Le groupe de Klein

Pourquoi parles-tu de produit direct ? Dans le groupe de Klein, le produit de deux éléments distincts d'ordre $2$ est bien égal au troisième élément d'ordre $2$ de ce groupe.

Le groupe de Klein est commutatif, donc on le note plutôt additivement en effet,
quand on pense à lui sous la forme $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/2\mathbf{\Z}$. Le mot
« produit » de deux éléments est alors à comprendre comme la somme. Par exemple, $(1,0)+(0,1)=(1,1)$.

On peut aussi le réaliser multiplicativement, en considérant le sous-groupe des permuations sur $4$ lettres, $\mathfrak{S}_4$, constitué des double transpositions et de l'identité : $\{\text{Id},\ (1 2)(3 4),\ (1 3)(2 4),\ (1 4)(23)\}$. Le « produit » est ici la composition des permutations.

C’est pire quand tu parles de translations.
Tu peux les ajouter (comme des vecteurs), les composer (comme des applications) et les multiplier (comme des éléments du groupe des isométries). Tout dépend du point de vue.

Mais je n'ai rien à reprocher ici, Totem. Dans des contextes différents, les mots mathématiques adéquats sont différents. Et inversement, le même mot servira à des usages différents.
L'un des grands apprentissages en mathématiques est de reconnaître, sous des habillages distincts, les mêmes structures, de reconnaître les isomorphismes.

Cordialement.

Je te rejoins sur ce fait : "J'ai beaucoup plus de mal avec l'algèbre qu'avec l'analyse". J'ai du mal à réfléchir en termes de structure. Et pourtant, c'est en algèbre que j'ai eu mes meilleurs notes à l'agreg interne. Mais n'ayant aucune intuition, quand je bloque, je n'ai pas de solution.
Cordialement.

@totem : bonjour. Une autre façon classique de concrétiser le groupe de Klein, autre que celles proposées par Jean Vingt-trois, est de l'envisager comme "le groupe du matelas", ie le groupe G des symétries du rectangle. Si l'on note $x$ et $y$ les symétries par rapport aux médianes du rectangle, il est alors clair que le produit de deux éléments distincts différents de $1$ est égal au troisième. On a $x^2=1$, $y^2=1$, $xy=yx$, $(xy)^2=1$ et $G=\{1,x,y,xy\}$.