Je n’ai pas l’habitude de poster ici. Désolé de pourrir un peu le fil mais promis juré ce ne sera qu’un message.
La catastrophe du discriminant je vais essayer de l’illustrer par mon expérience de cours particuliers.
Cas typique : élève de première qui n’a aucune base ou presque sur les fractions, développements et surtout factorisations sans parler du calcul...Normalement je prends le temps de revoir ces bases et de les appliquer petit à petit quitte à oublier pour un temps le programme de première et donc de ne pas améliorer les notes tout de suite. Cela fait partie du ’’contrat’’ : d’abord revoir et maîtriser les bases (cela peut être rapide ou très long et laborieux, cela dépend beaucoup des élèves). On a donc le luxe de pouvoir revenir sur A avant de passer à B même si bien entendu il y a des limites.
Dilemme: le contrôle sur le second degré arrive et il faut absolument remonter la moyenne qui est pour le moment catastrophique! Que faire? Appliquer ce que j’ai prévu au risque que la prochaine note soit encore catastrophique et là, l’intelligence et la confiance des parents sont importantes pour garder le cap.
Il me faudra alors tout reprendre puis lui expliquer quelques méthodes (que certains appelleront ’’bidouilles’’ aussi même si personnellement je ne mets pas toutes les bidouilles sur le même plan).
1)S’assurer déjà qu’il s’agit bien d’une équation du second degré (les $x^2$ ne s’annulent pas en développant)
Exemple avec l’équation $(3x+5)^2-9x^2+4x-7=0$
2)Avant de se lancer dans le discriminant regarder si par un ’’raisonnement’’ on n’a pas directement la réponse comme par exemple avec l’équation $2x^2+8=0$ (en expliquant évidemment ce qu’on entend par ’’raisonnement) et dans ce cas l’affaire est réglée.
3) On met sous la forme blabla =0 si ce n’est pas déjà fait (je me permets des ’’on passe tout à gauche’’ si je suis certain que l’élève comprend la réalité de ce ’’passer’’ sinon je reprends tout et vogue la galère ...)
4)On regarde si il n’y a pas un facteur en commun, si c’est ’’x’’ c’est la fête mais si c’est un entier cela peut aider aussi souvent pour se faciliter l’étape 5) comme par exemple $2x^2-8=0$
5)On regarde si on ne voit pas une identité remarquable (une quoi? C’est quoi ce truc?8-) et vogue la galère encore...)
Avec par exemple $2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)$
Si c’est le cas l’affaire est réglée aussi (enfin presque, il reste encore un peu de travail de fin de troisième à faire!)
6)Si cela ne fonctionne toujours pas je peux tenter de voir si il n’y a pas une solution évidente 1 ou -1 (il ne faut pas aller plus loin en général car les calculs deviennent vite ’’impossible’’ pour l’élève). Évidemment avec -1 il faut penser à mettre la parenthèse dans $(-1)^2$.
L’étape 6) est réalisée seulement si l’élève a vu la formule en cours , sinon je laisse souvent tomber (en même temps ils sont fascinés de voir comment en 3 secondes on peut résoudre certaines équations du second degré et cela les pousse parfois à connaître le ’’secret’’:-D)
7) Si rien ne fonctionne je développe tout , je simplifie et je reprends les étapes (sauf 3) qui est déjà réalisée.
8) Si vraiment c’est l’impasse alors oui j’autorise la formule magique delta...
Je peux aussi appliquer la méthode ’’bidouille rapide’’ que j’exècre: Tu vois, quand il y a $ax^2+bx+c=0$ ( toujours vérifier que c’est dans l’ordre décroissant) tu prends ta calculatrice (si tu n’as pas le programme je vais t’aider...) tu notes tes valeurs de a,b et c (et effectivement quand il y a un ’’vide’’ il faut mettre 0...), tu écris sur ta copie la formule $b^2-4ac$ (le prof sera content!) , tu recopies la valeur que te donne ta calculatrice (pas la peine de perdre son temps à expliquer par exemple la différence entre un $-4^2$et un ($-4)^2$...) et même principe avec les solutions. Si tu as un contrôle avec 7 ou 8 équations cela devrait déjà remonter ta moyenne...
Pour résumer: méthode 1) qui demande beaucoup d’efforts et de temps des deux côtés et méthode 2) qui en un seul "cours" (mais on est d’accord qu’il y a zéro enseignement de mathématiques dans ce cas) permet de grappiller facilement quelques points avec en plus les applaudissements des parents (et parfois des profs...) qui voient un résultat positif dès le premier contrôle.
Bien entendu la méthode 2) ’’bidouilles rapides’’ marche très bien seulement si on offre sur un plateau les conditions idéales c’est à dire qu’on ne piège pas trop les élèves avec des $-2x+5x^2-3=0$ ou des $x^3=x$ mais ces pièges là deviennent de plus en plus rares dans les copies de contrôles (ou alors on a droit à des ’’on pourra remarquer que...’’)
Je n’ai pas du tout envie de jouer à ce jeu (à ma grande honte je l’ai utilisé à deux ou trois reprises, je n’étais vraiment pas fier de moi) mais j’ai la désagréable impression que l’on m’y incite de plus en plus. Quand je dis ’’on’’,pour le coup, c’est tout le monde: profs qui vénèrent effectivement de plus en plus ce discriminant (quand je dis de plus en plus je pourrais préciser par ’’surtout les profs nouvellement recrutés et en particulier les reconversions via le troisième concours’’), élèves et parents qui veulent du résultat et tout de suite.
J’ai pris cet exemple mais je pourrais en citer bien d’autres. Je suis parfaitement conscient que faire un cours particulier est infiniment plus ’’facile’’ qu’un cours en classe mais c’était juste pour vous dire que même dans le monde ’’parallèle’’ je sens de plus en plus ces courants contraires qui font que j’abandonne petit à petit la partie (je quitte le navire quoi) et que mon désarroi grandit car j’ai l’impression justement qu’on se débrouille à jouer l’illusion de pouvoir faire B sans avoir fait A.
On me répondra que cette problématique existe depuis longtemps : c’est vrai mais disons que je la cantonnais plutôt aux séries ES au lycée et du coup cela me posait un peu moins de problèmes de conscience mais le souci c’est que cette nouvelle option maths semble de plus en plus se rapprocher de cette ES dans l’esprit avec tous ces inconvénients.
J’oubliais...J'ai eu une réaction un peu trop épidermique envers J-Maths (même si cela venait du cœur:-D) . Hier soir j’étais en mode ’’énervé’’ et prêt pour la bataille de polochons...
Christophe sans doute pour la prosternation; je pense que dans les années 80 que j'ai connues comme lycéen, en 1ere ou TC si on avait sorti le discriminant pour une factorisation évidente le prof se serait foutu de notre gueule, j'ai un vague souvenir de cet état d'esprit. Je ne sais pas comment c'est maintenant, mais je me souviens qu'on passait "au tableau" au hasard pour faire les exos donnés pour le jour, ça nous obligeait à les chercher pour ne pas passer pour des cons.
@Christophe : ce que tu dis dans ton dernier post (hors contexte) est très intéressant, mais ça fait un peu froid dans le dos. Impossible de ne pas penser à 1984.
@biely : ta méthode de cours particulier nécessite au moins une rémunération de cent zeuros de l'heure. (Non non, je ne plaisante pas).
Pour toi xax, un petit exo niveau collège selon Lafforgue. :-D
Etudier, selon les valeurs du premier $p$, le nombre de solutions de l'équation $x^2+x+1=0$ dans $\mathbb F_p$.
Les difficultés des élèves à appréhender les discriminants provient de leur faiblesse en calcul numérique comme littéral. Avant on en faisait massivement au collège avant d'introduire ladite notion.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
gai requin ça dépasse le L2, je n'ai aucun souvenir des corps finis, je me souviens vaguement des Z/nZ c'est tout.
Par contre si tu me donnes une source web voir un bouquin je lirais bien; sachant aussi que mon DEUG et mon année de maths pour l'ingénieur datent d'une trentaine d'années, il faut pas que ce soit Serre ou des trucs comme ça ...
En plus une déconvenue professionnelle (une promotion) fait que je risque d'avoir moins de temps, donc un truc lisible j'apprécierais bien ;-)
Tu vois qu'il faut quand même prendre ce que dit Lafforgue avec des pincettes.
Pour commencer, $\mathbb F_p$, c'est $\Z/p\Z$.
1) Comme souvent, traiter à part le cas $p=2$.
2) Le sacro-saint discriminant t'ouvre ensuite les portes du seul cas où il y a une solution double.
3) On passe ensuite à $p\geq 5$.
Comme le dit LL dans son programme des collèges, il y a des solutions ssi $-3$ est un carré modulo $p$.
Mot-clé pour conclure : La loi de réciprocité quadratique qui est détaillée partout sur la toile
"il faut quand même prendre ce que dit Lafforgue avec des pincettes" je ne dirais pas ça, c'est plutôt un point de vue exigeant mais pas idéaliste, mais je suis parti là dessus en y allant mollo pour la 6e (ensemble de parties d'ensembles, partition). C'est très facile d'introduire les probas comme ça en fait, du moins discrètes dans un premier temps (dés cartes etc.) comme c'est très concret : en changeant les ensembles on voit directement le changement de la proba qu'on veut.
Je pense que fin 4e / 3e c'est possible sans forcer.
La géométrie j'ai commencé comme il dit au CM2 en fait avec l'approximation à la grecque de $\pi$, les coordonnées c'est passé comme une lettre à la poste (bataille navale oblige) d’où rapidement l'équation de cercle centrée avec pythagore.
Les isométries il y a de bons manuels passés et à venir.
@Foys : Quand on soumet l'idée folle d'étudier au lycée les formes quadratiques binaires pour illustrer le principe de Hasse, la loi de réciprocité quadratique devient effectivement de la gnognote pour collégiens.
Il convient, plus que jamais, de répéter le principe que mieux vaut apprendre bien un petit nombre de sujets relativement élémentaires que d’apprendre mal,(...).
L’esquisse de programme constituée de l’ensemble des idées proposées doit être vue comme un maximum réalisable seulement avec des élèves bénéficiant de bases très solides acquises dès l’école primaire non seulement en mathématiques mais aussi en français, particulièrement en grammaire et dans l’art de rédiger. Il faudrait encore que ces élèves aient le goût et les aptitudes très particuliers que demandent les mathématiques à partir d’un certain degré d’abstraction: manquer de ce goût ou de ces aptitudes est d’autant moins un défaut ou une honte qu’il existe bien d’autres formes d’intelligence. C’est bien pourquoi la mise en œuvre d’un programme de mathématiques aussi consistant que celui proposé ici requiert non seulement l’existence d’une filière spécialisée dans laquelle il serait enseignémais aussi celle d’autres filières adaptées à d’autres formes d’intelligences mais tout aussi ambitieuses chacune à sa manière,et donc tout aussi prestigieuses.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Du coup, je comprends enfin mieux la nuance sur le goût et les aptitudes.
Je n'avais absolument pas envisagé que l'on ne puisse pas trouver d'intérêt dans les mathématiques malgré des connaissances suffisantes pour réussir des études.
Merci pour l'éclairage sur ce passage, Foys et je suis vraiment désolé d'avoir été partial vis-à-vis de Chaurien.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Maintenant que j'y pense: il y a une solution courte de l'exo sur les racines de $X^2+X+1$ sans loi de réciprocité quadratique, basée sur le fait que $\mathbf F_p^{\times}$ est cyclique.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Oui Foys, le caractère cyclotomique de ce polynôme donne facilement la condition nécessaire $3$ divise $p-1$...
Mais niveau collège :-D, $\left(\dfrac{-3}p\right)=\left(\dfrac p 3\right)$ pour tout premier $p$ impair permet de conclure.
Foys effectivement, pour commencer à aborder son programme du secondaire la base minimale est son programme du primaire à laquelle il faut rapidement ajouter l'intégralité du calcul littéral du collège qu'il est assez facile de maîtriser fin 6e , mais bon, de nos jours les élèves doivent toujours attendre la 3e pour la double distributivité ou la 2nde pour les identités remarquables ...
C'est le goût qui détermine tout le reste, Mathurin en parle souvent il a raison et Lafforgue évoque aussi ça. De fait ma fille n'avait qu'un intérêt très limité pour les maths consistant essentiellement à avoir une bonne note c'est tout, par contre pour mon fils la curiosité est très importante ainsi que le questionnement; il ne fait pas la différence avec la physique non plus.
gai requin je n'ai fait que des choses simple, mais les symboles de Legendre ne sont pas d'une complexité effrayante quand même. Bon j'ai de la chance l'article de Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_fini semble potable pour une fois je vais commencer par là.
Dreamer, Il n'y a pas de « nuance » entre les goûts et les aptitudes, ce sont exactement deux choses différentes. Nous n'avons pas tous les mêmes aptitudes, talents, dons, dispositions, appelez ça comme vous voulez. Tout le monde s'extasie sur les qualités exceptionnelles de tel footballeur, nageur, danseur, chanteur, etc. et bizarrement dans le domaine intellectuel, on voudrait nous faire croire que nous aurions tous des capacités égales. Ce serait en quelque sorte un corollaire de l'« égalité » de la devise républicaine !
Il est vrai que Descartes a écrit : « Le bon sens est la chose du monde la mieux partagée ». On oublie souvent la suite de cette citation : « car chacun pense en être si bien pourvu que ceux même qui sont les plus difficiles à contenter en toute autre chose n’ont point coutume d’en désirer plus qu’ils en ont. ». Ce qui rejoint : « Tout le monde se plaint de sa mémoire, et personne ne se plaint de son jugement », La Rochefoucauld, Réflexions ou sentences et maximes morales, 89 (1678), Pléiade 1964, p.415.
Il faut donc prévoir des enseignements différents selon les aptitudes des diverses populations scolaires, et aussi selon leurs goûts, d'accord, il y a probablement un lien entre les deux.
Maintenant, je m'interroge sur ce fil, qui me semble aller n'importe où sans qu'on s'en émeuve, alors que d'autres sont fermés rapidement. Je ne me souviens plus si l'on a un fil qui ait pour objet spécifique le contenu souhaitable des enseignements mathématiques de l'école primaire, du collège et du lycée. S'il n'y en a pas, il conviendrait peut-être d'en ouvrir un.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Chaurien parler des équations polynomiales sur les corps finis comme le suscitent Foys et gai requin n'est pas exagérément hors sujet pour ce fil et c'est intéressant. À mon sens les quelques digressions autour ne sont pas gênantes dans la mesure où elles ne sont pas délirantes.
Il n'est pas possible en revanche d'ouvrir un fil spécifique sur le contenu souhaitable des enseignements, puisqu'il devrait se trouver dans le sous-forum pédagogie et il serait immédiatement parasité par qui tu sais, et probablement fermé. Mais tu as raison c'est un vrai manque, de plus il y a sur ce sujet de nombreuses considérations d'enseignants très pertinentes éparpillées sur le forum qui pourraient y être reformulées ou rassemblées.
@xax, si tu tiens à débattre, tu peux ouvrir un fil en logique et fondement, ça t'évitera le troll de comme tu dis "qui tu sais".
Par contre, bon pour l'instant c'est calme et posé et à peu près technique, je n'aimerais pas que ce fil qui est destiné à des "flashs L1-L2" que je récolte de ci de là soit fermé parce qu'il aurait dérivé vers un débat sur de la politique programmatique. Aucune hostilité, juste un précaution pragmatique.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je précise bien que ce qui attribué à sesamaths, je n'ai pas vérifié si c'est vrai (même si ça parait un peu dingue pour l'être).
Je mets la photo en pièce jointe.
Pour les lecteurs a priori intéressé par le PRESENT fil, je signale juste que cette définition est vide. Elle dit "on dit que A=>B quand A=>B".
Tout au plus, elle signale une synonymie entre "si X alors Y" et "X=>Y".
Attention: même si là, la faute est spectaculaire, elle est loin d'être rare et est commise bien des fois, par exemple, j'ai lu dans énormément de livres la faute suivante:
"on dit que f est une fonction allant de A dans B quand à chaque élément $x$ de $A$, $f$ associe un élément $f(x)$ de $B$"
Certains auteurs, persevant leur propre faute font parfois des conrosions qui aggravent encore plus la situation. Par exemple, vont dire "met en correspondance", voire même dire "une fonction est une correspondance".
Je rappelle donc une solution très simple: quand on ne connaitre pas une définition de machin et qu'on est auteur d'un livre, on peut écrire:
"nous supposons connue la notion de machin, nous renvoyons à blabla" où le blabla est une référence à un autre livre, cours, ou autre. C'est 10000 fois mieux que commettre une faute pour remplir un trou.
"on dit que f est une fonction allant de A dans B quand à chaque élément $x$ de $A$, $f$ associe un élément $f(x)$ de $B$"
Certains auteurs, persevant leur propre faute font parfois des conrosions qui aggravent encore plus la situation. Par exemple, vont dire "met en correspondance", voire même dire "une fonction est une correspondance".
CC juste par curiosité, si le cours n'était pas destiné à des matheux mais à des élèves de 13-15 ans comment tu définirais la notion de fonction ?
@christophe c: c'était aussi mon impression initiale mais en fait ladite définition est une abréviation, elle dit en substance: "$A$ implique $B$ := $A\Rightarrow B$ := si $A$ alors $B$". Bon c'est écrit dans le grand style éducation nationale (c'est-à-dire en fait "$A$ implique $B$ := $A\Rightarrow B$ := si $A$ alors $B$:= si $A$ alors $B$") mais en l'espèce c'est moins gênant.
Donc ça me va.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
CC juste par curiosité, si le cours n'était pas destiné à des matheux mais à des élèves de 13-15 ans comment tu définirais la notion de fonction ?
Je parie que cc dirait: "c'est un ensemble $f$ de couples tels que pour tous $a,b,c$, si $(a,b)\in f$ et $(a,c)\in f$ alors $b=c$" :-D
En tout cas je dirais un truc qui dit ça en substance.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
L'implication est en un certain sens indéfinissable (si on veut se laisser de la marge pour aborder les logiques sous-structurelles du moins; si vous êtes en logique classique, vous définissez $\Rightarrow$ à partir d'autres connecteurs plus intuitifs comme $\neg,\vee$, ou $\neg,\wedge$, voire carrément $nand$). Dans ses longs messages de cours de base, Christophe a lui-même recours au slogan introductif "$A \Rightarrow B$ veut dire "si $A$ alors $B$". La seule chose qui soit faisable, c'est de donner des règles pour son emploi et d'en déduire d'autres.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Néanmoins ce que tu proposes est quasiment la définition formelle d'une fonction et pour des élèves de 15 ans c'est juste du charabia.
De plus sans trop chipoter, cette définition formelle n'est rien d'autre que la traduction mathématique de la phrase "une fonction est une correspondance".
Donc je ne vois pas trop par quoi remplacer la phrase "une fonction est une correspondance" lorsqu'on s'adresse à un public de ce type.
Néanmoins ce que tu proposes est quasiment la définition formelle d'une fonction et pour des élèves de 15 ans c'est juste du charabia.
Ca a été fait dans le passé et ça fonctionnait. Chaque fois que j'ai demandé à des gens qui ont maintenant la soixantaine et qui ont vécu les maths modernes comme élèves leur ressenti, les retours ont été positifs. La fameuse réforme est surtout décrite comme l'apocalypse par des profs (avec des vraies raisons pour ceux qui ont eu à l'enseigner à l'époque et qui ont été victimes de la brutalité de leur hiérarchie).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
@raoul, je peux te répondre mieux qu'au conditionnel puisque je l'ai fait pendant 20ans.
Je ne donne pas de définition de fonction, je définis ce qu'est être la courbe d'une fonction. L'important n'étant pas de se faire comprendre, mais de comprendre qu'il y a "quelque chose à voir là".
A noter que je l'ai fait de manière adaptée à l'âge (par exemple, je n'ai pas "exigé" de confiscation visuelle en distinguant de manière pompeuse graphe de courbe)
En fait, l'efficacité est psychologique AVANT d'ETRE pédagogique. La plupart des gens adoptent et ce n'est pas toujours conscient, une dérive comportementale issue de "leur besoin de plaire" ou "de ne pas dire quelque chose de faux".
Cela les entraine (par exemple dans les contextes pédagogiques) à "ne rien dire" tout en parlant (en ne disant rien, ils ne disent rien de faux).
Cette faute est plutôt de nature "maladive" que "méchante". C'est parce qu'ils ne "se détachent pas eux-mêmes" du rôle qu'ils ont.
Je prends un exemple sur des enfants bcp plus jeunes:
$$ \forall a,b: a\times b = b\times a$$
est INFINIMENT PREFERABLE à
$$a\times b = b\times a$$
mais beaucoup ne le comprennent pas car ils "redoutent" l'impopularité que constituerait de se retrouver confronté aux frondes enfantines de CE2. Autrement dit, ils confondent "ne rien dire" (voir même induire en erreur endormante) avec l'applaudimètre.
Il est clair que quand tu énonces une tautologie vide, ton assemblée ne va pas "s'énerver". Il y a une confusion importante assez typique d'ailleurs des crises que traverse notre époque. Une définition doit généralement provoquer une fronde: il se passe quelque chose avec un avant et un après, c'est à dire que quand tu la connaitras, tu auras changé ton niveau, et donc "senti la montée".
Ce crash de l'école a été tellement étendu et général, cette maladie du corps enseignant de "parler pour ne rien dire, pour dire du vide" est tellement devenu un réflexe conditionné dans le corps enseignant que même au niveau des adultes, et ce de manière non consciente, ça a eu des impacts assez conséquents.
Par exemple, quelqu'un que je ne soutiens pas et que j'avais repéré comme n'ayant pas cette technique d'avoir peur d'être impopulaire est devenu UNE STAR à cause de cet écueil de l'école. Il s'appelle Eric Zemmour et "il dit quelque chose" (et dans une proportion que je ne préciserai pas puisqu'on est sur le forum, des conneries. Mais il les dit).
Et bien aussi étonnant que cela puisse paraitre le lien est extrêmement étriot entre le prof démissionnaire qui énonce qu'un truc s'appelle fonction quand c'est une fonction (info vide), détruisant ainsi sans déclencher de cris chez leurs enfants et la passion irrationnelle et indépendante du fond que les parents globalement victimes de ça voue maintenant à Zemmour.
Pour en revenir à la technique: la définition d'une fonction doit permettre de s'en servir : il n'y a qu'une seule image, il y a un ensemble de définition, etc, etc. On n'est pas là pour séduire, on est la pour transmettre des trucs opérant.
quand tu dis qu'un chat griffe, tu informes quand tu dis qu'un chat est un chat tu triches et boycotte ton rôle
quand tu dis qu'une fonction est une fonction, tu boycottes. Quand tu dis que l'image de 8 étant 19, elle n'est pas 25, tu informes;
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@Raoul: je te réponds à la place de Foys, pour ta question à Foys: l'important est que ça opère. Toi, tu cherches essentialiser un truc (le mot fonction), mais il n'y a pas "d'essence" dans les maths a priori, même si toi, tu peux en trouver à 40ans.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Quand je fais tout sauf du lambda calcul et disciplines associées, une fonction est un ensemble de couples, (c'est-à-dire dans le cas où on traite de nombre réels un graphe coupant chaque droite verticale au plus une fois dans le plan repéré, comme dans ces images: https://www.courstechinfo.be/Math/TI/res/Fonctions_Autres.png).
En LC/Typage/COQ etc, les objets sont en réalité des programmes informatiques, avec les problèmes que cela comporte.
Par exemple il y a toujours une infinité de programmes informatiques qui font la même chose.
$\{0,1\}^{\{0,1\}}$ est un ensemble infini en informatique. L'égalité $card(A)^{card B}=card (A^B)$ est très fortement tributaire du point de vue qui dit qu'une fonction est un graphe.
D'un autre côté soit $A$ un ensemble de symboles finis contenant $0$ et $1$, $A^*$ l'ensemble des suites finies de symboles appartenant à $A$ et $\iota$ une fonction partielle de $A^* \times A^*$ dans $A^*$ (que nous appellerons un "interpréteur", insistons toutefois sur le fait que $\iota$ est absolument quelconque dans ce qui va suivre). Définissons pour tout $x\in A^*$, $\varphi(x):=0$ si $(x,x)$ est dans l'ensemble de définition de $\iota$ et si $\iota(x,x)=1$, et $\varphi (x)=1$ dans tous les autres cas. Alors il n'existe aucun $f\in A$ tel que $\iota(f,x)=\varphi(x)$ pour tout $x\in A^*$. En effet dans le cas contraire on aurait $\iota (u,u)=1$ si et seulement si $\iota (u,u)=0$.
En jargon informatique on peut dire que $\varphi$ n'est pas programmable dans $\iota$ ce qui montre les limites du point de vue "procédéiste" voulant qu'une fonction soit '"par essence un procédé"...
et quelque soit ta réponse est-ce que tu aurais répondu la même chose la première fois que tu as assimilé la notion de fonction ?
Je ne me souviens plus, j'étais jeune. Par contre quand le prof a déclaré qu'une fonction était un ensemble de couples tel que blabla, ça a été un éclairage fantastique.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Personnellement durant mon parcours scolaire j'ai d'abord été confronté à la "définition" de fonction comme correspondance (ou "loi" je crois me souvenir, même si je trouve ce mot plutôt déplacé en math), donc un truc du style : loi/règle qui à chaque élément de l'ensemble de départ fait correspondre au plus un élément de l'ensemble d'arrivée. Mais je devais avoir environ 15-16 ans.
Mais il est vrai que lorsque beaucoup plus tard j'ai vu la définition avec les couples j'ai préféré car formelle et surtout car finalement une fonction était juste un ensemble vérifiant certaines propriétés, donc la notion d'ensemble permettait de définir tout le reste.
Ceci dit je ne regrette pas d'avoir eu d'abord la définition informelle car elle m'a permis de me faire une idée intuitive et surtout je pense qu'elle m'a permis de vraiment apprécier la définition formelle par la suite.
Attention, là, je pense qu'il ne faut pas oublier de dire (je ne sais pas pour toi), que bien souvent, les profs font des dessins de machines transformeuses, etc avec un entonnoir dirigé vers le haut pouir l'entrée et vers le bas pour la sortie à l'autre bout, etc.
Mais là, on ne parle pas de "définition froide écrite dans un livre". Ce dessin qui peut marquer les enfants peut rester, pluss que la définition froide, et même surtout si la définition est vide.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@foys, oui, j'y ai pensé avant d'ouvrir le fil, mais bon, dans ce cas, on n'écrit pas "définition" mais juste "notation". Enfin, c'est une question de gout. Et puis c'est un "=" dans le deux sens.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
La catastrophe du discriminant je vais essayer de l’illustrer par mon expérience de cours particuliers.
Cas typique : élève de première qui n’a aucune base ou presque sur les fractions, développements et surtout factorisations sans parler du calcul...Normalement je prends le temps de revoir ces bases et de les appliquer petit à petit quitte à oublier pour un temps le programme de première et donc de ne pas améliorer les notes tout de suite. Cela fait partie du ’’contrat’’ : d’abord revoir et maîtriser les bases (cela peut être rapide ou très long et laborieux, cela dépend beaucoup des élèves). On a donc le luxe de pouvoir revenir sur A avant de passer à B même si bien entendu il y a des limites.
Dilemme: le contrôle sur le second degré arrive et il faut absolument remonter la moyenne qui est pour le moment catastrophique! Que faire? Appliquer ce que j’ai prévu au risque que la prochaine note soit encore catastrophique et là, l’intelligence et la confiance des parents sont importantes pour garder le cap.
Il me faudra alors tout reprendre puis lui expliquer quelques méthodes (que certains appelleront ’’bidouilles’’ aussi même si personnellement je ne mets pas toutes les bidouilles sur le même plan).
1)S’assurer déjà qu’il s’agit bien d’une équation du second degré (les $x^2$ ne s’annulent pas en développant)
Exemple avec l’équation $(3x+5)^2-9x^2+4x-7=0$
2)Avant de se lancer dans le discriminant regarder si par un ’’raisonnement’’ on n’a pas directement la réponse comme par exemple avec l’équation $2x^2+8=0$ (en expliquant évidemment ce qu’on entend par ’’raisonnement) et dans ce cas l’affaire est réglée.
3) On met sous la forme blabla =0 si ce n’est pas déjà fait (je me permets des ’’on passe tout à gauche’’ si je suis certain que l’élève comprend la réalité de ce ’’passer’’ sinon je reprends tout et vogue la galère ...)
4)On regarde si il n’y a pas un facteur en commun, si c’est ’’x’’ c’est la fête mais si c’est un entier cela peut aider aussi souvent pour se faciliter l’étape 5) comme par exemple $2x^2-8=0$
5)On regarde si on ne voit pas une identité remarquable (une quoi? C’est quoi ce truc?8-) et vogue la galère encore...)
Avec par exemple $2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)$
Si c’est le cas l’affaire est réglée aussi (enfin presque, il reste encore un peu de travail de fin de troisième à faire!)
6)Si cela ne fonctionne toujours pas je peux tenter de voir si il n’y a pas une solution évidente 1 ou -1 (il ne faut pas aller plus loin en général car les calculs deviennent vite ’’impossible’’ pour l’élève). Évidemment avec -1 il faut penser à mettre la parenthèse dans $(-1)^2$.
L’étape 6) est réalisée seulement si l’élève a vu la formule en cours , sinon je laisse souvent tomber (en même temps ils sont fascinés de voir comment en 3 secondes on peut résoudre certaines équations du second degré et cela les pousse parfois à connaître le ’’secret’’:-D)
7) Si rien ne fonctionne je développe tout , je simplifie et je reprends les étapes (sauf 3) qui est déjà réalisée.
8) Si vraiment c’est l’impasse alors oui j’autorise la formule magique delta...
Je peux aussi appliquer la méthode ’’bidouille rapide’’ que j’exècre: Tu vois, quand il y a $ax^2+bx+c=0$ ( toujours vérifier que c’est dans l’ordre décroissant) tu prends ta calculatrice (si tu n’as pas le programme je vais t’aider...) tu notes tes valeurs de a,b et c (et effectivement quand il y a un ’’vide’’ il faut mettre 0...), tu écris sur ta copie la formule $b^2-4ac$ (le prof sera content!) , tu recopies la valeur que te donne ta calculatrice (pas la peine de perdre son temps à expliquer par exemple la différence entre un $-4^2$et un ($-4)^2$...) et même principe avec les solutions. Si tu as un contrôle avec 7 ou 8 équations cela devrait déjà remonter ta moyenne...
Pour résumer: méthode 1) qui demande beaucoup d’efforts et de temps des deux côtés et méthode 2) qui en un seul "cours" (mais on est d’accord qu’il y a zéro enseignement de mathématiques dans ce cas) permet de grappiller facilement quelques points avec en plus les applaudissements des parents (et parfois des profs...) qui voient un résultat positif dès le premier contrôle.
Bien entendu la méthode 2) ’’bidouilles rapides’’ marche très bien seulement si on offre sur un plateau les conditions idéales c’est à dire qu’on ne piège pas trop les élèves avec des $-2x+5x^2-3=0$ ou des $x^3=x$ mais ces pièges là deviennent de plus en plus rares dans les copies de contrôles (ou alors on a droit à des ’’on pourra remarquer que...’’)
Je n’ai pas du tout envie de jouer à ce jeu (à ma grande honte je l’ai utilisé à deux ou trois reprises, je n’étais vraiment pas fier de moi) mais j’ai la désagréable impression que l’on m’y incite de plus en plus. Quand je dis ’’on’’,pour le coup, c’est tout le monde: profs qui vénèrent effectivement de plus en plus ce discriminant (quand je dis de plus en plus je pourrais préciser par ’’surtout les profs nouvellement recrutés et en particulier les reconversions via le troisième concours’’), élèves et parents qui veulent du résultat et tout de suite.
J’ai pris cet exemple mais je pourrais en citer bien d’autres. Je suis parfaitement conscient que faire un cours particulier est infiniment plus ’’facile’’ qu’un cours en classe mais c’était juste pour vous dire que même dans le monde ’’parallèle’’ je sens de plus en plus ces courants contraires qui font que j’abandonne petit à petit la partie (je quitte le navire quoi) et que mon désarroi grandit car j’ai l’impression justement qu’on se débrouille à jouer l’illusion de pouvoir faire B sans avoir fait A.
On me répondra que cette problématique existe depuis longtemps : c’est vrai mais disons que je la cantonnais plutôt aux séries ES au lycée et du coup cela me posait un peu moins de problèmes de conscience mais le souci c’est que cette nouvelle option maths semble de plus en plus se rapprocher de cette ES dans l’esprit avec tous ces inconvénients.
J’oubliais...J'ai eu une réaction un peu trop épidermique envers J-Maths (même si cela venait du cœur:-D) . Hier soir j’étais en mode ’’énervé’’ et prêt pour la bataille de polochons...
@biely : ta méthode de cours particulier nécessite au moins une rémunération de cent zeuros de l'heure. (Non non, je ne plaisante pas).
Etudier, selon les valeurs du premier $p$, le nombre de solutions de l'équation $x^2+x+1=0$ dans $\mathbb F_p$.
Par contre si tu me donnes une source web voir un bouquin je lirais bien; sachant aussi que mon DEUG et mon année de maths pour l'ingénieur datent d'une trentaine d'années, il faut pas que ce soit Serre ou des trucs comme ça ...
En plus une déconvenue professionnelle (une promotion) fait que je risque d'avoir moins de temps, donc un truc lisible j'apprécierais bien ;-)
Pour commencer, $\mathbb F_p$, c'est $\Z/p\Z$.
1) Comme souvent, traiter à part le cas $p=2$.
2) Le sacro-saint discriminant t'ouvre ensuite les portes du seul cas où il y a une solution double.
3) On passe ensuite à $p\geq 5$.
Comme le dit LL dans son programme des collèges, il y a des solutions ssi $-3$ est un carré modulo $p$.
Mot-clé pour conclure : La loi de réciprocité quadratique qui est détaillée partout sur la toile
La géométrie j'ai commencé comme il dit au CM2 en fait avec l'approximation à la grecque de $\pi$, les coordonnées c'est passé comme une lettre à la poste (bataille navale oblige) d’où rapidement l'équation de cercle centrée avec pythagore.
Les isométries il y a de bons manuels passés et à venir.
Par contre, je suis d’accord avec ceci:
Du coup, je comprends enfin mieux la nuance sur le goût et les aptitudes.
Je n'avais absolument pas envisagé que l'on ne puisse pas trouver d'intérêt dans les mathématiques malgré des connaissances suffisantes pour réussir des études.
Merci pour l'éclairage sur ce passage, Foys et je suis vraiment désolé d'avoir été partial vis-à-vis de Chaurien.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Mais niveau collège :-D, $\left(\dfrac{-3}p\right)=\left(\dfrac p 3\right)$ pour tout premier $p$ impair permet de conclure.
C'est le goût qui détermine tout le reste, Mathurin en parle souvent il a raison et Lafforgue évoque aussi ça. De fait ma fille n'avait qu'un intérêt très limité pour les maths consistant essentiellement à avoir une bonne note c'est tout, par contre pour mon fils la curiosité est très importante ainsi que le questionnement; il ne fait pas la différence avec la physique non plus.
gai requin je n'ai fait que des choses simple, mais les symboles de Legendre ne sont pas d'une complexité effrayante quand même. Bon j'ai de la chance l'article de Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_fini semble potable pour une fois je vais commencer par là.
Il est vrai que Descartes a écrit : « Le bon sens est la chose du monde la mieux partagée ». On oublie souvent la suite de cette citation : « car chacun pense en être si bien pourvu que ceux même qui sont les plus difficiles à contenter en toute autre chose n’ont point coutume d’en désirer plus qu’ils en ont. ». Ce qui rejoint : « Tout le monde se plaint de sa mémoire, et personne ne se plaint de son jugement », La Rochefoucauld, Réflexions ou sentences et maximes morales, 89 (1678), Pléiade 1964, p.415.
Il faut donc prévoir des enseignements différents selon les aptitudes des diverses populations scolaires, et aussi selon leurs goûts, d'accord, il y a probablement un lien entre les deux.
Maintenant, je m'interroge sur ce fil, qui me semble aller n'importe où sans qu'on s'en émeuve, alors que d'autres sont fermés rapidement. Je ne me souviens plus si l'on a un fil qui ait pour objet spécifique le contenu souhaitable des enseignements mathématiques de l'école primaire, du collège et du lycée. S'il n'y en a pas, il conviendrait peut-être d'en ouvrir un.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Il n'est pas possible en revanche d'ouvrir un fil spécifique sur le contenu souhaitable des enseignements, puisqu'il devrait se trouver dans le sous-forum pédagogie et il serait immédiatement parasité par qui tu sais, et probablement fermé. Mais tu as raison c'est un vrai manque, de plus il y a sur ce sujet de nombreuses considérations d'enseignants très pertinentes éparpillées sur le forum qui pourraient y être reformulées ou rassemblées.
Par contre, bon pour l'instant c'est calme et posé et à peu près technique, je n'aimerais pas que ce fil qui est destiné à des "flashs L1-L2" que je récolte de ci de là soit fermé parce qu'il aurait dérivé vers un débat sur de la politique programmatique. Aucune hostilité, juste un précaution pragmatique.
Je précise bien que ce qui attribué à sesamaths, je n'ai pas vérifié si c'est vrai (même si ça parait un peu dingue pour l'être).
Je mets la photo en pièce jointe.
Pour les lecteurs a priori intéressé par le PRESENT fil, je signale juste que cette définition est vide. Elle dit "on dit que A=>B quand A=>B".
Tout au plus, elle signale une synonymie entre "si X alors Y" et "X=>Y".
Attention: même si là, la faute est spectaculaire, elle est loin d'être rare et est commise bien des fois, par exemple, j'ai lu dans énormément de livres la faute suivante:
"on dit que f est une fonction allant de A dans B quand à chaque élément $x$ de $A$, $f$ associe un élément $f(x)$ de $B$"
Certains auteurs, persevant leur propre faute font parfois des conrosions qui aggravent encore plus la situation. Par exemple, vont dire "met en correspondance", voire même dire "une fonction est une correspondance".
Je rappelle donc une solution très simple: quand on ne connaitre pas une définition de machin et qu'on est auteur d'un livre, on peut écrire:
"nous supposons connue la notion de machin, nous renvoyons à blabla" où le blabla est une référence à un autre livre, cours, ou autre. C'est 10000 fois mieux que commettre une faute pour remplir un trou.
CC juste par curiosité, si le cours n'était pas destiné à des matheux mais à des élèves de 13-15 ans comment tu définirais la notion de fonction ?
Donc ça me va.
En tout cas je dirais un truc qui dit ça en substance.
Néanmoins ce que tu proposes est quasiment la définition formelle d'une fonction et pour des élèves de 15 ans c'est juste du charabia.
De plus sans trop chipoter, cette définition formelle n'est rien d'autre que la traduction mathématique de la phrase "une fonction est une correspondance".
Donc je ne vois pas trop par quoi remplacer la phrase "une fonction est une correspondance" lorsqu'on s'adresse à un public de ce type.
- comme un truc qui prend un élément en entrée et te restitue un élément en sortie ?
- comme un ensemble de couples ?
- comme autre chose ?
et quelle que soit ta réponse est-ce que tu aurais répondu la même chose la première fois que tu as assimilé la notion de fonction ?
PS. ce sont de vraies questions.
Je ne donne pas de définition de fonction, je définis ce qu'est être la courbe d'une fonction. L'important n'étant pas de se faire comprendre, mais de comprendre qu'il y a "quelque chose à voir là".
A noter que je l'ai fait de manière adaptée à l'âge (par exemple, je n'ai pas "exigé" de confiscation visuelle en distinguant de manière pompeuse graphe de courbe)
En fait, l'efficacité est psychologique AVANT d'ETRE pédagogique. La plupart des gens adoptent et ce n'est pas toujours conscient, une dérive comportementale issue de "leur besoin de plaire" ou "de ne pas dire quelque chose de faux".
Cela les entraine (par exemple dans les contextes pédagogiques) à "ne rien dire" tout en parlant (en ne disant rien, ils ne disent rien de faux).
Cette faute est plutôt de nature "maladive" que "méchante". C'est parce qu'ils ne "se détachent pas eux-mêmes" du rôle qu'ils ont.
Je prends un exemple sur des enfants bcp plus jeunes:
$$ \forall a,b: a\times b = b\times a$$
est INFINIMENT PREFERABLE à
$$a\times b = b\times a$$
mais beaucoup ne le comprennent pas car ils "redoutent" l'impopularité que constituerait de se retrouver confronté aux frondes enfantines de CE2. Autrement dit, ils confondent "ne rien dire" (voir même induire en erreur endormante) avec l'applaudimètre.
Il est clair que quand tu énonces une tautologie vide, ton assemblée ne va pas "s'énerver". Il y a une confusion importante assez typique d'ailleurs des crises que traverse notre époque. Une définition doit généralement provoquer une fronde: il se passe quelque chose avec un avant et un après, c'est à dire que quand tu la connaitras, tu auras changé ton niveau, et donc "senti la montée".
Ce crash de l'école a été tellement étendu et général, cette maladie du corps enseignant de "parler pour ne rien dire, pour dire du vide" est tellement devenu un réflexe conditionné dans le corps enseignant que même au niveau des adultes, et ce de manière non consciente, ça a eu des impacts assez conséquents.
Par exemple, quelqu'un que je ne soutiens pas et que j'avais repéré comme n'ayant pas cette technique d'avoir peur d'être impopulaire est devenu UNE STAR à cause de cet écueil de l'école. Il s'appelle Eric Zemmour et "il dit quelque chose" (et dans une proportion que je ne préciserai pas puisqu'on est sur le forum, des conneries. Mais il les dit).
Et bien aussi étonnant que cela puisse paraitre le lien est extrêmement étriot entre le prof démissionnaire qui énonce qu'un truc s'appelle fonction quand c'est une fonction (info vide), détruisant ainsi sans déclencher de cris chez leurs enfants et la passion irrationnelle et indépendante du fond que les parents globalement victimes de ça voue maintenant à Zemmour.
Pour en revenir à la technique: la définition d'une fonction doit permettre de s'en servir : il n'y a qu'une seule image, il y a un ensemble de définition, etc, etc. On n'est pas là pour séduire, on est la pour transmettre des trucs opérant.
quand tu dis qu'un chat griffe, tu informes quand tu dis qu'un chat est un chat tu triches et boycotte ton rôle
quand tu dis qu'une fonction est une fonction, tu boycottes. Quand tu dis que l'image de 8 étant 19, elle n'est pas 25, tu informes;
En LC/Typage/COQ etc, les objets sont en réalité des programmes informatiques, avec les problèmes que cela comporte.
Par exemple il y a toujours une infinité de programmes informatiques qui font la même chose.
$\{0,1\}^{\{0,1\}}$ est un ensemble infini en informatique. L'égalité $card(A)^{card B}=card (A^B)$ est très fortement tributaire du point de vue qui dit qu'une fonction est un graphe.
D'un autre côté soit $A$ un ensemble de symboles finis contenant $0$ et $1$, $A^*$ l'ensemble des suites finies de symboles appartenant à $A$ et $\iota$ une fonction partielle de $A^* \times A^*$ dans $A^*$ (que nous appellerons un "interpréteur", insistons toutefois sur le fait que $\iota$ est absolument quelconque dans ce qui va suivre). Définissons pour tout $x\in A^*$, $\varphi(x):=0$ si $(x,x)$ est dans l'ensemble de définition de $\iota$ et si $\iota(x,x)=1$, et $\varphi (x)=1$ dans tous les autres cas. Alors il n'existe aucun $f\in A$ tel que $\iota(f,x)=\varphi(x)$ pour tout $x\in A^*$. En effet dans le cas contraire on aurait $\iota (u,u)=1$ si et seulement si $\iota (u,u)=0$.
En jargon informatique on peut dire que $\varphi$ n'est pas programmable dans $\iota$ ce qui montre les limites du point de vue "procédéiste" voulant qu'une fonction soit '"par essence un procédé"...
Je ne me souviens plus, j'étais jeune. Par contre quand le prof a déclaré qu'une fonction était un ensemble de couples tel que blabla, ça a été un éclairage fantastique.
Personnellement durant mon parcours scolaire j'ai d'abord été confronté à la "définition" de fonction comme correspondance (ou "loi" je crois me souvenir, même si je trouve ce mot plutôt déplacé en math), donc un truc du style : loi/règle qui à chaque élément de l'ensemble de départ fait correspondre au plus un élément de l'ensemble d'arrivée. Mais je devais avoir environ 15-16 ans.
Mais il est vrai que lorsque beaucoup plus tard j'ai vu la définition avec les couples j'ai préféré car formelle et surtout car finalement une fonction était juste un ensemble vérifiant certaines propriétés, donc la notion d'ensemble permettait de définir tout le reste.
Ceci dit je ne regrette pas d'avoir eu d'abord la définition informelle car elle m'a permis de me faire une idée intuitive et surtout je pense qu'elle m'a permis de vraiment apprécier la définition formelle par la suite.
Mais là, on ne parle pas de "définition froide écrite dans un livre". Ce dessin qui peut marquer les enfants peut rester, pluss que la définition froide, et même surtout si la définition est vide.
@foys, oui, j'y ai pensé avant d'ouvrir le fil, mais bon, dans ce cas, on n'écrit pas "définition" mais juste "notation". Enfin, c'est une question de gout. Et puis c'est un "=" dans le deux sens.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2277874,2277874#msg-2277874
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2279552,2279820#msg-2279820