Visions alternatives
Salut à tous,
Je suis en train de lire le livre d'Alain Badiou (dont on a déjà moult parlé) : "Le Nombre et les nombres". Je suis comme Jean-Louis, je n'ai toujours pas compris (même après avoir lu "L'Etre et l'Evènement) pourquoi "l'Un" n'existe pas. Mais ce n'est pas de ça dont je veux parler aujourd'hui.
Au Chapitre 8 : "Ordinaux de von Neumann", Badiou définit la notion d'ordinal d'une façon assez originale. Pour lui, un ordinal est un ensemble transitif dont tous les éléments sont transitifs. Selon lui, l'avantage de cette définition est qu'elle est "immanente" ou "intérieure à la théorie des ensembles", au sens où elle ne fait pas appel à la notion de bon ordre.
Seul inconvénient de la manoeuvre : on a besoin de l'axiome de fondation pour prouver que tout ordinal au sens de Badiou est aussi un ordinal au sens usuel.
Pendant qu'on est dans les visions alternatives, je vous joins un petit papier que j'ai écrit sur "Une vision alternative de l'infini". Il s'agit pour l'essentiel de la traduction d'une partie d'un article de Paul Corazza, agrémenté à ma sauce.
Je suis en train de lire le livre d'Alain Badiou (dont on a déjà moult parlé) : "Le Nombre et les nombres". Je suis comme Jean-Louis, je n'ai toujours pas compris (même après avoir lu "L'Etre et l'Evènement) pourquoi "l'Un" n'existe pas. Mais ce n'est pas de ça dont je veux parler aujourd'hui.
Au Chapitre 8 : "Ordinaux de von Neumann", Badiou définit la notion d'ordinal d'une façon assez originale. Pour lui, un ordinal est un ensemble transitif dont tous les éléments sont transitifs. Selon lui, l'avantage de cette définition est qu'elle est "immanente" ou "intérieure à la théorie des ensembles", au sens où elle ne fait pas appel à la notion de bon ordre.
Seul inconvénient de la manoeuvre : on a besoin de l'axiome de fondation pour prouver que tout ordinal au sens de Badiou est aussi un ordinal au sens usuel.
Pendant qu'on est dans les visions alternatives, je vous joins un petit papier que j'ai écrit sur "Une vision alternative de l'infini". Il s'agit pour l'essentiel de la traduction d'une partie d'un article de Paul Corazza, agrémenté à ma sauce.
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Réponses
> Au Chapitre 8 : "Ordinaux de von Neumann", Badiou définit la notion d'ordinal d'une façon assez
> originale. Pour lui, un ordinal est un ensemble transitif dont tous les éléments sont
> transitifs. Selon lui, l'avantage de cette définition est qu'elle est "immanente" ou
> "intérieure à la théorie des ensembles", au sens où elle ne fait pas appel à la notion de bon ordre.
Une définition abrège une proposition (comme le fait une macro en langage C par exemple). Si les définitions sont des abréviations, pourquoi ne pas utiliser la définition de bon ordre ? C'est une définition "méta", par rapport aux ensembles ?
Aveu : je n'ai pas lu les 36 pages donc je peux dire une énormité, mais au moins au début vous présentez 2 définitions de l'infini avant de proposer la votre, mais vous n'abordez pas la définition de Tarski, est-ce qu'il y a une bonne raison ?
Un ensemble est fini si et seulement si toute famille non vide de ses parties admet un élément minimal pour l'inclusion.
On ne suppose pas l'axiome de fondation dans ce qui suit. Soit $x$ un ensemble transitif dont tous les éléments sont des ordinaux. Alors $x$ est un ordinal, en effet soit $\alpha$ le plus petit ordinal n'appartenant pas à $x$ (aucun ensemble ne pouvant avoir tous les ordinaux comme éléments). Alors $\alpha \subseteq x$ et si $\beta \in x$, $\beta \subseteq x$ par transitivité et donc $\beta \in \alpha$ (sans quoi $\alpha \subseteq \beta$ donc $\alpha = \beta$ ce qui est impossible, ou $\alpha \in \beta$ et donc $\alpha \in x$ à nouveau par transitivité, ce qui est à nouveau impossible).
Donc $\alpha = x$.
Cela étant soit $x$ un ensemble transitif, dont tous les éléments sont transitifs et qui est bien fondé pour $\in$. Alors $x$ est un ordinal.
On déduit cette affirmation de ce qui précède. Montrons que tous les éléments de $x$ sont des ordinaux. Sinon ($x$ étant bien fondé) il existe $y\in x$ qui n'est pas un ordinal, mais dont tous les éléments sont des ordinaux. Ceci est impossible d'après le paragraphe précédent. Le même paragraphe entraîne alors que $x$ est un ordinal.
Si je n'ai pas donné la définition de Tarski c'est pour une raison très simple : je ne la connaissais point.
Maintenant, je vais la méditer.
Merci pour l'info
Mais ce qui m'embête c'est que dans la théorie classique tu n'as pas besoin de l'axiome de fondation pour montrer que la classe des ordinaux est bien fondée :
1) Si $\alpha$ est un ordinal on ne peut pas avoir $\alpha \in \alpha$ car sinon la relation $\in$ ne serait pas irréflexive.
2) De même, si tu as une suite infinie décroissante pour $\in$ :
$$...\alpha_{n+1} \in \alpha_n \in ... \in \alpha_1 \in \alpha_0,$$
alors l'ensemble $\{\alpha_n : n \in \omega\}$ n'a pas de plus petit élément.
Et ce raisonnement ne marche plus dans le système de Badiou.
Je suis à côté de la plaque, ou pas ?
Un ensemble est un ordinal au sens usuel si et seulement si c'est un ordinal de Badiou bien fondé.
Si on rajoute l'axiome de fondation à la théorie ambiante, la mention "bien fondée" devient superflue.
La définition de Badiou est élégante et facile à retenir mais pas très pratique d'emploi (j'ai l'impression), alors qu'avec des bons ordres on a tout de suite des récurrences praticables et des théorèmes.
Sans axiome de fondation, existe-t-il des ordinaux de Badiou qui ne sont pas des vrais ordinaux?
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Ce que je veux dire c'est qu'il semble dire que se reposer sur des définitions pour introduire de nouvelles définitions produit des problèmes logiques, ou une moindre "qualité" de la théorie résultante. Mais ce n'est pas le cas en général. D'ailleurs la notion d'inclusion, par exemple, ne repose-t-elle pas déjà sur une définition ? J'imagine qu'il la définit à partir de l'appartenance.
Je réponds maintenant à ta dernière ligne : s'il existe dans l'univers un ensemble $x$ tel que $x=\{x\}$, alors $x$ est trivialement un ordinal au sens de Badiou mais pas au sens usuel. C'est (entre autres) pour ça que Badiou a besoin de l'axiome de fondation.
Cordialement.
Jean-Louis.
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
Au début de "L'Etre et l'évènement", il démontre que l'Un n'existe pas. Mais je n'ai rien compris à la démonstration. (Bon, j'ai peut-être lu un peu vite).
Je n'ai pas compris non plus "en d'autres termes la Nature n'existe pas."
En gros j'aurais plus vite fait de dire ce que j'ai compris...
La dualité UN / MULTIPLE est un sujet d'études philosophiques remontant au moins jusqu'à Platon et Euclide (pas le mathématicien le philosophe), il y a 2400 ans
@Tous : Le problème c'est d'arriver à le suivre. Je suis plus à l'aise quand il parle de grands cardinaux, et à l'extrême rigueur de généricité. Je pense avoir compris ce qu'il entend par "généricité" au plan philosophique, mais je ne domine pas suffisamment la question pour pouvoir l'expliquer avec des mots.
C'est simplement une impression : d'une part je pense que Krivine a autre chose à faire, d'autre part je ne pense pas que les GC soient sa spécialité. Mais je peux me tromper.
Les logiciens m'inquiètent un peu avec leurs débats contradictoires infinis. Aucun mathématicien d'une autre discipline mathématique n'irait chercher un zozo non-spécialiste pour alimenter sa réflexion.
Mais enfin, chacun fait de son temps ce qu'il veut.
Sa définition des ordinaux est assez originale et m'intéresse par cet aspect. Même si, comme le dit très justement Foys, elle est assez peu utilisable, et pas très pédagogique.
C'est la même chose avec le point de vue de Paul Corazza, que je ne fais guère que paraphraser (tout en le traduisant) dans mon papier. Sa conviction est qu'il faut "booster" ZFC avec des axiomes qui soient en accord avec la Maharishi Vedic Science. Si ça intéresse quelqu'un, tout est sur sa home page.
@Chaurien : si tu te méfies tant des logiciens, pourquoi fréquentes-tu ce sous-forum ?
Par ailleurs, je le répète, je ne partage point les convictions politiques de Monsieur Badiou, mais de là à le traiter de "zozo"...
J'espère que tu vas bien. Je suis heureux de te lire. L'an dernier nous avions eu de nombreux échanges dont celui-ci et les suivants.
Amitiés
Titi
Je vais essayer de remanier ce papier, et j'en ferai sans doute une annexe à mon livre, si tant est que j'arrive un jour à terminer ce dernier.