 on a forcément des « j’ai pas compris » qui fusent si l’on écrit ça.
Je ne suis pas fan de cette consigne mais c’est cela je crois le point crucial de cette discussion.
Ça n’a l’air de rien, certains vont annoncer que je fume la moquette B-)- .
Si un élève n’est pas dérangé qu’un résultat (final) contienne des opérations, alors il n’aura aucun problème avec la notation standard (avec le « + »). Et il aura énormément progressé. On aura déconstruit l’idée que « en maths, on veut toujours savoir combien ça fait en vrai ».
Je pense comme Dom sur cette histoire du ’’+".
A partir du moment où on interdit les calculatrices, à la limite, tout me va...(la touche a+b/c existe sur les calculatrices ’’collège’’ :-D)
Petite remarque en passant, je ne pense pas que le débat se voulait essentiellement sur l'écriture ou non du +, mais plutôt sur l'utilisation ou non de la notation anglaise (avec ou sans +):
Oui mais pour moi la notation anglaise n’est que l’effacement du + ([small]et un écriture plus petite des chiffres dans l’écriture fractionnaire[/small])
vorobichek, que je salue volontiers, est en désaccord avec moi sur le fait implicite(elle)/explicite(moi) de poser les questions quant à la manière d’écrire le résultat.
Je reformule: j'ai plutôt interprété la question comme: {$7\frac{3}{4}$ ou $7+\frac{3}{4}$} vs $\frac{31}{4}$
mais peut-être la pensait-elle comme: {$7\frac{3}{4}$ vs $7+\frac{3}{4}$}
Si tel est le cas, je préfère $7\frac{3}{4}$ même si vos objections sont pertinentes. Dans 31 on n'écrit ni la multiplication, ni l'addition et cela ne lève pas d'objections. Je crois qu'on peut aussi s'habituer facilement à cette notation que l'on côtoie quotidiennement (oui, avec le "et" voire avec le "moins" mais bon...). Je ne suis pas un fan de l'argument du plus grand nombre mais si autant de pays le font ça peut tout de même nous interroger.
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En effet j’ai plutôt compris comme la deuxième formulation.
Mais tu as raison la question de 31/4 « par défaut », je comprends qu’on se la pose également.
Bonjour,
personnellement, je trouve plus sympa d'écrire [150 2/3, 151 7/11] plutôt que [452/3, 1668/11] si je dois me demander si 151 appartient ou non à cet intervalle.
Mais je dois être un peu anglais sur les bords ! :-)
Je remets une petite pièce.
Perso je trouve encore plus sympa d'écrire [150 + 2/3 ; 151 + 7/11] plutôt que [452/3, 1668/11] si je dois me demander si 151 appartient ou non à cet intervalle.
Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
Je suis révoltée ! Ce sont des fractions russes et non anglaises, j'exige que vous dites les fractions russes :-D (:P)
Bon, blague à part. Je demandais bien laquelle de 3 écritures vous convient mieux (il n'y a pas de sous-ensemble).
Concernant le signe $+$: cela dépend quand on apprend les choses et comment. Les élèves russes apprennent ces fractions fin 6e - début 5e. Fin 5e ils les maîtrisent et les utilisent beaucoup depuis 1 an. Donc quand en 4e ils apprennent le calcul littéral et qu'on peut ne pas écrire le signe $\times$ entre deux lettres, ils ne sont pas confus et ne se trompent pas. C'est comme le discriminant et les identités remarquables. Si les élèves font assez de calcul littéral avant de faire les équations de second degré, leur premier réflexe est de factoriser les cas simples sans passer par [le] discriminant.
Si je peux me permettre l'exercice de style, je pencherais plutôt pour l'intervalle [$151_{7/11}$; $151_{2/3}$], histoire de l'avoir dans l'ordre, [édit] sinon [$150_{2/3}$; $151_{7/11}$], c'est bien aussi.
Je suis d'accord avec Vorobichek, et pour l'aspect formateur et pour le fait que cette notation appartient un peu à tout le monde, surtout à ceux qui l'aiment.
[Édit : Merci Dom, je le laisse quand même mais ça me servira de leçon pour ne plus olibriusser.]
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Dreamer,
Les parties entières, dans l’exemple choisi, sont respectivement 150 et 151.
Salut vorobichek ;-), en passant
Bon, à tous, en ce qui concerne « ce qui convient le mieux », je garde la notation avec le « + » avec les précautions indiquées plus haut : dire aux élèves qu’un résultat final peut être écrit avec des opérations.
Vous me direz si « le problème » ne vient pas de là, finalement.
Il reste à trancher l’écriture par défaut : écriture en fraction ou écriture partie entière + partie décimale ?
Mon avis est de le préciser à chaque fois.
Je ne sais pas s’il y a un nom pour la seconde.
Mais là où tout le monde va se rejoindre, c’est bien dans l’appréhension du nombre. La deuxième écriture apporte une information non négligeable aux élèves (surtout non matheux) : un encadrement entre deux entiers.
Les matheux sont tellement fans de l’abstraction qu’ils se fichent éperdument du résultat et de son ordre de grandeur.
Ils se plaisent à terminer par :
« l’aire est égale à $\displaystyle \sqrt{2 \ }+\frac{\pi}{2}$ $m^2$ ».
Et j’ai même souvenir qu’en L1 on trouve des étudiants qui demandent encore « mais ça fait combien, du coup ? ».
Alors qu’une bonne partie s’en soucie bien moins que de sa première paire de chaussettes.
Réponses
concernant la notion de "tables de division" voici à titre d'illustration la table des matières et quelques pages de "le calcul quotidien" CE2, collection Bodard F Nathan 1957.
On voit qu'on ne se contente pas d'enseigner les tables de multiplication à l'endroit.
Cordialement
Ils revoyaient continuellement la même matière, mais de façons tellement différentes pour chaque leçon qu'ils devaient forcément accrocher au bout d'un moment.
Et la force de la répétition, qui n'est pas dite car les situations sont variées.
À bientôt.
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Du coup le soir je récitais 12= 1x12, 12=2x6 et 12=3x4.
Et en même temps on avait appris que les nombres premiers étaient ceux qui n’avaient que la décomposition évidente avec 1 et eux-mêmes.
Il me semble bien que c’était en CP (la maîtresse faisait beaucoup de « calcul » et j’ai retrouvé mon fichier où on faisait des additions dans plein de bases différentes).
D’après ma mère, qui me faisait réciter, sans jamais avoir appris les tables dans l’ordre je les savais.
Les intérêts que je lui trouve:
1) Les fractions prennent une valeur plus concrète (donc utile aussi pour comparer, approximer etc..)
2) Très utile en calcul mental pour donner la valeur décimale exacte de toutes les fractions sur 2,3,4 et 5 (et plus si affinités)
3) En 6e permet de mieux appréhender la partie entière et la partie décimale (notamment ne pas enlever le 0 et la virgule sur la partie décimale)
4) La partie qui reste sous forme de fraction est plus petite que 1, ce qui correspond mieux à l'intuition qu'ont les élèves des fractions.
En revanche je ne l'utilise absolument pas pour les opérations sur les fractions et à mon sens le faire serait une perte de temps et risquerait d'entraîner de la confusion. Bien sûr pour un ordre de grandeur ce serait pratique, mais dans ce cas remplacer chaque fraction par l'entier le plus proche est plus simple et efficace.
Comme cette notation n'est pas au programme les élèves ne la connaissent pas, je la fais donc en 6,5,4. En 3ème les fractions sont déjà bouclées. En 6ème je passe plus de temps sur la notion mais en 5e et 4e c'est surtout pour que les fractions arrêtent de leur paraître obscures et qu'ils ne prennent pas la calculatrice en paniquant à la moindre division.
Maintenant je ne me verrais plus faire sans car je constate son efficacité pour rendre les fractions plus familières aux élèves, et je constate qu'ils la réinvestissent spontanément seuls.
Si la notation était conventionnelle en France, je demanderais que les résultats finaux soient toujours donnés sous cette forme, mais j'en déconseillerais l'usage dans les étapes intermédiaires.
Qu’une notation permette une aisance à l’écrit, je l’entends.
Qu’une notation change la « vie fractionnaire » d’un collégien, je ne sais pas où et quand quiconque peut le penser.
À bientôt.
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Pour ce qui est du calcul mental, le réflexe des élèves quand on leur demande la valeur décimale de 23/4 est de poser la division de tête et n'ont pas le réflexe de la transformer en 53/4 avant de répondre 5,75. En moins d'une heure ils passent de 30s à 5s pour donner le résultat et n'ont plus peur de ces calculs.
Pour les deux derniers points de l'aisance à l'écrit et de changer la vie fractionnaire, je ne saurais te répondre, ça ne me parle pas.
J'ai 6 ans et demi, (pas 13 demi ans).
Je suis arrivé il y a 1 heure et quart. Le cours commence à 8 heures et demie.
La bouteille de 1 litre et demi de soda. 6 bouteilles de 1 litre et demi, ça fait 9 litres.
Les gants mapa : taille 8 et demi.
Les chaussures ? taille 36 et demi.
Les anciennes disquettes aujourd'hui disparues ? taille 5 pouces 1 quart, ou 3 pouces et demi.
Tout le monde manipule ça couramment. C'est simple, c'est efficace. Et donc on l'interdit en cours de maths. Pour être sûr que seuls les bons élèves comprennent ???
« Tout le monde manipule ça couramment ».
Non. Il faut voir ce que peuvent dire des collégiens, et bien entendu aussi des adultes.
2)
Avec des unités, oui, c’est plus usuel.
Mais là on parle sans unité me semblait-il.
3)
Tant que 13/2 n’est pas accepté, intégré en tant que nombre, tout cela est de la foutaise selon moi.
Ça n’aide pas à proposer une écriture plus simple de 7/2+3/5.
4)
Montrez-moi l’élève qui manipule ces notations aisément et qui rate avec les notations usuelles.
5)
Ça encourage à penser que « une fraction ça peut pas avoir un nombre en haut plus grand qu’en bas ».
Ainsi, que ce soit une méthode d’approche, d’introduction ou tout ce genre d’initiation, ça me va.
Mais, non, ça n’aide pas ensuite. Ce n’est pas une trouvaille géniale qui simplifie la vie des collégiens avec les fractions.
6)
On n’interdit pas.
Encore une fois allons-y : 3$\frac{1}{2}$+5$\frac{1}{4}$, ça donne quoi pour tous les élèves ?
Est-ce que ça change vraiment par rapport à : 3+$\frac{1}{2}$+5+$\frac{1}{4}$.
Le couplet sur « vous faites ça seulement pour les bons élèves » est absurde.
Il faut aller voir dans les classes comment ça se passe. Rien que $\frac{1}{2}$, c’est un nombre déjà mal interprété.
On n’a pas souvent « l’évidence » $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$… c’est $1$.
On ne l’a pas souvent…
Sauf là où ça fonctionne, comme d’habitude.
J’attends les propositions là où ça ne fonctionne pas.
Sauf la proposition : « et bien moi, au lieu de l’écrire comme ça, j’écris 1/2+1/2, et ça passe bien mieux ».
Je dis que ce sont des foutaises. La notation n’est pas un miracle pour la compréhension.
3$\frac{1}{2}$ donne au mieux « heu… c’est trois virgule cinq…. ? » de manière très hésitante.
Mais le « virgule cinq », personne ne sait pourquoi on a « 5 »…
7)
On discute de 3$\frac{1}{2}$ à la place de 3+$\frac{1}{2}. (On a déjà évoqué la confusion avec un $\times$ plus tard… mais admettons…).
Dans les exemples « courants », cela revient à effacer le « et » puis d’annoncer, « les élèves comprennent mieux ce qu’ils lisent ».
Quel âge as-tu ? « 6 ans et demi ».
Dis plutôt « 6 ans demi » tu vas voir, tu vas mieux comprendre.
* 13/3 = 41/3 c'est donc bien un nombre compris entre 4 et 5!
* mais comme la division ne tombe pas juste on ne peut écrire le résultat autrement que sous forme fractionnaire
* 13/3 est plus pratique pour les calculs, 41/3 est plus pratique pour connaitre la valeur.
Voilà en résumé ce que je présente à mes élèves et ça fonctionne. Ils ne sont pas d'un coup plus à l'aise pour les additions/multiplications de fractions, mais ils comprennent mieux l'intérêt des fractions, ils comprennent mieux que ce sont des nombres et je vais enfoncer des portes ouvertes en disant qu'une fois qu'ils saisissent mieux la raison d'être ils écoutent mieux la suite...
Pour ce qui est du choix d'écrire le +, vu que je ne veux pas les faire calculer avec, cela me paraît plus naturel sans, et non, je n'ai pas constaté de confusion à cause de cela. Après si tu veux faire des opérations c'est plus discutable...
Si tu as besoin d'être davantage convaincu, je te suggère de le tester avec les tiens, ça prend une heure et tu pourras te faire une opinion plus concrète!
L’élève ou le prof ?
remarque : on est d’accord que ce n’est pas avec une puissance mais que c’est commode entre nous pour en discuter.
Sur les notations qui ne sont pas une aide à la compréhension, je renvoie à la merveilleuse notation, dite "spécieuse" (excusez le mot), mise en place par François Viète, qui a quand même permis l'essor de l'algébrisation.
Avant, on parlait de "choses" et de "parties", parfois même sous forme de poèmes (je laisse goûter la difficulté de compréhension possible), sans oublier le magnifique bestiaire des puissances.
Et cela ne l'a pas empéché de faire des choses secrètes tout en en dévoilant les méthodes de son temps, un vrai partageur s'il en est.
Cela dit, ce monsieur était loin d'être dépourvu en termes de moyens calculatoires, cela tempère cet exemple toutefois remarquable.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
La première étape est exactement la même, pour la deuxième il y a la différence entre être capable de faire la D.E. de 30 par 4 (qui est de la même difficulté que celle de la première étape donc soit 2 secondes pour les élèves connaissant leurs tables à l'envers soit de longues minutes...) et être capable de voir que $\frac{3}{4}$=0.75
Si on prend un autre exemple comme $\frac{23}{5}$ je ne suis pas persuadé que de passer par la notation anglo-saxonne soit le plus pratique.
-- Schnoebelen, Philippe
Pour la compréhension de l'opération implicite, il y a nécessairement une appropriation à faire, mais l'écriture ne peut souffrir d'une confusion avec la multiplication implicite, une condition nécessaire n'étant pas remplie.
À bientôt.
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Il y a un moment, quand une notation est pourrie (comme celle en colonne des coefficients binomiaux), il faut savoir en changer.
-- Schnoebelen, Philippe
Du reste l'ajout de parenthèses, comme exposé, lève toute ambiguïté potentielle.
À bientôt.
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Ce qui va ajouter encore une règle pour les élèves, tout ça pour colmater les foirages d’une notation déjà foirée.
-- Schnoebelen, Philippe
Mais une flemme honteuse sur le téléphone me conduit à écrire $5^{1/2}$
C’est le but de ma remarque précédente.
La discussion est claire à ce niveau là, me semble-t-il.
La suppression du symbole $+$ lorsque le nombre est écrit avec une somme de sa partie entière (écrite en écriture décimale) et de sa partie fractionnaire (écrite en fraction).
Non, non, je ne vois pas.
Vous ne m’avez pas convaincu.
J’y vois davantage d’inconvénients pour la suite de la scolarité.
Faites-lire « 4$\frac{1}{2}$ » et comptez les « quatre demis ». Peut-être y trouverez vous quelque chose de négatif…
J’ai déjà donné une raison : si ça sert à tenter de colmater une notation déjà foirée, autant ne pas employer cette notation.
Deuxième raison : les élèves ont déjà du mal à retenir les règles d’opérations sur les fractions et les règles de priorités alors si en plus on rajoute à cas…
Quant à mon jeu sur les exposants et les indices, c’est à moitié du troll… au fait, troll et demi ou demi-troll ? :-D
-- Schnoebelen, Philippe
Bonne continuation.
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Mais elle ne sert que dans un énoncé. Ou comme évoqué par quelques-uns, dans la vie courante (âge, pointure, taille de disquette jadis…).
Le problème c’est qu’on n’en fait rien ensuite.
C’est un peu comme « 7,6 » ou « 97,3 ».
Tel quel, on n’en fait rien.
Je râle sur l’idée de partir d’un calcul (13/3) ou (13/3+7/2) avec des fractions et de demander qu’on attende un résultat sous cette forme « anglaise ».
Je dis que si l’on est capable de l’écrire sous cette forme alors il n’y a aucune raison qu’on ne puisse pas y parvenir sous la forme avec le « $+$ ».
Je n’ai rien vu qui contredise ma phrase précédente.
Ha mais non, c’est moi, pas toi.
-- Schnoebelen, Philippe
Le smiley :-D est d’ailleurs un élément révélateur.
Ensuite je leur demande de connaître par coeur combien valent 1/2 1/3 1/4 et 1/5.
Oui, j'écris la barre de fraction à mi hauteur des nombres mais je ne sais pas le faire ici.
Et pour la suite encore une fois ils ne font pas de calcul sous cette forme, c'est juste pour connaître la valeur numérique et éventuellement donner la valeur décimale.
Dans ma vision des nombres 13/3 est un intermédiaire de calcul et 41/3 un résultat final et les élèves semblent y adhérer. J'en veux pour témoignage que très souvent ils me demandent l'autorisation d'utiliser cette notation (ce que je leur refuse et en voyant vos réactions ici je me dis que je fais bien!).
Alors je crois l’avoir dit dans ce fil, peut-être sur la page précédente.
En 6e, même sans le raisonnement qui utilise les tables (et oui, ça manque énormément… les tables… un peut comme des carence en culture générale) on peut faire :
13/3=1/3+1/3+…+1/3
Puis on utilise l’associativité de l’addition et la définition 1/3+1/3+1/3 = 1
Ils entourent par paquet de trois.
En fait c’est exactement ça que tu décris.
13/3=4+1/3
Ça en effet ça fonctionne quand l’élève est disponible.
Et je pense qu’il est mieux d’écrire « + ».
La seule différence est dans la dernière écriture.
Une dernière question.
C’est à la seule dernière étape que la notation est utilisée, si j’ai bien compris.
C’est en ce sens que je dis que ce n’est pas la panacée.
Je leur demande toujours de donner le résultat sous la forme la plus simple possible, donc ici sous forme de fraction irréductible. Pour que ces résultats leur parlent plus et pour les entrainer au calcul mental, je leur demande presque systématiquement à l'oral de me donner la valeur du nombre à la fois en notation anglaise et décimale.
Donc pas d'addition ni de multiplication sous cette forme, mais les élèves comprennent mieux (et donc acceptent mieux) pourquoi on leur demande 13/3 comme résultat (pour éventuellement poursuivre les calculs) et comprennent aussi que comme résultat final il y aurait des façons d'écrire plus causantes (notation anglaise et/ou valeur décimale).
C’est bien ce que tu évoques.
——
Ok.
Alors je crois comprendre.
Les élèves attendent toujours « un résultat » quand ils sortent de l’école primaire (et je ne blâme pas les Professeurs des Écoles).
Comprendre : ils attendent par réflexe le nombre écrit en écriture décimale (le fameux « ça fait combien ? »).
Le fait qu’il y ait un « + », ils peuvent avoir l’impression que « ce n’est pas fini ».
Et pire encore, cognitivement, ils peuvent tenter de calculer l’incalculable pour eux.
Je soupçonne que ce soit cela qui pose problème pour eux.
Travailler l’écriture des résultats attendus est primordial.
Dans les consignes, trop peu d’enseignants (de mon point de vue) passent à la trappe cette chose presque essentielle.
Ils écrivent « calculer » et l’élève doit deviner la forme à donner.
Tantôt c’est l’écriture décimale, mais ce n’est pas dit. Tantôt vers une écriture fractionnaire mais ce n’est pas dit. Parfois encore c’est en fraction irréductible (là en général c’est explicite).
Je pense qu’il faut expliciter ça dans les consignes.
Ensuite il y a les situations concrètes avec la question « Quelle est la monnaie rendue ? ».
Et là cela ne me dérange absolument pas qu’un élève réponde : « 20€ - (2$\times$6,35€) ».
Il suffit d’ajouter alors, même à l’oral « et alors ? En écriture décimale ? ».
Et surtout ne pas refuser cette écriture avec les calculs (l’expression du résultat), ou alors écrire explicitement dans la consigne ce que l’on veut.
Pour revenir au sujet, on demandait parfois (ça se perd un peu je trouve) : écrire chaque nombre sous la forme $a+b$ où $a$ est un entier le plus grand possible et $b$ une fraction. Ou des choses similaires.
Cela fonctionnait après avoir expliqué aux élèves. En 2021 on a forcément des « j’ai pas compris » qui fusent si l’on écrit ça.
Je ne suis pas fan de cette consigne mais c’est cela je crois le point crucial de cette discussion.
Ça n’a l’air de rien, certains vont annoncer que je fume la moquette B-)- .
Si un élève n’est pas dérangé qu’un résultat (final) contienne des opérations, alors il n’aura aucun problème avec la notation standard (avec le « + »). Et il aura énormément progressé. On aura déconstruit l’idée que « en maths, on veut toujours savoir combien ça fait en vrai ».
A partir du moment où on interdit les calculatrices, à la limite, tout me va...(la touche a+b/c existe sur les calculatrices ’’collège’’ :-D)
vorobichek, que je salue volontiers, est en désaccord avec moi sur le fait implicite(elle)/explicite(moi) de poser les questions quant à la manière d’écrire le résultat.
mais peut-être la pensait-elle comme: {$7\frac{3}{4}$ vs $7+\frac{3}{4}$}
Si tel est le cas, je préfère $7\frac{3}{4}$ même si vos objections sont pertinentes. Dans 31 on n'écrit ni la multiplication, ni l'addition et cela ne lève pas d'objections. Je crois qu'on peut aussi s'habituer facilement à cette notation que l'on côtoie quotidiennement (oui, avec le "et" voire avec le "moins" mais bon...). Je ne suis pas un fan de l'argument du plus grand nombre mais si autant de pays le font ça peut tout de même nous interroger.
Mais tu as raison la question de 31/4 « par défaut », je comprends qu’on se la pose également.
-- Schnoebelen, Philippe
personnellement, je trouve plus sympa d'écrire [150 2/3, 151 7/11] plutôt que [452/3, 1668/11] si je dois me demander si 151 appartient ou non à cet intervalle.
Mais je dois être un peu anglais sur les bords ! :-)
Perso je trouve encore plus sympa d'écrire [150 + 2/3 ; 151 + 7/11] plutôt que [452/3, 1668/11] si je dois me demander si 151 appartient ou non à cet intervalle.
Bon, blague à part. Je demandais bien laquelle de 3 écritures vous convient mieux (il n'y a pas de sous-ensemble).
Concernant le signe $+$: cela dépend quand on apprend les choses et comment. Les élèves russes apprennent ces fractions fin 6e - début 5e. Fin 5e ils les maîtrisent et les utilisent beaucoup depuis 1 an. Donc quand en 4e ils apprennent le calcul littéral et qu'on peut ne pas écrire le signe $\times$ entre deux lettres, ils ne sont pas confus et ne se trompent pas. C'est comme le discriminant et les identités remarquables. Si les élèves font assez de calcul littéral avant de faire les équations de second degré, leur premier réflexe est de factoriser les cas simples sans passer par [le] discriminant.
Si je peux me permettre l'exercice de style, je pencherais plutôt pour l'intervalle [$151_{7/11}$; $151_{2/3}$], histoire de l'avoir dans l'ordre, [édit] sinon [$150_{2/3}$; $151_{7/11}$], c'est bien aussi.
Je suis d'accord avec Vorobichek, et pour l'aspect formateur et pour le fait que cette notation appartient un peu à tout le monde, surtout à ceux qui l'aiment.
[Édit : Merci Dom, je le laisse quand même mais ça me servira de leçon pour ne plus olibriusser.]
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Les parties entières, dans l’exemple choisi, sont respectivement 150 et 151.
Salut vorobichek ;-), en passant
Bon, à tous, en ce qui concerne « ce qui convient le mieux », je garde la notation avec le « + » avec les précautions indiquées plus haut : dire aux élèves qu’un résultat final peut être écrit avec des opérations.
Vous me direz si « le problème » ne vient pas de là, finalement.
Il reste à trancher l’écriture par défaut : écriture en fraction ou écriture partie entière + partie décimale ?
Mon avis est de le préciser à chaque fois.
Je ne sais pas s’il y a un nom pour la seconde.
Mais là où tout le monde va se rejoindre, c’est bien dans l’appréhension du nombre. La deuxième écriture apporte une information non négligeable aux élèves (surtout non matheux) : un encadrement entre deux entiers.
Les matheux sont tellement fans de l’abstraction qu’ils se fichent éperdument du résultat et de son ordre de grandeur.
Ils se plaisent à terminer par :
« l’aire est égale à $\displaystyle \sqrt{2 \ }+\frac{\pi}{2}$ $m^2$ ».
Et j’ai même souvenir qu’en L1 on trouve des étudiants qui demandent encore « mais ça fait combien, du coup ? ».
Alors qu’une bonne partie s’en soucie bien moins que de sa première paire de chaussettes.
C’est pour des lauriers ?
-- Schnoebelen, Philippe