Série, exercice astucieux ?

Une façon de faire est la suivante :

On a $u_n^{1-1/n}=u_n\cdot u_n^{-1/n}$ et comme tout est positif on aurait envie de majorer $u_n^{-1/n}$ par quelque chose (disons $2$), au moins à partir d'un certain rang. Malheureusement la suite $u_n^{-1/n}$ pourrait avoir une infinité de termes supérieurs à $2$. Cependant $u_n^{-1/n}>2 \implies u_n < 2^{-n}$ et donc $u_n^{1-1/n} < 2^{-n+1}$. On note donc $I$ et $J$ les ensembles d'entiers pour lesquels $u_n^{-1/n}\leq 2$ et $u_n^{-1/n}> 2$ respectivement, on a alors
\[
\sum_\N u_n^{1-1/n} = \sum_I u_n^{1-1/n} + \sum_J u_n^{1-1/n} \leq 2\sum_I u_n + \sum_J 2^{-n+1} \leq 2\sum_\N u_n + 4 <\infty.
\]

C'est évidemment la même idée que celle proposée par Calli, le découpage est la seule chose qui change un peu.

Concours général 1989, exercice V.

gebrane, comment t'y prends-tu ?

Ok, merci.