En hommage à Leibniz

Message supprimé car par erreur j'avais envisagé de faire un groupe sur Facebook

"Sans issue pour un large public" vous avez raison. Mais quelle curiosité de voir regroupées les trois relations fondamentales de la géométrie que sont le parallélisme, la perpendicularité et l'isométrie. en trois formules étrangement ressemblantes ce qui ne se produit dans aucune autre des approches de la géométrie.

Cordialement

Croyez vous que ce texte qui est assez long pourrait etre publié sur ce forum?

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Dans cette page nous allons apprendre à manier les bivecteurs par dix exercices élémentaires.

1° : Le parallélisme (ou colinéarité) des vecteurs est transitif c’est-à-dire que
si u est parallèle a v et si v est parallèle a w alors u est parallèle a w
Démonstration : Si (u,v)=)u,v( et si (v,w)=)v,w(
Alors (u,v)+(v,w)=)u,v(+)v,w( cad (u,w)=)u,w( cqfd

2° : L’isométrie des vecteurs est transitive c’est-à-dire que
si u est isométrique a v et si v est isométrique a w alors u est isométrique a w
Démonstration : Si (u,v)=)v,u( et si (v,w)=)w,v(
Alors (u,v)+(v,w)=)v,u(+)w,v( cad (u,w)=)w,u( cqfd

3° : L’orthogonalité des vecteurs est n’est pas transitive c’est-à-dire que
si u est orthogonal a v et si v est orthogonal a w alors u n’est pas orthogonal a w
Démonstration : Si (u,v)=)u,-v ( et si (v,w)=)v,-w(
Alors (u,v)+(v,w)=)u,-v(+)v,-w( = )u,-v(+)-v,w( cad (u,w)=)u,w( cqfd
u est parallèle et non orthogonal a w

4° La sommes des trois angles d’un triangle ABC est l’angle plat
Démonstration
(AB,AC)+(CA,CB)+(BC,BA)=(AB,AC)+(AC,BC)+(BC,BA)=(AB,BA) cqfd

5° Par un point du plan on peut mener une et une seule parallèle a une droite donnée. C'est à dire que si un point C et un vecteur AB sont donnés alors CM et CN sont colinéaires a AB ssi CM et CN sont colinéaires
Démonstration (AB,CM)=)AB,CM( et (AB,CN)=)AB,CN( par addition (CM,CN)=)CM,CN( cqfd

6° Par un point du plan on peut mener une et une seule perpendiculaire a une droite donnée. C'est à dire que si un point C et un vecteur AB sont donnés alors CM et CN sont orthogonaux a AB ssi CM et CN sont colinéaires
Démonstration (AB,CM)=)AB,MC( cad ( CM,AB)=)MC,AB( et (AB,CN)=)AB,NC( par addition (CM,CN)=)CM,CN( cad (MC,NC( cqfd

7° Si un triangle ABC est rectangle en A alors
sa médiane AI le partage en deux triangles isocèles
Démonstration
(AB,AC)= )AB,CA( cad (AB+AC,AB+CA)=)CA+AB,AB+AC( cad
(2AI,CB)=)CB,2AI( cad (2AI,2CI)=)2CI,2AI( cad (AI,CI)=)CI,AI( cqfd

8° Si un triangle ABC est isocèle de sommet A alors
sa médiane AI le partage en deux triangles rectangles
Démonstration
(AB,AC)= )AC,AB ( cad (AB+AC,AB+CA)=)AC+AB,BA+AC ( cad
(2AI,CB)=)2AI,BC ( cad (2AI,2CI)=)2AI,2IC ( cad (AI,CI)=)AI,IC ( cqfd

9° Si un triangle a deux cotés égaux il a aussi deux angles égaux
Démonstration
(AB,AC)=)AC,AB( cad (BA,BA+AC)=)CA,CA+AB( cad (BA,BC)=)CA,CB( cqfd

10° D’un point M situé sur un cercle de centre O
on voit tout diamètre d’extrémités A et B sous un angle droit
Démonstration
Par hypothèse (OM,OA)=)OA,OM( et (OM,OB)=)OB,OM(
Donc par combinaisons évidentes,
(MA,OA)=)AM,OM( et (MB,OB)=)BM,OM( donnant (BO,BM)=)OM,BM(
Mais OB = AO cad BO=OA donc par addition membre à membre
(MA,OA)+(OA,BM) = )AM,OM(+)OM,BM(
cad (MA,BM)=)AM,BM( ou mieux (MA,BM)=) MA,MB ( cqfd)

Conclusion

Ici se termine la page 3. Pour ceux qui auront utilisé le lien donné plus haut par LUDWYG sur le calcul géométrique de Leibniz ils auront pu voir que nous respectons à la lettre ses impératifs. On y lit par exemple qu'il souhaitait "exprimer complètement une figure en n’utilisant que des caractères, sans l’aide d’explications verbales et sans y adjoindre de figure ; (Leibniz, la Caractéristique Géométrique, [CG] p.47)"

Comme on est toujours plus attiré par les anciennes méthodes que par les nouvelles beaucoup préfèreront la méthode rhétorique d'Euclide ou bien l'analytique de Descartes. C'est évidemment leur droit. Mais je serais heureux de trouver ici un noyau de défenseurs de Leibniz qui m'aiderait à perfectionner cet outil. Par exemple si (u,v)=(u',v') on peut permuter les moyens ou les extrêmes etc etc.

Enfin l'idée profonde de Leibniz était que l'introduction d'une écriture bien adaptée est toujours la source d'un prolongement inattendu. Ce fut le cas pour l'arithmétique, pour l'algèbre, pour la chimie etc etc. Ce sera le sujet de la page 4

Cordialement

Félicitations a LUDWIG car les documents dont il donne le lien sont effectivement excellents pour comprendre l'esprit dans lequel Leibniz cherchait a approcher la géométrie. J'invite les lecteurs a utiliser ces liens et dans l'ouvrage La Logique de Leibniz il faut aller au chapitre Calcul géométrique dont voici le lien

https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k110843d/f401.image

on y verra les efforts désespérés de Leibniz pour se faire comprendre de mathématiciens comme Huygens ou de l'Hopital mais en vain car il n'arrive pas a mettre au point cet outil qui permettra d'écrire les figures comme on écrit les équations de l'algèbre. Ceux ci veulent des preuves et il ne peut pas en donner.

Or il se trouva que pour le bicentenaire de la naissance de Leibniz une société scientifique de Leipzig, la société Jablonowski, mit au concours la question suivante « Reconstituer et développer le Calcul Géométrique inventé par Leibniz, ou instituer un calcul semblable ». C'est le mémoire de Grassmann, le seul présenté, qui fut couronné le 1° juillet 1846. Il y présentait les vecteurs et il ébauchait ce qui allait devenir plus tard les Espaces Vectoriels dans lesquels malheureusement, contrairement à l'exigence de Leibniz, il faisait aussi intervenir les nombres. Mais son travail ne fut pas pris en considération par les mathématiciens de son époque et il est aujourd'hui considéré comme l'un des grands innovateurs ignorés du XIX° siècle..

vpl

Réponse a toutes les questions sur le site que je veux créer. J'avais fait une longue réponse a Ludwig mais le message a refusé de partir.

Mes messages courts passent mais pas mes messages longs Mystère

Réponse a Ludwig

Mes messages semblent ici bridés quand ils sont trop longs donc mes réponses a tes questions ne passent pas. Désolé

réponse a Rescassol

Je fais court car je ne sais pas quelle longueur de message m'est tolérée désormais. Donc pas possible de faire ici la démonstration demandée. Mais en fait je fais entre les visiteurs la partition suivante: d'un coté ceux que fascinent les trois relations (u,v)=)u,v( et (u,v)=)v,u( et (u,v) =)u,-v( et les autres. Pour le moment du 1° coté je suis seul.

Bonjour a Jean Louis

Je suis allé voir ton site et effectivement ce sont les mêmes sujets qui nous intéressent. Mais aujourd'hui je ne suis plus capable de faire un site comme celui que j'ai fait pour les Hexamys. Dommage, on aurait pu s'encourager l'un l'autre.
Cordialement
RP

Je tente le pari que parmi les 900 visites portées au compteur il y en ait un (ou plusieurs, le rêve est toujours permis!) qui soit lui aussi intrigué par cette impossibilité dans le plan tel que nous le concevons de la relation (u,v)=)-v,u(

Observons que pour les complexes on a longtemps travaillé avec eux sans savoir les interpréter. Il est possible de faire pareil avec la notation bivectorielle qui a été introduite. Je lui ai donné le nom d'anoptrie (étymon privatif a et optos visible donc "qui n'est pas visible"). Comme antécédant j'ai, dans le passé, donné le nom d'hexamys a une figure particulière du plan et je vois que cette appellation est reprise maintenant par l'université et même sur les sites anglophones !

Il est facile de voir que l'anoptrie est compatible avec les trois relations fondamentales de la géométrie que sont le parallélisme, la perpendicularité et l'isométrie. Mais quelles sont ses propriétés propres?

Posons nous par exemple la question de savoir si l'anoptrie est transitive cad si u et v sont anoptriques a w est ce que u et v sont anoptriques ? On a (u,v)=(u,w)+(w,v)=)-w,u(+)v,-w(=)v,u(
Moralité: si u et v sont anoptriques a w alors u et v sont isométriques

Je récapitule tous nos échanges et vos observations dans un fichier PDF que vous trouverez a la fin.
RP

Chers amis

Mystère mystère mystère. Le compteur continue de tourner et vient de dépasser les 1600 consultations et toujours pas un seul mot d'un de ces visiteurs mystérieux.

Je vais donc prendre congé de vous en vous remerciant pour votre collaboration du début. Je vous ai exposé un sujet qui me passionne depuis des années sans que j'arrive a trouver une explication a la relation impossible (u,v)=)v,-u( que je ressens à chaque fois que j'y pense comme une véritable provocation.

Je comptais évidemment trouver sur ce forum au moins un ou deux membres aussi susceptibles que moi qui auraient partagé ma curiosité. Mais ce n'est pas le cas. Dommage.

J'aurais bien aimé mettre ce sujet sur un forum anglophone mais je ne parle pas l'anglais. Dommage encore.

Mais qu'on ne s'y trompe pas: tout le mérite doit en revenir à Leibniz qui a si précisément pressenti les pas de géants que nous ferait faire l'introduction d'une écriture des figures de la Géométrie. Mais hélas ce sujet avait la poisse, puisqu' il n'est pas arrivé de son temps a intéresser quelqu'un, et ce sujet continue à avoir la poisse puisque maintenant non plus il n'intéresse personne.

Amicalement à tous

R Pouzergues

PS: Je supprime ici en cette veille de 15 aout le résumé PDF de mes exposés successifs, mais en septembre, avec la rentrée des grandes écoles, je reprendrai ce sujet en postant à nouveau dans un document PDF les grandes lignes de ce Calcul Géométrique que chercha Leibniz. En espérant toujours tomber sur celui qui se passionnera lui aussi pour ce sujet.