Oraux concours RMS 2020 X, ENS
Réponses
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Bobby Joe,
à propos du numéro 103 : ma solution utilise comme propriétés de l'exponentielle la convexité, la croissance et la positivité et il me semble que la tienne rend inutile l'hypothèse de croissance. Me trompé-je ? La différence entre nos deux solutions réside dans le fait que j'ai besoin de la croissance entre les deux transformations d'Abel et que, toi, tu parviens à t'en passer. -
En effet, seule la convexité (pour appliquer l'inégalité de Jensen) et la positivité pour majorer dans l'"union bound" est utile!
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Voici la liste complète des exercices X 2020-MP de la RMS (avec les exos non étoilés)
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Pour le $48$, que signifie la notation $|G|$, où $G$ est un sous-groupe :-S
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Généralement, c'est le cardinal de l'ensemble.
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Bonjour,
Le cardinal ? -
Merci je ne connais pas cette notation façon "norme".
Et pendant que j'y suis pour le $3$, que signifie $v_p(n!)$ svp ? -
L'exposant de la plus grande puissance de $p$ qui divise $n!$.
Par exemple, $v_2(4!)=v_2(2^2\times 3\times 2)=v_2(2^3\times 3)=3$
(mon exemple n'est pas très heureux, le $3$ final correspond à l''exposant $3$ de $2^3$ et pas le facteur $3$ qui suit). -
À propos du 153 : non seulement la question b) se traite très bien sans l'apport du a), mais de plus je ne vois pas comment utiliser cette question a) pour résoudre la suivante ! Quelqu'un y est-il parvenu de cette façon ? En fait, je soupçonne que le a) devait être utilisé pour une question c) qui n'a pas été posée (du type : quels sont les polynômes à coefficients entiers tels que $P(m)$ est premier ou le carré d'un premier pour tout $m$ ?).
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À moins que cela ne m'ait échappé, l'exercice <<étoilé>> 82 n'a pas été corrigé ; j'en rappelle l'énoncé :
a. Soit un entier $n\geqslant1$ et soit des réels $a_1,\dots,\,a_n$ strictement positifs ; comparer $(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n}$ et $(a_1+\cdots+a_n)/n$.
b. Soit $P\in\R[X]$, scindé et tel que $P(-1)=P(1)=0$ et $P(x)>0$ si $x\in\,]-1,\,1[$ ; montrer que $\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)\,{\rm d}t\geqslant\frac23T$, où $T$ désigne l'aire du triangle limité par l'axe des abscisses et les tangentes au graphe de $P$ aux points $(-1,0)$ et $(1,0)$.
À moins que les questions a. et b. ne soient sans rapport, je ne suis pas parvenu à une minoration aussi bonne que celle demandée pour l'intégrale. Si, au contraire, l'exercice consiste en l'utilisation de l'inégalité de la moyenne, on peut tenter d'écrire $A$ comme limite d'intégrales de fonctions en escalier puis de minorer ces sommes par des produits. Il y a peut-être une manip préalable à effectuer : IPP ou changement de variable.
Quoi qu'il en soit, pas moyen de parvenir au coefficient $2/3$. Bouteille à la mer...
Remarque : on peut bien entendu supposer que $P'(-1)$ et $P'(1)$ sont $>0$ et se ramener à l'intégrale de $\ln P(t)$, mais cela ne donne semble-t-il pas la bonne constante. En plus si cela n'était que ça, la solution aurait été trouvée. -
@john_john en effet je viens de vérifier il n’a pas été corrigé dans la rms
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Bonsoir,
Considérons $P(X)=(1-X^2)(X-2)(X-3)=-X^4+5X^3-5X^2-5X+6$ qui est scindé, $P(-1)=P(1)=0$ et manifestement $P(t)>0$ pour tout $t$ dans $\left]-1;1\right[$.
On a $P'(X)=-4X^3+15X^2-10X-5$ d'où $P'(1)=-4$ et $P'(-1)=24$.
Les équations des tangentes aux points d'abscisses respectives $1$ et $-1$ sont donc $y=-4x+4$ et $y=24x+24$, qui ont pour point d'intersection le point $C\left(-\dfrac 47;\dfrac{48}7\right)$. L'aire $T$ du triangle $ABC$ où $A(-1,0)$ et $B(1,0)$ est donc $\dfrac{48}7$.
Cependant, on a :
\[\int_{-1}^1 P(t)dt=\left[-\dfrac{t^5}5+\dfrac{5t^4}4-\dfrac{5t^3}3-\dfrac{5t^2}2+6t\right]_{-1}^1=-\dfrac 25-\dfrac {10}3+12=\dfrac{124}{15}\]
$\dfrac 23\times\dfrac{48}7=\dfrac{32}7=\dfrac{480}{105}$ et $\dfrac{124}{15}=\dfrac{868}{105}$, donc $\displaystyle\dfrac 23T<\int_{-1}^1 P(t)dt$.
EDIT : ce n'est pas du tout un contre-exemple puisque l'inégalité du message de john_john est parfaitement vérifiée ! -
toutes mes excuses, Philippe : j'ai dû taper $\le$ au lieu de $\ge$ car il s'agissait bien de minorer l'intégrale, comme je l'ai écrit par la suite. Je pense que c'est cette coquille qu'AD a corrigée à l'insu de mon plein gré 8-).
Par parenthèse, si l'inégalité est vraie, elle est optimale car elle devient une égalité lorsque $P(X)=1-X^2$. -
Eh non c'est ma faute : il n'y a jamais eu d'erreur dans ton énoncé !
J'ai voulu voir ce que cela donnait avec Geogebra et j'avais mal défini un booléen tout en prenant un exemple non scindé qui m'indiquait "true".
Après avoir relu calmement l'énoncé, j'ai modifié ma fonction pour qu'elle corresponde parfaitement à la consigne et je me suis fait avoir car j'avais mis exactement la condition contraire ! (td)
Finalement, je viens de m'amuser un peu en testant tout un tas de fonctions, et ça a bien l'air de fonctionner.
Il ne reste plus qu'à trouver la bonne méthode pour résoudre le problème ! -
Ah ben, vois-tu, c'eût été l'illustration parfaite de la co(q)uille que je n'aurais pas détectée, même en me relisant dix fois.
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Je reviens sur l'exercice 82 que j'avais laissé de côté au mois de mai n'ayant pas trouvé de solution.
J'ai fini par trouver une solution très simple pour le (b.) mais qui n'utilise le (a.) que dans le cas $n=2$ : $a+b\geq2\sqrt{ab}$ dans $\R_+$.
Je suppose 1 et -1 racines simples (sinon c'est trivial) et $P$ unitaire (au signe près).
On peut alors poser $P=(1-X^2)\displaystyle\prod_i(a_i+X)\prod_j(b_j-X)$ avec $a_i>1$ et $b_j>1$, les produits vides étant égaux à 1.
On calcule sans difficultés $P'(-1)=2AB'$ en notant $A=\displaystyle\prod_i(a_i-1)$ et $B'=\displaystyle\prod_j(b_j+1)$ ainsi que $P'(1)=-2A'B$ en notant $A'=\displaystyle\prod_i(a_i+1)$ et $B=\displaystyle\prod_j(b_j-1)$.
Les tangentes ont pour équations $y=2AB'(x+1)$ et $y=-2A'B(x-1)$ d'où l'aire du triangle $T=\dfrac{4AA'BB'}{AB'+A'B}$.
C'est ici qu'interviennent les astuces :
$\displaystyle\int_{-1}^1P=\displaystyle\int_{-1}^1(1-x^2)\prod_i(a_i+x)\prod_j(b_j-x)dx=\displaystyle\int_0^1(1-x^2)\left(\prod_i(a_i+x)\prod_j(b_j-x)+\prod_i(a_i-x)\prod_j(b_j+x)\right)dx$
d'où $\displaystyle\int_{-1}^1P\geq 2\displaystyle\int_0^1(1-x^2)\sqrt{\prod_i(a_i^2-x^2)\prod_j(b_j^2-x^2)}dx\geq2\displaystyle\int_0^1(1-x^2)\sqrt{AA'BB'}dx=\dfrac43\sqrt{AA'BB'}\quad(*)$.
Enfin $\dfrac43\sqrt{AA'BB'}\geq \dfrac23T$ est équivalent à $AB'+A'B\geq 2\sqrt{AA'BB'}$ qui est bien vérifié.
L'égalité dans $(*)$ n'a lieu que si les produits sont vides, c'est-à-dire quand $P=1-X^2$. -
Bravo, jandri.
J'avais pensé à la factorisation, mais j'avais laissé sous la forme $P=(1-X^2)Q$ avec les racines de $Q$ en dehors de $[-1,1]$... et du coup, la minoration $Q(x)Q(-x)\geq Q(1)Q(-1)$ pour $x\in [0,1]$ me manquait pour conclure. -
1/ Pour le 82 je suis certain de l’avoir vu dans un sujet de l’ENS ( Ulm ou Saint-Cloud ou ENSET ou Lyon ) dans
un numéros ancien de la RMS.
2/ ERDÖS P, and GRÜNWALD T. — On polynomials with only real roots, Ann. of Math., 40 (3) (1939). 537-548.
3/ Inégalité qui ressemble
Pouvez-vous mettre en pdf l’article Erdös Grünwald du 2/ ? Je ne l’ai pas trouvé sur le web. Merci
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Bonjour!
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