Nombre moyen de rencontre

Gentilhomme
Gentilhomme
dans Combinatoire et Graphes
Étant donné n emplacements, on possède k boules noires et q boules blanches. On note X la variable aléatoire à valeur dans N tel que X vaut le nombre boules blanches devant une noires. Trouver P(x=i). En déduire E(X). (cet exo est en lien avec mon TIPE). J'ai un résultat mais il est assez moches et j'aimerais coder la formule finale de l'espérance. Je suppose que ce problème mathématiques à déjà dû être posé, si il y a une page wikipedia pour m'éclairer, je suis preneur.

Merci pour votre attention

Réponses

  • marsup
    marsup
    Bonjour,

    Oui, en effet, c'est la loi négative hypergéométrique. https://en.wikipedia.org/wiki/Negative_hypergeometric_distribution

    J'en parlais encore avant-hier, de cette espérance, justement !

    J'ai encore la capture d'écran, je crois.122066
  • marsup
    marsup
    Ah non, en fait je ne comprends pas la question.

    De quoi parles-tu, exactement ?

    Que fait-on dans ton expérience ?

    Peut-être que tu devrais changer ton nom d'utilisateur, aussi, ce serait sympa. :-o

    Bienvenue quand même sur le forum ! :-P
  • Gentilhomme
    Gentilhomme
    Mon expérience est totalement autre, je demande de l'aide ici sur une partie de ma démonstration. Le problème est :
    j'ai n places disponibles, j'ai k boules noires et q boules blanches. On suppose n>k+q, j'aimerais alors avoir le nombre moyen de rencontres des boules de différentes couleurs. Ici, ce nombre est bien E(X). Je tiens à préciser que ici n, q, k sont fixes.

    PS : je ne peux malheureusement pas changer mon nom, n'y voyez aucune offense.
    [Si tu indiques le nouveau pseudo, ce sera fait. AD]
  • marsup
    marsup
    On a plus d'emplacements que de boules.

    Qu'est ce qu'on fait avec les boules ?

    Tu veux dire qu'il pleut $k+q$ boules et qu'elles tombent dans $n$ emplacements au hasard ?

    Qu'appelles-tu une "rencontre" entre deux couleurs : c'est quand une case a reçu des boules de couleurs différentes sous la pluie ?
    X vaut le nombre boules blanches devant une boule blanche
    Que signifie "devant" ?
    n,q,k sont fixes.
    Fixes par rapport à quoi ? :-D

    J'espère que ce sera plus clair que ça dans ton TIPE. 8-)
  • marsup
    marsup
    Comme je ne sais pas de quoi on parle, je vais partir sur ma pluie.

    Sous la pluie :
    la probabilité qu'une case reçoive au moins une blanche est $1 - \big(\frac{n-1}{n}\big)^w$
    la probabilité qu'une case reçoive au moins une noire est $1 - \big(\frac{n-1}{n}\big)^b$
    Les deux sont indépendants, donc la probabilité qu'il y ait au moins une blanche et une noire dans chaque est $\big[1 - \big(\frac{n-1}{n}\big)^w\big] \times
    \big[1 - \big(\frac{n-1}{n}\big)^b\big]$.

    Donc en moyenne, ça se produit $n\times $ ça = $n \times \big[1 - \big(\frac{n-1}{n}\big)^w\big] \times
    \big[1 - \big(\frac{n-1}{n}\big)^b\big]$ fois.
  • Gentilhomme
    Gentilhomme
    On les places les boules dans ces emplacements, il y a une boule par emplacement. Oui, mes boules tombent dedans au hasard. Une "rencontre" est quand une boule blanche est devant une boule noire. J'aimerais le nombre moyen de rencontre pour n,k,q donnés.
  • marsup
    marsup
    "Devant" ça veut dire "immédiatement devant" ? Elles sont voisines et la blanche est à gauche de la noire ?
  • marsup
    marsup
    Si c'est ça

    chaque case a pour proba $\frac{w}{n}$ de recevoir une blanche, la case à droite a conditionnellement proba $\frac{b}{n-1}$ de recevoir une noire.

    Il y a $n-1$ cases où la rencontre peut se produire.

    En moyenne, ça fait donc $\frac{wb}{n}$ rencontres si j'ai bien compris l'expérience.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    @Takanik**** : bonjour. Je viens de modifier ton pseudo, très injurieux. L'on ne fait pas ce que l'on veut sur ce forum. Le mot de passe reste inchangé. Est-ce clair ? Tu peux indiquer le pseudo que tu souhaites utiliser, en te montrant plus judicieux dans tes choix.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Gentilhomme
    Gentilhomme
    Devant veut en effet dire "immédiatement devant". En effet, j'étais partis sur de la combinatoire assez lourde. Merci pour ton aide
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