"Si f'(x) = 0 alors x est un extremum"
Bonjour,
Une chose m'intrigue par rapport à mes élèves de lycée. N'ayant plus mes cours de l'époque je ne peux pas vérifier par moi-même.
Je sais bien que pour les lycéens la phrase du titre fait office de théorème sans autre forme de procès ou hypothèses d'une quelconque nature.
Il s'avère seulement que récemment j'ai voulu jouer à piéger un élève avec des questions type "la fonction inverse est décroissante sur R\{0}" ou encore "la fonction cube sur [-1,1] a pour dérivée $3x^{2}$, donc elle s'annule en 0 et son maximum est 0".
Je m'attendais évidemment à ce que mon élève se prenne les pieds dans le tapis. Ce qui m'a plus choqué c'est qu'il m'ait montré son cours de première et que la phrase titre de mon topic était écrite telle quelle sous forme de théorème.
Bref, je comprends que certains profs épurent les hypothèses en sachant que pour leurs élèves cela sera suffisant et qu'ils ne feront jamais face à une situation pathologique mais voir la chose écrite comme ça dans un cours (polycopié, mon élève n'est pas fautif) me choque.
Bref, certains ici ont-ils des collègues faisant ce genre de choix ? Qu'en pensez-vous ?
Merci.
Une chose m'intrigue par rapport à mes élèves de lycée. N'ayant plus mes cours de l'époque je ne peux pas vérifier par moi-même.
Je sais bien que pour les lycéens la phrase du titre fait office de théorème sans autre forme de procès ou hypothèses d'une quelconque nature.
Il s'avère seulement que récemment j'ai voulu jouer à piéger un élève avec des questions type "la fonction inverse est décroissante sur R\{0}" ou encore "la fonction cube sur [-1,1] a pour dérivée $3x^{2}$, donc elle s'annule en 0 et son maximum est 0".
Je m'attendais évidemment à ce que mon élève se prenne les pieds dans le tapis. Ce qui m'a plus choqué c'est qu'il m'ait montré son cours de première et que la phrase titre de mon topic était écrite telle quelle sous forme de théorème.
Bref, je comprends que certains profs épurent les hypothèses en sachant que pour leurs élèves cela sera suffisant et qu'ils ne feront jamais face à une situation pathologique mais voir la chose écrite comme ça dans un cours (polycopié, mon élève n'est pas fautif) me choque.
Bref, certains ici ont-ils des collègues faisant ce genre de choix ? Qu'en pensez-vous ?
Merci.
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Si les hypothèses n’y sont pas c’est effectivement choquant. On peut se permettre quelques abus à l’oral (et encore...), pas à l’écrit.
Perso je fais tout le contraire : j’ai des cours interminables avec exemples et démonstrations de toutes les propriétés démontrables. Je m’escrime d’ailleurs à les faire en classe mais en Seconde je vais finir par abandonner, c’est souvent beaucoup trop difficile vu les difficultés à bien intégrer les choses simples.
Quand les contre-exemples sont des polynômes de petit degré c'est gênant. Les préjugés des faiseurs de programme sont de plus en plus glauques. L'image de leur représentation mentale des maths qui se dessine progressivement est effrayante...
-- Schnoebelen, Philippe
Je ne sais pas si c'est courant, mais c'est faux comme la propriété énoncée. Dans la pratique, quand un élève de première cherche les extrema d'une fonction, en règle générale, il dresse le tableau de variations de la fonction proposée et conclut ensuite sans faire référence à un théorème.
Par contre quand je dis "courant" je ne veux pas dire "on sait que c'est abusif mais on le dit souvent". Je veux dire que depuis que je suis dans le supérieur on DEFINIT l'extremum comme étant le point d'atteinte. Mais ce n'est certes pas l'esprit lycée et j'avoue que ça m'était sorti de la tête pendant tous mes cours particuliers. Au moins ce topic m'a permis de corriger un truc chez moi.
Exemple :
Mais la pratique n'est pas courante d'après vos retours. Je suis rassuré quand même.
J'avoue ne pas comprendre le problème. La fonction $[-1,\,1]\ni{}x\mapsto{}x^3$ n'admet aucun extremum en le point $x_0=0$, ni localement au voisinage de ce même point. Sa courbe représentative dans un certain repère y admet une tangente qui n'est autre que l'axe des abscisses et l'origine du repère en est un point d'inflexion.
Cordialement,
Thierry
Et pour ceux se destinant au supérieur cet énoncé faux peut porter préjudice.
Mieux aurait valu énoncer seulement la réciproque sur un ouvert par exemple. Ou dire qu'il fallait que ce soit un 0 de changement de signe. Bien que concrètement, en dressant le tableau de variation on ait un appui visuel pour ne pas se tromper, c'est une bien mauvaise habitude que de seulement chercher à résoudre f'(x) = 0 lorsqu'on demande quand f est maximale, qui peut perdurer un moment dans le supérieur et être dure à perdre.
(Si ça vous intéresse, ce qui m'a choqué récemment, c'est une confusion réelle et récurrente entre addition et multiplication chez un étudiant de deuxième année. Elle s'est exprimée au moins sous trois formes différentes dans un même oral ; il s'agissait de nombres réels, peut-être même entiers, hein, pas des matrices ou des octonions.)