Asymptotes horizontales

Soit $f:\mathbf{R} \to \mathbf{R}$ et $g:\mathbf{R} \to \mathbf{R}$ défini comme $ \displaystyle f(s):=\frac{1}{\sqrt[3]{s^{2}+1}} \quad \text{et} \quad g(s):=\frac{1}{\sqrt[3]{s^{4}+1}}$ et soit $F:\Omega\subseteq \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ et $G:\Omega[ \to \mathbf{R}$ défini comme
$$ F(x):=\int_{0}^{x}f(s){\rm d}s \quad \text{et} \quad G(x):=\int_{0}^{x}g(s){\rm d}s.
$$

1. Il est clair que $\forall s\in \mathbb{R}: g(s)>0, f(s)>0$. Donc, $F(x)>0$ et $G(x)>0$. Ceci signifie que $F,G$ ce sont des fonctions strictement positives.
2. Depuis que $f,g\in \mathcal{R}(\Omega)$, ensuite $F,G$ ce sont des fonctions continues sur $\Omega$.
3. Les fonctions $F$ et $G$ ils $\nearrow$ strictement. Depuis que, si $x,y \in \Omega\subseteq \mathbf{R}$ avec $x>y$,ensuite $f(x)>f(y)$, parce que $F(-\infty)=-\infty$ et $F(+\infty)=+\infty$ et $G(-\infty)=-\infty$ et $G(+\infty)=+\infty$,

Par conséquent, puisque $1,2 $ et $ $ sont vérifiés, nous pouvons nous assurer que $F$ et $G$ sont des bijections de $ \mathbf{R} $ en $ \mathbf{R}$.
Donc, $$\lim_{t\to +\infty}F(t)= \lim_{t\to +\infty} \Big(\int_{0}^{t}\frac{{\rm d}s}{\sqrt[3]{s^{4}+1}} -\Big)=\int_{0}^{+\infty}\frac{{\rm d}s}{\sqrt[3]{s^{4}+1}}=\alpha \in \mathbf{R}.
$$ Ensuite, $F(x)\to \alpha \implies x=F^{-1}(\alpha)$ quand $\to +\infty$ est une asymptote horizontale et l'autre asymptote horizontale est obtenue quand $t\to -\infty$.
Est-ce correct ?
Des suggestions ?
Merci.

Merci pour l'indication. Je voudrais corriger ces graves erreurs. Pouvez-vous faire une liste de ces erreurs graves ? Je veux essayer d'écrire une version propre de la solution. Vraiment, j'essaye professeur.

Eh bien, dans cette partie, je n'étais pas sûr. En fait, j'ai pensé qu'il suffisait de ne travailler qu'avec F. La fonction F satisfait à cette condition. :-(

Parce que?
J'ai juste besoin de corriger cette partie selon vos instructions, prof.