Choix du plus petit élément et bon ordre
Bonsoir
Dans une démonstration du théorème de la base normale, le groupe de Galois est bien ordonné de telle sorte que Id soit son plus petit élément ...
De quel théorème relève cette possibilité revendiquée de choisir le plus petit élément d'un ensemble non vide bien ordonné ?
Merci pour vos réponses !
Dans une démonstration du théorème de la base normale, le groupe de Galois est bien ordonné de telle sorte que Id soit son plus petit élément ...
De quel théorème relève cette possibilité revendiquée de choisir le plus petit élément d'un ensemble non vide bien ordonné ?
Merci pour vos réponses !
Réponses
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Soit $(X,<)$ un ensemble bien ordonné et $x\in X$. Alors il existe un bon ordre sur $X$ tel que $x$ est le minimum.
Indication de preuve : tu peux définir explicitement ce bon ordre !!! -
Si tu peux choisir le bon ordre, tu peux choisir son minimumAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Merci à vous deux pour vos contributions tautologiques :-)
Démonstration : Je considère un bon ordre sur $X \setminus {x}$ que je prolonge à $X$ en décrétant que $x$ est le minimum de $X$ pour la relation d'ordre élargie (qui reste un bon ordre). -
Comme Max t'avait répondu j'ai juste ajouté un point que ton premier post ne précisait pas:le groupe de Galois est bien ordonné de telle sorte que Id soit son plus petit élément ...
Cette phrase est un peu ambiguë, car on ne sait pas si tu as le droit de choisir l'ordre, vu que tu annonçais au présent de l'indicatif "qu'il est là". Par contre, tu l'annonces comme conforme à ton désir (id est le minimum), donc vue la phrase, j'ai envie de dire qu'il n'y aurait même rien à faire vue qu'elle apparait comme hypothèse.
On a implicitement traduit par "il existe un bon ordre qui blabla"Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Merci encore pour vos réponses le qualificatif "tautologique" est en rapport avec la répétition en mode affirmatif de ma propriété exprimée en mode interrogatif
Concernant l'énoncé de l'exercice il se borne à affirmer la possibilité de munir/choisir un bon ordre tel que id soit le minimum: cela m'apparaît évident en toute généralité si on ajoute un élément extérieur à l'ensemble ordonné mais me semblait jusqu'à présent non trivial si on raisonnait dans l'ensemble lui-même mais grâce à vos réponses un déclic s'est opéré dans mon esprit.;-)
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