Montrer $int(A\cup B)\subset int A\cup int B$
Bonjour
Soit $(E,\tau)$ un espace topologique et $A$ et $B$ deux sous-ensembles non vides.
Sous la condition $\overline{A}\cap \overline{B}=\emptyset,\ $ je veux montrer que $int(A\cup \subset int(A)\cup int(B)$.
Est-ce que je peux dire que $A\cap B\subset \overline{A}\cap\overline{B}=\emptyset $ alors $A\cap B=\emptyset\ $ ?
Soit $x\in int(A\cup $ donc il existe un ouvert $O$ tel que $x\in O\subset A\cup B$.
Comme $A\cap B=\emptyset $ alors $O\subset A$ ou $O\subset B$, d'où le résultat.
Merci.
Soit $(E,\tau)$ un espace topologique et $A$ et $B$ deux sous-ensembles non vides.
Sous la condition $\overline{A}\cap \overline{B}=\emptyset,\ $ je veux montrer que $int(A\cup \subset int(A)\cup int(B)$.
Est-ce que je peux dire que $A\cap B\subset \overline{A}\cap\overline{B}=\emptyset $ alors $A\cap B=\emptyset\ $ ?
Soit $x\in int(A\cup $ donc il existe un ouvert $O$ tel que $x\in O\subset A\cup B$.
Comme $A\cap B=\emptyset $ alors $O\subset A$ ou $O\subset B$, d'où le résultat.
Merci.
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Réponses
Car si tu pouvais le dire (nous sommes en maths) tu saurais que tu peux le dire.
La vie est dure, mais dans un autre fil il y a un débat sur "est-ce qu'on peut changer la dureté de le vie en un claquement de doigt" et on pourrait citer l''exemple de ton espoir d'obtenir auprès des "érudits" du forum une "autorisation" qui hélas n'existe pas.
Merci de m'avoir [répondu].
Toto :
ligne1: le GTF est vrai.
Fin
Objection: qu'est-ce qui vous donne le droit de le dire?
Toto: il n'y a pas de contre-exemple.
Ça c'est faux en général. Par exemple dans $\R$ avec la topologie usuelle, en prenant $A=[0,1]$ et $B=[2,3]$ l'ouvert $O:=]0,1[\cup ]2,3[$ est contenu dans $A\cup B$ mais il n'est contenu ni dans $A$ ni dans $B$.
Que peux-tu dire de $int(A\cup \bigcap (E\setminus\overline{B})$ ?
et de $int(A\cup \bigcap (E\setminus\overline{A})$ ?
Quitte éventuellement à lui donner des indications sur autres aspects.
C'est naturel de faire cesser les souffrances d'autrui si on peut. La recherche d'un exemple sans le trouver est perçue comme une mini souffrance. Un peu comme une personne qui cherche le poivre au restaurant, on a le réflexe si on où il est de le lui fournir.
$A$ est dans son adhérence ($B$ aussi).
Si, par l’absurde, $A$ et $B$ se joignaient, alors leurs adhérences aussi (faisable).
Je note à présent $X$ l’union de $A$ et de $B$
Ce qui précède nous donne : tout élément de $X$ est exclusivement soit dans $A$ soit dans $B$
Lorsque $x$ est un point intérieur à $X$, on va supposer (SPDG) qu’il n’est pas intérieur à $B$ et montrer qu’il est nécessairement intérieur à $A$.
A toi de jouer…
Drôle d'idée de revenir sur une question résolue depuis 4 mois, surtout pour dire des phrases aussi floues ... et probablement aussi fausses (au moins la dernière)
Parfois c'est utile de lire la discussion avant d'y intervenir ...
Cordialement.