Dimension de Hausdorff
Bonsoir,
dans le pdf suivant à la page 12 http://farhi.bakir.free.fr/index_fichiers/Hausdorff.pdf
dans la preuve du théorème 9 l'auteur dit qu'il étudie le cas $A$ borné, que se passe-t-il si $A$ est non borné ?
Merci.
dans le pdf suivant à la page 12 http://farhi.bakir.free.fr/index_fichiers/Hausdorff.pdf
dans la preuve du théorème 9 l'auteur dit qu'il étudie le cas $A$ borné, que se passe-t-il si $A$ est non borné ?
Merci.
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Réponses
Soit $A$ non borné de mesure de Lebesgue non nulle. Il existe $R>0$ tel que $A\cap B(0,R)$ [édit : est de mesure de Lebesgue non nulle] (à toi de chercher pourquoi). On applique la preuve dans le cas borné à $A\cap B(0,R)$ et on utilise que $\dim_{\cal H}(A\cap B(0,R)) \leqslant \dim_{\cal H}A\leqslant n$ (à toi de chercher pourquoi ces inégalités sont vraies).
Mais on cherche à lui faire appliquer un théorème, tu te souviens? Et ce théorème demande quelque chose...
Je connaissais la propriété pour un ouvert non vide $O$ de $\R^n$. Et la démonstration est basée sur le même principe, un ouvert non vide contient une boule ouverte et sa dimension de Hausdorff est égale à $n$, on a donc que la dimension de Hausdorff de $O$ est $\geq n$, d’où le résultat (puisque par croissance de la mesure de Hausdorff, on a l’inégalité dans l’autre sens).
Puis
Puis
Esprit de contradiction...
en lisant la démonstration du lemme, je lis "les projections font diminuer le diamètre". Je ne pense pas que ça soit vrai tout le temps.
Au passage, Nora-math ne remercie pas les personnes qui lui ont répondu. Ce n'est pas bien. S'il y a des choses qui ne restent pas claires, il faut le dire.