Démontrons que si $u$ n'est pas majorée alors pour tout $M \in \R$ il existe une infinité de termes de la suite tels que $u_n >M$
Si $u$ n'est pas majorée alors $\forall M \in \R \ \exists n \in \N \ u_n >M$.
Considérons l'ensemble $A=\{ n \in \N \ | \ u_n >M \}$. Par l'absurde, si $A$ est fini, alors il existe une infinité d'indices de la suite pour lesquels $u$ est majorée, ce qui est absurde. Ce qui démontre le résultat.
Il existe un indice $n \in \N$ tel que $u_n >0$. Notons-le $\varphi(0)$.
Il existe un $p > \varphi(0)$ tel que $u_p >1$ et $u_p > u_{\varphi(0)}$>. Notons le $\varphi(1)$. Par construction, $\varphi(1) > \varphi(0)$.
Par itération, on construit une application $\varphi : \N \longrightarrow \N$ strictement croissante telle que $\varphi(0) < \cdots < \varphi(n)$ pour tout $n \in \N$ et telle que $\varphi(n) >n$ pour tout $n$ et $u_{\varphi(n+1)}> u_{\varphi(n)}$
On a construit une suite strictement croissante $(u_{\varphi(n)})$ et en particulier $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{\varphi(n)}=+ \infty$
Soit $M \in \R$, $\ A= \{ n \in \N \mid u_n >M \}$
Si $A$ est fini alors $A=\{ n_1, \cdots, n_p \}$. Et donc $\forall n \in \N \setminus A$, $\ u_n \leq M$. Mais l'ensemble $\N \setminus A$ est de cardinal infini, donc $(u_n)$ serait majorée, ce qui est absurde.
Soit une suite $(u_n)$ dont les termes sont tous positifs et telle que la suite converge vers 0.
1. Donner un exemple d'une telle suite qui soit non décroissante à partir de n'importe quel rang (si une telle suite existe) .
2. Une telle suite admet-elle toujours une sous-suite décroissante? Évidemment il faut justifier.
1) Je propose la suite de terme général $u_n=\dfrac{ | \cos(n) |}{n}$ car $u_3 >u_2$
2) On utilise un raisonnement analogue au précédent. Comme $u$ tend vers $0$, par définition de la limite, il existe un entier $n$ tel que $u_n <1$. Notons-le $\varphi(0)$.
Il existe un entier $p$ tel que $u_p < \dfrac{1}{2}$ et $u_p < u_{\varphi(0)}$. On le note $\varphi(1)$.
On construit une suite $\varphi : \N \longrightarrow \N$ strictement croissante telle que $\varphi(0) < \cdots, \varphi(n)$ pour tout $n$ et telle que $u_{\varphi(n+1)} < u_{\varphi_n}$ et $u_{\varphi(n)} < \dfrac{1}{n+1}$
On a construit une sous-suite décroissante $(u_{\varphi(n)})$ qui tend vers $0$ par comparaison.
ce que tu veux démontrer, c'est : si $u$ n'est pas majorée, alors pour tout $M \in \R$, il existe une infinité de termes de la suite tels que $u_n > M$.
Ton premier élément de réponse : tu te donnes un $M$. Tu définis $A = \{n \in \N \mid u_n > M\}$. Tu dis que si $A$ est fini, alors il existe une infinité d'indices de la suite pour lesquels $u_n$ est majorée (tu ne le précises pas, mais, par $M$). Mais, et alors ? La suite $(-1)^n n$ n'est pas majorée, elle possède une infinité de termes négatifs (donc majorés par $0$). En n'écrivant que ce que tu as écrit, tu n'as pas conclu à une absurdité. Il y en a bien une, d'absurdité, on t'a même déjà donné un indice dans le fil pour la trouver. Mais je veux que tu me trouves ce que c'est, cette absurdité.
Ton deuxième élément de réponse redit la même chose : Si $A$ est fini, alors $\N \setminus A$ est infini. "Donc" $u$ serait majorée. Pourquoi ?
Tu tournes en rond. En effet, si $A$ est fini, il existe une infinité de termes de la suite qui sont majorés par $M$, tous ceux dont l'indice n'est pas dans $A$. La question, c'est : pourquoi, si ton ensemble $A$ des termes non majorés par $M$ est fini, $u$ est forcément majorée ?
Rebonjour @Os concernant ta réponse à la question 1) (celle que j'ai posé) il faut démontrer que la suite est non décroissante à partir de n'importe quel rang. Alors si $u_3>u_2,$ à partir du rang 3 tu ne démontres pas qu'elle n'est pas décroissante. Tu n'a pas répondu à la question.
Ceci étant dit tu n'as pas choisi l'exemple le plus facile !
Pour la question 2. c'est faux pour la même raison que dans le cas de la suite non majorée. Et comme je l'ai dit plus haut c'est le même exo. Alors revient au cas où la suite tend vers l'infini.....
La difficulté que nous rencontrons c'est que tu ne vois pas pourquoi tu es dans l'erreur. Si on te le dit c'est te donner la solution.....Tu dois voir par toi même....
Pour ma question à moi, il te suffit de remarquer UN truc. Tu veux raisonner par l'absurde, donc tu veux contredire une de tes hypothèses de départ. Nous, on n'en a qu'une : la suite est non majorée. Donc ton raisonnement doit aboutir à "donc elle est majorée". Tu y es presque ! En plus, comme dit, un indice traîne dans ce fil.
Je propose après réflexion $\boxed{u_n=\dfrac{ 1-(-1)^n}{n+1}}$ . Supposons par l'absurde qu'il existe $N \in \N$ tel que $n \geq N \implies u_{N+1} \leq u_N$
Alors on aurait $\dfrac{ 1-(-1)^{N+1}}{N+2} \leq \dfrac{ 1-(-1)^N}{N+1}$ donc $\dfrac{ 1+(-1)^{N}}{N+2} \leq \dfrac{ 1-(-1)^N}{N+1}$
Je n'ai pas abouti. (J'ai tenté les cas N pair et N impair)
@Homo Topi
C'est une usine à gaz le raisonnement direct.
La façon la plus simple de rédiger est la contraposée.
Si $(u_n)$ n'est pas majorée alors $\forall M \in \R \ \exists n \in \N \ u_n > M$
Supposons que $(u_n)_{n \geq N}$ soit majorée. Alors $\exists M \in \R$ tel que $\forall n \geq N \ u_n \leq M$.
Mais alors la suite $u$ es majorée par $\max(u_0, \cdots, u_{N-1},M)$.
@Os ton exemple c'est ça. (exemple simple qui répond à la question.
En effet si n est pair $u_n=0$ et sinon $u_n=2/n.$ C'est évident qu'elle est non décroissante à partir de n'importe quel rang (car $u_{2n}<u_{2n +1}$ pour tout $n \in \N$)
L'exemple $\dfrac{|\cos(n)|}{n}$ est bon aussi mais c'est beaucoup plus délicat à montrer.
Je crois maintenant qu'il faut répondre à l'exercice de @Noobey...
c'est- à-dire : $(u_n)$ tend vers l'infini et extraire une sous-suite croissante.
1) Les suites $v_n= 2 n \pi$ et $w_n =\dfrac{\pi}{2}+2n \pi$ diverge vers $+\infty$ et $\cos(v_n)=1$ alors que $\cos(w_n)=0$ donc la suite $( \cos n)$ ne converge pas vers $0$.
@Homo Topi
C'est une usine à gaz le raisonnement direct. La façon la plus simple de rédiger est la contraposée.
Si $(u_n)$ n'est pas majorée alors $\forall M \in \R \ \exists n \in \N \ u_n > M$.
Supposons que $(u_n)_{n \geq N}$ soit majorée. Alors $\exists M \in \R$ tel que $\forall n \geq N \ u_n \leq M$.
Mais alors la suite $u$ es majorée par $\max(u_0, \cdots, u_{N-1},M)$.
Le résultat en résulte par contraposée.
Ce n'est pas un raisonnement par contraposée, mais par l'absurde. Au moins, après moult efforts, c'est correct, c'est déjà ça. Tu as toujours l'impression de maîtriser suffisamment les choses pour faire des sujets de concours ? Un étudiant de L1 est censé savoir faire ça de lui-même début septembre de son année...
@bd : si, il y a une logique. Simplement, il pense que $(\cos(v_n))_n$ et $(\cos(w_n))_n$ sont des suites extraites de $(\cos(n))_n$.
Donc qui se porte volontaire pour lui faire un cours de suite ?
Bon, allez question à laquelle il va dire : "trop de boulot, pourquoi vous me surchargez ? ça n'a rien à voir avec mon problème.."
Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Si $f$ admet une limite en $+\infty$, que dire de $(f(n))_n$ ? Réciproquement, que dire ?
OS, c'est quand même ridicule quand tu dis avoir terminé le cours de sup et qu'à chaque topic, tu redescends de 10 étages. Mon avis, c'est que tout est à refaire. Tu te plantes pour pas grand chose déjà sur les suites, ça veut dire que "séries numériques", "séries entières", "séries de fonctions" sont des chapitres déjà trop avancés. Sans parler de l'intégrabilité (qui utilise pas mal la caractérisation séquentielle).
Simplement, il pense que $(\cos(v_n))_n$ et $(\cos(w_n))_n$ sont des suites extraites de $(\cos(n))_n$.
Mais qu'est-ce qui lui fait penser ça ? Je veux dire même si c'est une erreur (assez énorme...) quel est le bout de raisonnement "logique" qui fait dire à OShine ça ?
PS. OShine si Alexique a raison tu vas devenir perliculteur comme Pablo B-)-
Où est l'erreur dans ce qu' a dit OS
Les suites $v_n= 2 n \pi$ et $w_n
=\dfrac{\pi}{2}+2n \pi$ diverge vers $+\infty$ et
$\cos(v_n)=1$ alors que $\cos(w_n)=0$ donc la
suite $( \cos n)$ ne converge pas vers $0$.
Par l’absurde si la suite $( \cos n)$ tend vers 0 , alors à partir d'un certain rang, on aura $( \cos n)$ entre -1/2 et 1/2 ce qui contredit que $\cos(v_n)=1$
De même si a suite $( \cos n)$ tend vers l non nulle disons l>0, alors à partir d'un certain rang, on aura $( \cos n)$ entre l/2 et 3l/2 ce qui contredit que $\cos(w_n)=0$
Je vois seulement que OS n'a pas terminé sa phrase, il aurait du écrire
Les suites $v_n= 2 n \pi$ et $w_n
=\dfrac{\pi}{2}+2n \pi$ diverge vers $+\infty$ et
$\cos(v_n)=1$ et $\cos(w_n)=0$ donc la
suite $( \cos n)$ ne converge ni vers $0$ ni vers une limite non nulle.
Premier point : "Dans les sujets de concours, les questions sont moins tordues", les questions qu'on te pose depuis le début de ce fil sont des questions de type garde-fou que n'importe qui voit et apprend à traiter en sup/L1 !!! Ce sont des exemples et contrexemples basiques qu'il faut savoir traiter un lendemain de soirée avec la gueule de bois et la tête dans le cul. Evidemment que dans un sujet de concours, on ne pose pas ce genre de questions, vu qu'elles sont archi simples. Le fait que tu galères dessus montre que tu es quelqu'un qui calcule, pas quelqu'un qui raisonne. Tes rédactions de raisonnements sont dégueulasses, ça correspond bien.
Deuxième point : tu utilises un théorème et une méthode qui servent à démontrer que $\cos$ n'a pas de limite en $+\infty$. Tu as vraiment besoin de deux suites pour montrer ça ? Le cosinus est périodique ! On le sait déjà, qu'en tant que fonction d'une variable réelle, $\cos$ n'a pas de limite. On passe $0$ lignes sur la démonstration de ça. Cependant, on peut très bien avoir une fonction $f$ périodique (donc, qui n'admet pas de limite en $+\infty$) telle que la suite $f(n)$ ait une limite... à tout hasard, la fonction $f : x \longmapsto \cos(2\pi x)$ fonctionne peut-être. Ce que nous on veut montrer, ça n'a rien à voir, c'est que $\cos(n)$ n'a pas de limite... une suite, pas une fonction. Pour montrer ça, on peut effectivement utiliser deux sous-suites $\cos(\phi(n))$ et $\cos(\psi(n))$, mais ça doit être des sous-suites de $\cos(n)$ : $\phi(n)$ et $\psi(n)$ doivent être des sous-suites de la suite $(n)_n$ pour ça, or toi tu as pris $\cos(2n \pi)$ et $\cos(\pi/2 + 2n \pi)$. Est-ce que $(2n \pi)_n$ et $(\pi/2 + 2n \pi)_n$ sont des sous-suites de $(n)_n$ ?
PS gebrane bourré ? $f(v_n)$ tend vers $a$, $f(w_n)$ tend vers $b$, avec $f$ qui n'admet pas de limite en $+\infty$, donc $f(u_n)$ ne tend pas vers $c$ ?
Je n’étais pas bourré : c'est fait exprès. C’était pour faire parler OS et de révéler son raisonnement.
J'ai soumis un raisonnement à la critique de OS (avec un risque de me prendre pour un abruti, j'ai accepté les risques)
OS est-ce que l'explication que j'ai donnée est juste ou fausse ?
Règle numéro 1 en mathématiques, il ne faut pas croire à tous ce qu'on vous dit).
Je ne comprends rien à vos explications, vous m'embrouillez.
Gebrane je ne comprends pas de quoi tu parles.
@Homo Topi je ne comprends rien à ce que tu racontes. Je ne comprends pas ton obsession à parler de sous-suite alors qu'il n'y en a pas besoin ici.
La méthode du livre est pourtant claire. J'ai fait la même chose. Pourquoi m'amener sur une autre méthode encore ? C'est une méthode classique que j'ai croisée des dizaines de fois.
Vous remettez en cause les techniques d'un livre de MPSI écrit par des profs de prépa expérimentés :-S Ce livre est une référence.
Mon raisonnement est juste, c'est exactement le même que celui du livre pour la suite $(\sin (n))$.
Je vais abandonner ce post, je perds mon temps à ne rien comprendre. J'ai perdu une semaine et je n'ai rien appris.
@OShine ça a déjà été dit mais je le répète en grand :
[size=large]Ton bouquin dit que la fonction sinus n'a pas de limite en $+\infty$ pas que la suite $(\sin(n))_{\N}$ n'a pas de limite. Ça n'a rien à voir. [/size]
Sans vouloir t’offenser mais j'ai vraiment l'impression que tu fais des math comme un ingénieur : tu appliques des résultats sans vraiment les comprendre, sauf que dans le cas présent ce n'était pas la bon résultat.
Bon un exemple pourra peut-être servir : la fonction $x\mapsto \sin(2\pi x)$ n'a pas de limite en $+\infty$ (voir son graphe).
Par contre la suite $(\sin(2\pi\cdot n))_{\N}$ tend vers $0$ car tous ses termes sont nuls.
Tu as raison OShine, je n'étais pas du tout en train d'expliquer en détail pourquoi ce que tu disais ici pour la question 1) est faux, c'était juste une manière très alambiquée pour me moquer de toi.
Si tu crois vraiment qu'abandonner ce post et faire autre chose va te faire progresser, la seule chose que j'ai à te dire, c'est : c'est exactement à cause de cette attitude que tu n'as pas progressé d'un poil depuis que tu as rejoint le forum.
Non, tu as mal appliqué le théorème que tu cites parce que tu confonds suite et fonction. Grâce à la contraposée de ce théorème, tu peux en déduire que la fonction cosinus ne converge pas vers 0. Pour la suite, tu ne peux rien dire. Les suites v et w que tu as choisies ne sont pas à valeurs entières, ce ne sont pas des extractrices.
On ne se moque pas de toi, on essaye de te faire comprendre des choses. Et pour cela, certains font exprès de dire un peu n’importe quoi qui semble censé ce qu’un jury de concours pourrait faire (de manière un peu mal attentionnée je l’avoue…)
Je t’avais donné un exo pour faire la différence entre suite et fonction mais tu t’en fiches parce que tu penses qu’on te répond hors sujet. Je peux rien faire de plus pour toi.
Regarde ton « livre » ils concluent que la FONCTION sinus n’admet pas de limite, pas la suite. Tu penses qu’on se fout de toi ? Mais toi alors qui ne lit pas, qui ne fait pas les exos, qui ne fait pas l’effort de rigueur d’apprendre ton cours et de bosser tes notions de lycée, tu te foutrais pas un peu de nous depuis 2/3 ans ? On est au stade ou on va t’expliquer la différence entre suite et fonction. Et « prof de prépa expérimentés », arrête tes arguments d’autorité débiles. On parle de suites de première année, donc même si Villani me dit que ton raisonnement est correct, j’ai la possibilité de le contredire par arguments très simples. C’est la force des maths que les autres domaines n’ont pas.
Respectons les ingénieurs tout de même... Ceux qui font des maths chez les ingénieurs lisent des articles scientifiques et les comprennent avant d'implémenter des algos ou de les utiliser. Et il y a un esprit critique dans les résultats qu'ont les ingénieurs que n'a évidemment pas Oshine
Oui je n'ai pas fait attention. Je suis tombé dans le piège.
Quand on me pose trop de questions en même temps mon cerveau sature et je mélange tout. Je ne suis pas capable de traiter trop de choses en même temps.
On va renuméroter les questions, tiens. Voilà les principaux exercices qui ont été posés :
1) Soit $(u_n)_n$ une suite réelle qui tend vers $+\infty$. Admet-elle forcément une sous-suite croissante ?
2) Soit $(u_n)_n$ une suite réelle non majorée. Montrer qu'elle admet une sous-suite qui tend vers $+\infty$.
3) Soit $(u_n)_n$ une suite réelle qui converge vers $0$. Existe-t-il $N$ tel que $(u_n)_{n \geqslant N}$ soit décroissante ?
4) Soit $(u_n)_n$ une suite réelle positive qui converge vers $0$.
a) Existe-t-il une telle suite qui ne devient jamais décroissante ? presque OK : réponse à bd2017 ici
b) Une telle suite admet-elle toujours une sous-suite décroissante ? OK : question "2" ici
5)a) Montrer que la suite $\cos(n)$ ne converge pas vers $0$.
b) Admet-elle une sous-suite qui converge vers $0$ ?
La question précisait que la suite devait être positive. Bien que ça ne change pas grand chose. Ce n'est sans doute pas la suite la plus simple mais pourquoi pas.
Réponses
Si $u$ n'est pas majorée alors $\forall M \in \R \ \exists n \in \N \ u_n >M$.
Considérons l'ensemble $A=\{ n \in \N \ | \ u_n >M \}$. Par l'absurde, si $A$ est fini, alors il existe une infinité d'indices de la suite pour lesquels $u$ est majorée, ce qui est absurde. Ce qui démontre le résultat.
Il existe un indice $n \in \N$ tel que $u_n >0$. Notons-le $\varphi(0)$.
Il existe un $p > \varphi(0)$ tel que $u_p >1$ et $u_p > u_{\varphi(0)}$>. Notons le $\varphi(1)$. Par construction, $\varphi(1) > \varphi(0)$.
Par itération, on construit une application $\varphi : \N \longrightarrow \N$ strictement croissante telle que $\varphi(0) < \cdots < \varphi(n)$ pour tout $n \in \N$ et telle que $\varphi(n) >n$ pour tout $n$ et $u_{\varphi(n+1)}> u_{\varphi(n)}$
On a construit une suite strictement croissante $(u_{\varphi(n)})$ et en particulier $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{\varphi(n)}=+ \infty$
Si $A$ est fini alors $A=\{ n_1, \cdots, n_p \}$. Et donc $\forall n \in \N \setminus A$, $\ u_n \leq M$. Mais l'ensemble $\N \setminus A$ est de cardinal infini, donc $(u_n)$ serait majorée, ce qui est absurde.
Conclusion : $\mathrm{card\,} A=+ \infty$
Reprends depuis le début, je veux une rédaction complète qui répond à la question en rouge ici.
Soit une suite $(u_n)$ dont les termes sont tous positifs et telle que la suite converge vers 0.
1. Donner un exemple d'une telle suite qui soit non décroissante à partir de n'importe quel rang (si une telle suite existe) .
2. Une telle suite admet-elle toujours une sous-suite décroissante? Évidemment il faut justifier.
1) Je propose la suite de terme général $u_n=\dfrac{ | \cos(n) |}{n}$ car $u_3 >u_2$
2) On utilise un raisonnement analogue au précédent. Comme $u$ tend vers $0$, par définition de la limite, il existe un entier $n$ tel que $u_n <1$. Notons-le $\varphi(0)$.
Il existe un entier $p$ tel que $u_p < \dfrac{1}{2}$ et $u_p < u_{\varphi(0)}$. On le note $\varphi(1)$.
On construit une suite $\varphi : \N \longrightarrow \N$ strictement croissante telle que $\varphi(0) < \cdots, \varphi(n)$ pour tout $n$ et telle que $u_{\varphi(n+1)} < u_{\varphi_n}$ et $u_{\varphi(n)} < \dfrac{1}{n+1}$
On a construit une sous-suite décroissante $(u_{\varphi(n)})$ qui tend vers $0$ par comparaison.
ce que tu veux démontrer, c'est : si $u$ n'est pas majorée, alors pour tout $M \in \R$, il existe une infinité de termes de la suite tels que $u_n > M$.
Ton premier élément de réponse : tu te donnes un $M$. Tu définis $A = \{n \in \N \mid u_n > M\}$. Tu dis que si $A$ est fini, alors il existe une infinité d'indices de la suite pour lesquels $u_n$ est majorée (tu ne le précises pas, mais, par $M$). Mais, et alors ? La suite $(-1)^n n$ n'est pas majorée, elle possède une infinité de termes négatifs (donc majorés par $0$). En n'écrivant que ce que tu as écrit, tu n'as pas conclu à une absurdité. Il y en a bien une, d'absurdité, on t'a même déjà donné un indice dans le fil pour la trouver. Mais je veux que tu me trouves ce que c'est, cette absurdité.
Ton deuxième élément de réponse redit la même chose : Si $A$ est fini, alors $\N \setminus A$ est infini. "Donc" $u$ serait majorée. Pourquoi ?
Tu tournes en rond. En effet, si $A$ est fini, il existe une infinité de termes de la suite qui sont majorés par $M$, tous ceux dont l'indice n'est pas dans $A$. La question, c'est : pourquoi, si ton ensemble $A$ des termes non majorés par $M$ est fini, $u$ est forcément majorée ?
@Os concernant ta réponse à la question 1) (celle que j'ai posé) il faut démontrer que la suite est non décroissante à partir de n'importe quel rang. Alors si $u_3>u_2,$ à partir du rang 3 tu ne démontres pas qu'elle n'est pas décroissante. Tu n'a pas répondu à la question.
Ceci étant dit tu n'as pas choisi l'exemple le plus facile !
Pour la question 2. c'est faux pour la même raison que dans le cas de la suite non majorée. Et comme je l'ai dit plus haut c'est le même exo. Alors revient au cas où la suite tend vers l'infini.....
La difficulté que nous rencontrons c'est que tu ne vois pas pourquoi tu es dans l'erreur. Si on te le dit c'est te donner la solution.....Tu dois voir par toi même....
Par conséquent afin de dissiper les doutes lorsque tu dis :
est-ce que tu pourrais exhiber un majorant de $(u_n)$ dans ce cas ?
Donc ta pensée était correcte mais ta formulation laissait à désirer.
Si on considère la suite $u_n=\cos(n).$
1. Montrer que cette suite ne converge pas vers 0.
2. Peut-on extraire une sous-suite qui converge vers 0?
Je propose après réflexion $\boxed{u_n=\dfrac{ 1-(-1)^n}{n+1}}$ . Supposons par l'absurde qu'il existe $N \in \N$ tel que $n \geq N \implies u_{N+1} \leq u_N$
Alors on aurait $\dfrac{ 1-(-1)^{N+1}}{N+2} \leq \dfrac{ 1-(-1)^N}{N+1}$ donc $\dfrac{ 1+(-1)^{N}}{N+2} \leq \dfrac{ 1-(-1)^N}{N+1}$
Je n'ai pas abouti. (J'ai tenté les cas N pair et N impair)
@Homo Topi
C'est une usine à gaz le raisonnement direct.
La façon la plus simple de rédiger est la contraposée.
Si $(u_n)$ n'est pas majorée alors $\forall M \in \R \ \exists n \in \N \ u_n > M$
Supposons que $(u_n)_{n \geq N}$ soit majorée. Alors $\exists M \in \R$ tel que $\forall n \geq N \ u_n \leq M$.
Mais alors la suite $u$ es majorée par $\max(u_0, \cdots, u_{N-1},M)$.
Le résultat en résulte par contraposée.
En effet si n est pair $u_n=0$ et sinon $u_n=2/n.$ C'est évident qu'elle est non décroissante à partir de n'importe quel rang (car $u_{2n}<u_{2n +1}$ pour tout $n \in \N$)
L'exemple $\dfrac{|\cos(n)|}{n}$ est bon aussi mais c'est beaucoup plus délicat à montrer.
Je crois maintenant qu'il faut répondre à l'exercice de @Noobey...
c'est- à-dire : $(u_n)$ tend vers l'infini et extraire une sous-suite croissante.
1) Les suites $v_n= 2 n \pi$ et $w_n =\dfrac{\pi}{2}+2n \pi$ diverge vers $+\infty$ et $\cos(v_n)=1$ alors que $\cos(w_n)=0$ donc la suite $( \cos n)$ ne converge pas vers $0$.
2) Je ne sais pas répondre.
Encore une bourde de lycéen/début de L1! (:P)
Faudrait que tu te fasses un gdoc avec les 50 bourdes quotidiennes et que tu relises tous les soirs avant de dormir
Ce n'est pas un raisonnement par contraposée, mais par l'absurde. Au moins, après moult efforts, c'est correct, c'est déjà ça. Tu as toujours l'impression de maîtriser suffisamment les choses pour faire des sujets de concours ? Un étudiant de L1 est censé savoir faire ça de lui-même début septembre de son année...
Donc qui se porte volontaire pour lui faire un cours de suite ?
Bon, allez question à laquelle il va dire : "trop de boulot, pourquoi vous me surchargez ? ça n'a rien à voir avec mon problème.."
Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Si $f$ admet une limite en $+\infty$, que dire de $(f(n))_n$ ? Réciproquement, que dire ?
OS, c'est quand même ridicule quand tu dis avoir terminé le cours de sup et qu'à chaque topic, tu redescends de 10 étages. Mon avis, c'est que tout est à refaire. Tu te plantes pour pas grand chose déjà sur les suites, ça veut dire que "séries numériques", "séries entières", "séries de fonctions" sont des chapitres déjà trop avancés. Sans parler de l'intégrabilité (qui utilise pas mal la caractérisation séquentielle).
Mais qu'est-ce qui lui fait penser ça ? Je veux dire même si c'est une erreur (assez énorme...) quel est le bout de raisonnement "logique" qui fait dire à OShine ça ?
PS. OShine si Alexique a raison tu vas devenir perliculteur comme Pablo B-)-
Les suites $v_n= 2 n \pi$ et $w_n
=\dfrac{\pi}{2}+2n \pi$ diverge vers $+\infty$ et
$\cos(v_n)=1$ alors que $\cos(w_n)=0$ donc la
suite $( \cos n)$ ne converge pas vers $0$.
Par l’absurde si la suite $( \cos n)$ tend vers 0 , alors à partir d'un certain rang, on aura $( \cos n)$ entre -1/2 et 1/2 ce qui contredit que $\cos(v_n)=1$
De même si a suite $( \cos n)$ tend vers l non nulle disons l>0, alors à partir d'un certain rang, on aura $( \cos n)$ entre l/2 et 3l/2 ce qui contredit que $\cos(w_n)=0$
Je vois seulement que OS n'a pas terminé sa phrase, il aurait du écrire
Les suites $v_n= 2 n \pi$ et $w_n
=\dfrac{\pi}{2}+2n \pi$ diverge vers $+\infty$ et
$\cos(v_n)=1$ et $\cos(w_n)=0$ donc la
suite $( \cos n)$ ne converge ni vers $0$ ni vers une limite non nulle.
Dans le sujet de concours que je fais, les questions sont moins tordues que ça.
PS : je n'ai jamais parlé de suites extraites mais j'ai utilisé le théorème suivant et j'utilise exactement la même méthode que l'exemple du livre.
Merci Gebrane, j'utilise une méthode connue et on me dit que c'est faux :-S
En plus je connais cette technique depuis plus de 2 ans et je l'ai utilisée à de nombreuses reprises.
Premier point : "Dans les sujets de concours, les questions sont moins tordues", les questions qu'on te pose depuis le début de ce fil sont des questions de type garde-fou que n'importe qui voit et apprend à traiter en sup/L1 !!! Ce sont des exemples et contrexemples basiques qu'il faut savoir traiter un lendemain de soirée avec la gueule de bois et la tête dans le cul. Evidemment que dans un sujet de concours, on ne pose pas ce genre de questions, vu qu'elles sont archi simples. Le fait que tu galères dessus montre que tu es quelqu'un qui calcule, pas quelqu'un qui raisonne. Tes rédactions de raisonnements sont dégueulasses, ça correspond bien.
Deuxième point : tu utilises un théorème et une méthode qui servent à démontrer que $\cos$ n'a pas de limite en $+\infty$. Tu as vraiment besoin de deux suites pour montrer ça ? Le cosinus est périodique ! On le sait déjà, qu'en tant que fonction d'une variable réelle, $\cos$ n'a pas de limite. On passe $0$ lignes sur la démonstration de ça. Cependant, on peut très bien avoir une fonction $f$ périodique (donc, qui n'admet pas de limite en $+\infty$) telle que la suite $f(n)$ ait une limite... à tout hasard, la fonction $f : x \longmapsto \cos(2\pi x)$ fonctionne peut-être. Ce que nous on veut montrer, ça n'a rien à voir, c'est que $\cos(n)$ n'a pas de limite... une suite, pas une fonction. Pour montrer ça, on peut effectivement utiliser deux sous-suites $\cos(\phi(n))$ et $\cos(\psi(n))$, mais ça doit être des sous-suites de $\cos(n)$ : $\phi(n)$ et $\psi(n)$ doivent être des sous-suites de la suite $(n)_n$ pour ça, or toi tu as pris $\cos(2n \pi)$ et $\cos(\pi/2 + 2n \pi)$. Est-ce que $(2n \pi)_n$ et $(\pi/2 + 2n \pi)_n$ sont des sous-suites de $(n)_n$ ?
PS gebrane bourré ? $f(v_n)$ tend vers $a$, $f(w_n)$ tend vers $b$, avec $f$ qui n'admet pas de limite en $+\infty$, donc $f(u_n)$ ne tend pas vers $c$ ?
Je n’étais pas bourré : c'est fait exprès. C’était pour faire parler OS et de révéler son raisonnement.
J'ai soumis un raisonnement à la critique de OS (avec un risque de me prendre pour un abruti, j'ai accepté les risques)
OS est-ce que l'explication que j'ai donnée est juste ou fausse ?
Règle numéro 1 en mathématiques, il ne faut pas croire à tous ce qu'on vous dit).
Allez @Os une indication mais il faut connaître ses formules de trigo:
$\cos(n+1)=...... $
Gebrane je ne comprends pas de quoi tu parles.
@Homo Topi je ne comprends rien à ce que tu racontes. Je ne comprends pas ton obsession à parler de sous-suite alors qu'il n'y en a pas besoin ici.
La méthode du livre est pourtant claire. J'ai fait la même chose. Pourquoi m'amener sur une autre méthode encore ? C'est une méthode classique que j'ai croisée des dizaines de fois.
Vous remettez en cause les techniques d'un livre de MPSI écrit par des profs de prépa expérimentés :-S Ce livre est une référence.
Mon raisonnement est juste, c'est exactement le même que celui du livre pour la suite $(\sin (n))$.
Je vais abandonner ce post, je perds mon temps à ne rien comprendre. J'ai perdu une semaine et je n'ai rien appris.
Apparemment vous êtes là pour vous foutre de moi.
[size=large]Ton bouquin dit que la fonction sinus n'a pas de limite en $+\infty$ pas que la suite $(\sin(n))_{\N}$ n'a pas de limite. Ça n'a rien à voir. [/size]
Sans vouloir t’offenser mais j'ai vraiment l'impression que tu fais des math comme un ingénieur : tu appliques des résultats sans vraiment les comprendre, sauf que dans le cas présent ce n'était pas la bon résultat.
Bon un exemple pourra peut-être servir : la fonction $x\mapsto \sin(2\pi x)$ n'a pas de limite en $+\infty$ (voir son graphe).
Par contre la suite $(\sin(2\pi\cdot n))_{\N}$ tend vers $0$ car tous ses termes sont nuls.
Si tu crois vraiment qu'abandonner ce post et faire autre chose va te faire progresser, la seule chose que j'ai à te dire, c'est : c'est exactement à cause de cette attitude que tu n'as pas progressé d'un poil depuis que tu as rejoint le forum.
Je pense la même depuis longtemps.
Supposons par l'absurde que $(\cos n)$ converge vers $l$. Alors comme $\cos n=2 \cos^2 (n/2)-1$ on aurait $l=2l^2-1$ soit $l=-1/2$ ou $l=1$.
Or $\cos(n+1)= \cos n \cos (1)- \sin n \sin(1)$
Premier cas :
$l=-1/2$, comme $| \sin n |= \sqrt{1- \cos^2 n} \longrightarrow \sqrt{1-l^2}=\sqrt{3 /4}$
Donc $l (1-\cos(1) )= \pm \sqrt{3 /4} \sin(1)$ ce qui donne une absurdité.
Deuxième cas :
$l=1$, comme $| \sin n |= \sqrt{1- \cos^2 n} \longrightarrow \sqrt{1-l^2}=0$
Donc $l = \cos(1)$ ce qui donne une absurdité.
On ne se moque pas de toi, on essaye de te faire comprendre des choses. Et pour cela, certains font exprès de dire un peu n’importe quoi qui semble censé ce qu’un jury de concours pourrait faire (de manière un peu mal attentionnée je l’avoue…)
Je t’avais donné un exo pour faire la différence entre suite et fonction mais tu t’en fiches parce que tu penses qu’on te répond hors sujet. Je peux rien faire de plus pour toi.
Regarde ton « livre » ils concluent que la FONCTION sinus n’admet pas de limite, pas la suite. Tu penses qu’on se fout de toi ? Mais toi alors qui ne lit pas, qui ne fait pas les exos, qui ne fait pas l’effort de rigueur d’apprendre ton cours et de bosser tes notions de lycée, tu te foutrais pas un peu de nous depuis 2/3 ans ? On est au stade ou on va t’expliquer la différence entre suite et fonction. Et « prof de prépa expérimentés », arrête tes arguments d’autorité débiles. On parle de suites de première année, donc même si Villani me dit que ton raisonnement est correct, j’ai la possibilité de le contredire par arguments très simples. C’est la force des maths que les autres domaines n’ont pas.
Oui je n'ai pas fait attention. Je suis tombé dans le piège.
Quand on me pose trop de questions en même temps mon cerveau sature et je mélange tout. Je ne suis pas capable de traiter trop de choses en même temps.
1) Soit $(u_n)_n$ une suite réelle qui tend vers $+\infty$. Admet-elle forcément une sous-suite croissante ?
2) Soit $(u_n)_n$ une suite réelle non majorée. Montrer qu'elle admet une sous-suite qui tend vers $+\infty$.
3) Soit $(u_n)_n$ une suite réelle qui converge vers $0$. Existe-t-il $N$ tel que $(u_n)_{n \geqslant N}$ soit décroissante ?
4) Soit $(u_n)_n$ une suite réelle positive qui converge vers $0$.
a) Existe-t-il une telle suite qui ne devient jamais décroissante ? presque OK : réponse à bd2017 ici
b) Une telle suite admet-elle toujours une sous-suite décroissante ? OK : question "2" ici
5)a) Montrer que la suite $\cos(n)$ ne converge pas vers $0$.
b) Admet-elle une sous-suite qui converge vers $0$ ?
La question 1), tu avais à peu près toutes les idées je pense, il faut juste mettre les choses dans le bon ordre.
La question $2$ je l'ai traitée avec la $1$. On ajoute une condition dans la construction, la condition est $u_{\varphi(n)} >n$ pour tout $n$.
Question $3$ :
Faux, on peut prendre en contre-exemple une suite qui oscille autour de $0$. Par exemple $u_n= \dfrac{ \cos n}{n}$
J'ai résolu la 5a plus haut.
Question 5.b :
Je dirais non mais je n'ai pas d'idée pour la démonstration.