Le plus simple est d'utiliser le cdv $t=\frac{1-x}{1+x}$ de FDP
\[\begin{aligned} \int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x^2} &=\int_1 ^0\frac{\ln\left(1+\frac{1-t}{1+t}\right)}{1+\left(\frac{1-t}{1+t}\right)^2}( -\frac{2}{(1+t)^2})dt\\
&=\int_0 ^1\frac{\ln \frac{2}{1+t}}{1+t^2}dt\\
&=\int_0 ^1\frac{\ln 2-\ln(1+t)}{1+t^2}dt\\
&=\ln 2\int_0 ^1 \frac{1}{1+t^2}-\int_0 ^1\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt\\
\end{aligned}
\]
Les CV de Chaurien et Fin de partie fonctionnent à merveille, encore faut-il les voir, si l'on pouvait déduire le CV possible à la seule vue de l'intégrale ... ? C'est plaisant de voir les réactions au fur et à mesure
On peut dire la même chose du changement de variable $y=\dfrac{1-x}{1+x}$ mais ce changement de variable n'est pas populaire dans les cours de calcul intégral.
Réponses
merci.
Merci
il s'agit de l'intégrale numérique de Serret
le changement de variable d'intégration proposé par Chaurien convient :
x = tant et donc dx/(1+x²) = dt et l'intégrale I devient
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(cost + sint)dt - \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(cost)dt$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln[\sqrt{2}.cos(t - \frac{\pi}{4})]dt - \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(cost)dt$
$I = \frac{\pi}{8}ln2 + \int_0^{\frac{\pi}{4}}lncos(t - \frac{\pi}{4})dt - \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(cost)dt$
$$I = \frac{\pi}{8}ln2$$
car en posant $u = \frac{\pi}{4} - t$ on s'aperçoit que la différence des deux dernières intégrales est nulle
cordialement
\[\begin{aligned} \int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x^2} &=\int_1 ^0\frac{\ln\left(1+\frac{1-t}{1+t}\right)}{1+\left(\frac{1-t}{1+t}\right)^2}( -\frac{2}{(1+t)^2})dt\\
&=\int_0 ^1\frac{\ln \frac{2}{1+t}}{1+t^2}dt\\
&=\int_0 ^1\frac{\ln 2-\ln(1+t)}{1+t^2}dt\\
&=\ln 2\int_0 ^1 \frac{1}{1+t^2}-\int_0 ^1\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt\\
\end{aligned}
\]
Ce cdv vient à l'esprit pour les intégrales de quelle forme en général ?
$\displaystyle \frac{1-\tan t}{1+\tan t}=\tan\left(\frac{\pi}{4}-t\right)$
Par ailleurs, le changement de variable $y=\dfrac{1-x}{1+x}$ laisse invariant $\dfrac{dx}{1+x^2}$ et $\dfrac{dx}{1+x}$
On peut dire la même chose du changement de variable $y=\dfrac{1-x}{1+x}$ mais ce changement de variable n'est pas populaire dans les cours de calcul intégral.