Relativité restreinte: collision
Bonjour,
Déterminer l'énergie minimale qu'un électron doit avoir pour, qu'en collisionnant un autre électron au repos, une paire électron-positron soit créée en plus des deux électrons déjà présents.
Intuitivement j'aurais dit $E=2mc^2$ avec $m$ la masse d'un électron (et donc d'un positron) mais je ne sais pas comment le démontrer...
Des idées ?
Déterminer l'énergie minimale qu'un électron doit avoir pour, qu'en collisionnant un autre électron au repos, une paire électron-positron soit créée en plus des deux électrons déjà présents.
Intuitivement j'aurais dit $E=2mc^2$ avec $m$ la masse d'un électron (et donc d'un positron) mais je ne sais pas comment le démontrer...
Des idées ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Justifie ton intuition. Tu as le droit de ne pas dire de conneries. Essaie.
A vérifier.
Je trouve $\displaystyle E \geq {7 \over 2} m c^2.$
Après vérification je trouve $E\geq 7 m c^2.$
On considère que l'électron incident $1$ arrive selon $x$ vers l'électron au repos $2$ placé en $O$
On a alors, avant collision,
$$p_1 =
\begin{bmatrix}
E/c \\
E v_1 /c\\
0 \\
0
\end{bmatrix}
,\qquad
p_2=
\begin{bmatrix}
mc \\
0\\
0 \\
0
\end{bmatrix}
$$ On suppose que l'électron $3$ et le positron $4$ produits font un angle $\theta$ de part et d'autre de l'axe $x$
Si j'ai bien compris, étant donné qu'on cherche l'énergie minimale, on considère qu'après la collision la vitesse de l'électron incident $1$ est nulle.
$$ p_1 '=
\begin{bmatrix}
mc\\
0\\
0 \\
0
\end{bmatrix}
,\quad
p_2'=
\begin{bmatrix}
\gamma_2 mc \\
\gamma_2 mv_2\\
0 \\
0
\end{bmatrix}
,\quad
p_3=
\begin{bmatrix}
\gamma_3 mc \\
\gamma_3 mv_3 \cos \theta\\
\gamma_3 mv_3 \sin \theta \\
0
\end{bmatrix}
,\quad
p_4=
\begin{bmatrix}
\gamma_3 mc \\
\gamma_3 mv_3 \cos \theta\\
-\gamma_3 mv_3 \sin \theta \\
0
\end{bmatrix},
$$ avec [edit] $\gamma_i = \dfrac{1}{\sqrt{1-(v_i/c)^2}}$.
Par conservation de la quadri-impulsion, $\ p_1 + p_2 = p_1' + p_2' + p_3' + p_4'$
En élevant au carré et comme $p_i^2 = -(mc)^2$ et les particules ici ayant toutes la même masse, on peut simplifier et en détaillant les produits scalaires,
$ -2Em = 2(mc)^2 -\gamma_2 (mc)^2 - \gamma_3 (mc)^2 - \gamma_2 (mc)^2 - 2\gamma_2 \gamma_3 (mc)^2 (1- \frac{v_2 v_3}{c^2} \cos \theta)$
Soit, $\ 2E/mc^2 = 2 + \gamma_2 + 2\gamma_3 + 2\gamma_2 \gamma_3 (1- \frac{v_2 v_3}{c^2} \cos \theta)$
Or, $\gamma \ge1$
donc $E \ge \frac{7}{2} mc^2$
Et $E_{\min} = \frac{7}{2} mc^2 $
C'est la bonne méthode ?
C’est l’idée.
Pourquoi la composante $Ev_1/c$ dans $p_1$ ?
Pourquoi supposer l’angle $\theta$ pour les particules $3,4$ ? Tu as la droit de le supposer mais tu ne trouves pas forcément un minimum.
Pourquoi pas de composantes sur $z$ dans les quantités de mouvement ?
Pourquoi $p_4$ dépendrait des indices $3$ ?
Tu as oublié une racine dans la définition de $\gamma$.
Tu peux considérer $(E/c, p)+(mc, 0)=(F/c, p)$ avec à droite une particule de masse au repos $4 m$ et une quantité de mouvement $p.$ Que vaut $E$ ?
Ou encore (un peu moins con) $(E/c, p)+(mc,0)=(A/c, p/4)+(B/c, p/4)+(D/c, p/4)+(F/c, p/4)$ pour quatre particules de masse $m$ au repos. Que vaut $E$ ?
Pour l'angle $\theta$ je n'arrivais pas à m'en sortir sinon et cela paraît plausible (l'électron et le positron ont l'air de jouer des rôles symétriques)
En considérant le mouvement plan, on n'a pas de composantes selon $z$. Quant à justifier que l'électron et le positron produits doivent avoir des trajectoires dans le même plan, qui plus est dans le même plan que celle de l'électron incident,...
En supposant que l'angle par rapport à l'axe $x$ de l'électron et positron produits est le même ($ \theta $), en regardant la composante selon $y$ de la conservation de la quadri-impulsion, on remarque que $\gamma_3 v_3 = \gamma_4 v_4 $. Or, pour $f(v)=\frac{v^2}{1-(v/c)^2}$, $f(v)=f(w)$ implique $v= \pm w$ (par étude de fonction). Donc, comme on considère $v_i \ge 0$, donc $v_3=v_4$ et $\gamma_3 = \gamma_4$
En élevant au carré,
$-(mc)^2 -2Em -(mc)^2 = -(4mc)^2$
ce qui donne $E=7mc^2$
Dans la dernière équation, comme les particules sont considérées au repos (est-ce parce qu'on considère le référentiel du centre de masse ?) , $A=B=D=F=mc^2$, on obtient la même chose que précédemment..
Tu fais des hypothèses sur les trajectoires des quatre particules mais on ne sait pas si tu trouves la borne inférieure de l’énergie.
Ceci dit, si tes calculs sont corrects, c’est d’une solution.
Dans ma dernière équation, les particules ne sont pas au repos puisque leur quantité de mouvement est $p/4.$
Peux-tu trouver une solution inférieure à $7/2$ ? Valides-tu le $7/2$ rigoureusement ?
Du coup, je ne vois pas en quoi les inconnues $A,B,D,F$ peuvent m'aider... à moins de les exprimer en fonctions des données du problèmes
Quant à faire une démonstration rigoureuse, je vois difficilement comment résoudre sans ce jeu d'hypothèses
Bon, disons qu'on propose $E \geq {7 \over 2} m c^2$ comme solution.
En fait j'ai:
$2E/mc^2 = 2 + 2 \gamma_2 + 4 \gamma_3 + 4 \gamma_2 \gamma_3 (1- \frac{v_2 v_3}{c^2} \cos \theta) + 2 \gamma_3 ^2 (1- ( \frac{v_3}{c} )^2 cos 2 \theta ) $
Or, $\gamma_i \ge 1$
donc $2E/mc^2 \ge 8 + 4 (1- \frac{v_2 v_3}{c^2} \cos \theta) + 2 (1- ( \frac{v_3}{c} )^2 cos 2 \theta )$
Avec $\theta$ on peut annuler le terme devant le 4
Et $E_{min} = 5 mc^2$
Tu n’as pas oublié les termes croisés dans le produit scalaire des quadri-vecteurs.
De mon côté, j’ai jeté les termes en cosinus pour trouver $7mc^2$…
Tu veux annuler les termes en $1- v v/c^2 \cos \theta$ mais ce terme n’est jamais nul puisque $v<c$, non ?
Que trouves-tu avec $\theta =\pi/4$ et $v<c$ ?
$2E/mc^2 \ge 10 + 4(1- \frac{v_2 v_3}{\sqrt 2 c^2 } ) $
En négligeant les termes en $v_i v_j /c^2 $,
$E_{min} = 7 mc^2$
Du coup la réponse finale est $7 mc^2$ et non $\frac{7}{2} mc^2 $ ?
$1-v^2/c^2 1/\sqrt{2}\geq 1-1/\sqrt{2}$ : c’est inférieur à $1.$
Le résultat que j’ai proposé est $7mc^2$ : on l’obtient avec des vitesses qui tendent vers $0.$
Mais tu obtiens encore moins. Ton résultat est donc meilleur…
Ceci dit, on n’a pas le minimum puisqu’il faudrait étudier la fonction en $\cos \theta$ : c’est un polynôme du second degré en $\cos \theta$ dont on sait étudier les variations et donc le minimum.
Mais il ne sert à rien de pousser trop c’est exercice. Le but est de formaliser le choc entre particules par des quadri-vecteurs qui vérifient la conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement, puis de minorer sans se prendre trop la tête.
La morale c’est que, à partir de $2$ masses, on ne peut pas en créer $4$ en ajoutant simplement l’équivalent de $2$ masses en énergie : c’est qu’il faut en ajouter beaucoup plus car une partie de l’énergie est nécessairement consommée dans la quantité de mouvement des quatre particules.