Algorithme pour résoudre un système d'edp

Bonjour,
j'ai besoin d'un esprit clair pour m'aider à résoudre ce problème.

On a le problème suivant constitué de deux équations et qu'on va nommer MainSys
posée sur $[0,T] \times [0,L] \times [0,H]$.
$$
MainSys(v,u)=
\begin{cases}
\dfrac{\partial v}{\partial t}= \Delta v - \dfrac{\partial v}{\partial x} - v(x,0,t),\\
\dfrac{\partial u}{\partial t}= v(x,0,t)-u
\end{cases}

$$ On note $vk=v(x,0,t)$.
On remarque que pour calculer $v(x,y,t)$ et $u(x,y,t)$, on a besoin de $v(x,0,t),$ alor qu'on est en train de calculer $v(x,y,t)$ en même temps.
C'est pour ça qu'on peut penser à introduire un nouveau problème nommé extend qui nous done $v$ à $y$-constant, et dont la formulation variationnelle est donnée par :
$$
\int_0^L \int_0^H dy(v) * dy(x) dx dy.

$$ Du coup j'ai pensé à l'algorithme suivant :
1- dans MainSys, on note $v(x,0,t)=nith$ avec comme valeur initiale $nith=v0$ ;
2- on résout MainSys qui nous donne une nouvelle valeur de $v$ ;
3- on résout extend qui nous donne $vk$ correspondant au $v$ trouvé dans 2
puis on refait l'opération pour chaque $t$.
Question : est-ce qu'il nous faut une condition de convergence ? Si oui laquelle ?
Aussi je remarque qu'avec ce raisonnement, si on écrit

nith=v0;
vk=v0;
résoudre MainSys;
[b]r[/b]ésoudre extend;
nith=vk;

alors on remarque que les solutions de MainSys sont identiques aux solutions de extend.
Je n'arrive pas à comprendre où se situe l'erreur.
Merci d'avance pour votre aide.

[Restons dans la discussion que tu as ouverte pour cet algorithme. AD]