Nombre moyen de rencontre
Étant donné n emplacements, on possède k boules noires et q boules blanches. On note X la variable aléatoire à valeur dans N tel que X vaut le nombre boules blanches devant une noires. Trouver P(x=i). En déduire E(X). (cet exo est en lien avec mon TIPE). J'ai un résultat mais il est assez moches et j'aimerais coder la formule finale de l'espérance. Je suppose que ce problème mathématiques à déjà dû être posé, si il y a une page wikipedia pour m'éclairer, je suis preneur.
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Réponses
Oui, en effet, c'est la loi négative hypergéométrique. https://en.wikipedia.org/wiki/Negative_hypergeometric_distribution
J'en parlais encore avant-hier, de cette espérance, justement !
J'ai encore la capture d'écran, je crois.
De quoi parles-tu, exactement ?
Que fait-on dans ton expérience ?
Peut-être que tu devrais changer ton nom d'utilisateur, aussi, ce serait sympa. :-o
Bienvenue quand même sur le forum ! :-P
j'ai n places disponibles, j'ai k boules noires et q boules blanches. On suppose n>k+q, j'aimerais alors avoir le nombre moyen de rencontres des boules de différentes couleurs. Ici, ce nombre est bien E(X). Je tiens à préciser que ici n, q, k sont fixes.
PS : je ne peux malheureusement pas changer mon nom, n'y voyez aucune offense.
[Si tu indiques le nouveau pseudo, ce sera fait. AD]
Qu'est ce qu'on fait avec les boules ?
Tu veux dire qu'il pleut $k+q$ boules et qu'elles tombent dans $n$ emplacements au hasard ?
Qu'appelles-tu une "rencontre" entre deux couleurs : c'est quand une case a reçu des boules de couleurs différentes sous la pluie ?
Que signifie "devant" ?
Fixes par rapport à quoi ? :-D
J'espère que ce sera plus clair que ça dans ton TIPE. 8-)
Sous la pluie :
la probabilité qu'une case reçoive au moins une blanche est $1 - \big(\frac{n-1}{n}\big)^w$
la probabilité qu'une case reçoive au moins une noire est $1 - \big(\frac{n-1}{n}\big)^b$
Les deux sont indépendants, donc la probabilité qu'il y ait au moins une blanche et une noire dans chaque est $\big[1 - \big(\frac{n-1}{n}\big)^w\big] \times
\big[1 - \big(\frac{n-1}{n}\big)^b\big]$.
Donc en moyenne, ça se produit $n\times $ ça = $n \times \big[1 - \big(\frac{n-1}{n}\big)^w\big] \times
\big[1 - \big(\frac{n-1}{n}\big)^b\big]$ fois.
chaque case a pour proba $\frac{w}{n}$ de recevoir une blanche, la case à droite a conditionnellement proba $\frac{b}{n-1}$ de recevoir une noire.
Il y a $n-1$ cases où la rencontre peut se produire.
En moyenne, ça fait donc $\frac{wb}{n}$ rencontres si j'ai bien compris l'expérience.