Dénombrements et quinté

Jaxom31
Jaxom31
dans Combinatoire et Graphes
Bonjour,

J'ai un problème de probabilité, enfin plutôt de dénombrement :

J’essaie de calculer le nombre de combinaisons gagnantes au pmu en jouant au quinté + (on choisi 5 chevaux)

avec 20 chevaux partants

Nombre de combinaisons possibles de 5 chevaux (l'ordre compte) : arrangement de 5 parmi 20 soit 1 860 480
Nombre de combinaisons possibles de 5 chevaux (peu importe l'ordre) : combinaison de 5 parmi 20 soit 15 504

Mon problème est de calculer les deux autres types de combinaisons gagnantes à savoir :

- le bonus 3 : le nombre de combinaisons de 5 chevaux qui contiennent les 3 premiers de la course (peu importe leur ordre ou leur place dans la combinaison).
- le bonus 4 : le nombre de combinaisons de 5 chevaux qui contiennent les 4 premiers de la course (peu importe leur ordre ou leur place dans la combinaison).

Mon idée est pour le bonus 3 = 10x17x16 qui correspond à 10 possibilités de permuter 3 chiffres parmi 5 multiplié par 17x16 qui correspondent aux nombres de chevaux restants pour les deux autres chevaux.
Pour le bonus 4 : 5x16 même raisonnement que pour le bonus 3

Est-ce que c'est juste ? et si oui, comment l'exprimer avec des concepts mathématiques, c'est plutôt de l'intuition que j'ai utilisé.

Merci d'avance.

Réponses

  • Mathurin
    Mathurin
    Bonjour,
    comme cela rapidement, il me semble que 10 est le nombre de combinaisons, non de permutations. Ce que tu recherches est le nombre d'arrangements soit 10*3!
    Mais je peux me tromper.
    Cordialement
  • Jaxom31
    Jaxom31
    en fait ce que je veux dire (J'emploie surement le mauvais vocabulaire) :

    Si les trois chevaux arrivés dans les trois premières places de la course sont A,B et C, et X & Y les deux autres chevaux que j'ai choisi. on peut avoir :
    XYABC
    XAYBC
    XABYC
    XABCY
    AXYBC
    AXBYC
    AXBCY
    ABXYC
    ABXCY
    ABCXY

    Comme combinaisons gagnantes pour le bonus 3 soit 10 et pour X et Y on peut prendre 17 et 16 valeurs différentes
  • Mathurin
    Mathurin
    Oui, mais cela ce sont les combinaisons. Tu peux aussi remplacer A par B, B par C et C par A etc.
    Cordialement
  • Jaxom31
    Jaxom31
    oui car l'ordre n'importe pas par exemple ABXYC c'est la même que CAYXB ou que BAYXC

    Ce sont effectivement des combinaisons et non pas des permutations si c'est bien cela que tu veux dire.
  • Mathurin
    Mathurin
    Oui, mais ce sont des configurations différentes, que tu dois comptabiliser dans ton dénombrement.
    Ce n'est pas la même chose d'avoir placé le premier en premier et le troisième en premier.
    Après tu va diviser le nombre de configurations favorables sur le nombre de configurations totales.
    Cordialement
  • Jaxom31
    Jaxom31
    Si, c'est la même chose la combinaison est gagnante aussi, le bonus 3 est atteint.

    La différence va se faire sur le nombre de configurations totales 1 860 480 si on ordonne les combinaisons et 15 504 si on ne le fait pas.

    Dans le cas de l'ordre comment calculer le nombre de combinaisons favorables ? Nombre de combinaisons de 5 chevaux parmi 20 qui contient les trois premiers de la course quel que soit l'ordre.
  • Mathurin
    Mathurin
    En fait, voila la façon dont je vois les choses (sans garantie, car ça me prend la tête):

    soit n le nb de chevaux partants (ici 20)
    soit p le nombre de chevaux pariés (ici 5)
    soit q le nb de chevaux gagnants pariés (ici 3)

    Soit tu calcules par arrangements soit par combinaisons.

    Si tu calcules par arrangements, le nb d'arrangements totaux est n!/(n-p)!
    le nb d'arrangements favorables est le produit:
    - du nb d'arrangements de chevaux gagnants pariés parmi les chevaux pariés soit p!/(p-q)!
    - avec le nb d'arrangements de chevaux restants (p-q) parmi les chevaux non pariés (n-q) soit (n-q)!/(n-p)!
    La proba cherchée est cas favorables sur cas totaux soit : p!*(n-q)!/((p-q)!* n!)

    si tu calcules par combinaisons, le nb de combinaisons totales est n!/((n-p)!*p!)
    le nb de combinaisons favorables est
    le nb de combinaisons de chevaux restants (p-q) parmi les chevaux non pariés (n-q) soit (n-q)!/((n-p)!*(p-q)!)
    La proba cherchée est cas favorables sur cas totaux soit : p!*(n-q)!/((p-q)!*n!)

    Les deux chemins convergent.
    Cordialement
  • Jaxom31
    Jaxom31
    Ok, Merci beaucoup, je vais étudier ça tranquillement.
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