La mesure des angles dans un plan !

Bonjour.

Pourrais-tu donner un contexte à ta question, expliquer de quoi tu parles ?
En géométrie plane euclidienne, l'angle plat a une mesure de $2\pi$ radians, soit 180°. Donc tu parles d'autre chose (sans l'avoir dit), d'autant que tu parles de sphère (*).

Cordialement.

(*) avec une grosse erreur "Donc si l'observateur se déplace à la surface d'un sphère, c'est comme s'il se déplace dans un plan." les navigateurs qui font le tour du monde reviennent à leur point de départ. Ce ne serait pas le cas sur un plan.

la citation a écrit:

la somme des angles d’un triangle différente de 180 °

Artemus a écrit:

La mesure d'un angle plat est nécessairement de 180°.

Moui, et alors ? Tu es sûr que tu as lu ce que tu cites ? Pourquoi tu ne parles pas des triangles ?

Bonjour Artemus24.

"Il n'y a pas de contexte particulier à ma question. " Ben si ! Et tu le dis tout de suite après ... avec une citation qui parle de géométrie Riemannienne. Et que tu ne comprends tellement pas que tu confonds angle et somme des angles du triangle.

Finalement, tu as bien appris ta leçon de géométrie plane : "La somme des angles d'un triangle fait 180° ", mais pas suffisamment le français pour comprendre que l'auteur de l'article ne parle pas de la géométrie que tu as apprise ...

Il va te falloir apprendre à lire vraiment, à ne pas utiliser un mot pour un autre, à avoir suffisamment de précision langagière pour comprendre ce que tu lis. Si j'en juge par une de nos discussions d'il y a 3 ans, le problème n'est pas nouveau.

Cordialement.

Bonjour,

Dans un plan, quand on mesure les angles d’un triangle, tous les angles sont mesurés dans UN MEME plan.

Dans un sphère, quand on mesure un angle, on mesure cet angle dans le plan tangent à la sphère à cet endroit. Dans un triangle tracé sur la sphère, les angles sont mesurés dans DES PLANS DISTINCTS.

Ton raisonnement (qui manque de rigueur) semble supposer que les angles sur la sphere sont dans un même plan. Et c’est faux.

Artemus24,

tant que tu interpréteras de travers ce que tu as lu, que tu ne comprendras pas qu'il ne s'agit pas de la géométrie que tu as apprise, mais d'une notion d'angle plus générale dans une géométrie différente, tu pourras continuer à venir dire "ce n'est pas vrai", tu es à côté de la plaque, tu ne fais que manifester une étroitesse d'esprit et refuser de lire ce qui est écrit. Au point de ne pas comprendre que "la géométrie riemannienne" n'est pas ta géométrie habituelle !!
Il faut apprendre à lire; à lire tout, pas seulement un morceau de phrase. Tu te comportes comme l'ahuri qui entendant dans un film à la télé dire "il fait beau", regarde par la fenêtre l'orage et dit "mais non, il ne fait pas beau".

Allez ! reviens sur terre !
Cordialement.

Aux modérateurs : Est-ce bien le bon forum ?? [édit : merci de l'avoir déplacé]

Bonjour.

Il semble que ce soit, dans le plan, une généralisation d'un théorème communément appliqué à des triangles dont les côtés sont droits.

Je ne vais pas me hasarder à citer le nom associé et au théorème initial et à cette généralisation, de peur de me faire vilipender pour attribution abusive.

À bientôt.

Pour être vraiment respecté, il faut être respectable, en particulier accepter que les répondeurs en savent plus que toi, et lire vraiment leurs réponses. Dès le début, on t'a dit que tu confondais, que tu appliquais une règle de la géométrie euclidienne dans une situation qui n'était pas de la géométrie euclidienne, mais Monsieur Artemus sait mieux que tout le monde que la somme des angles d'un triangle fait 180°. Il le sait tellement qu'il ne lit pas le passage qui le surprend, ni les explications des matheux.

Tant pis pour lui !

Bonjour,

Une sphère est un plan : c’est faux.

C'est sidérant.

Bonjour,

La surface de la sphère forme bien un plan, non ?

Non. Tu n'es pas mathématicien, soit. Mais tu devrais avoir au moins le bon sens de voir qu'une sphère, ce n'est pas un plan !
L'angle de deux arcs de courbes lisses dessinés sur la sphère (par exemple des arcs de grands cercles) issus d'un point $P$ est l'angle formé par les deux vecteurs tangents à ces arcs de courbes en $P$, dans le plan tangent à la sphère en $P$.

Bonjour,

Quand tes affirmations sont fausses, elles sont fausses.

Ce n’est pas la peine de demander confirmation.

Tu ne comprends rien aux explications qui sont données.

Tu le fais exprès ?

Arrête de raconter des conneries. Une sphère n’est pas plan. Un tore n’est pas un plan.

Bonjour à tous
Pour faire joujou avec la projection avec la projection stéréographique, c'était très très simple, autrefois.
Aujourd'hui c'est devenu pratiquement mission impossible.
Je tente un combat de la dernière chance!
Vous tracez un cercle $\Gamma$ sur l'écran de votre ordinateur et vous décrétez que c'est l'équateur d'une sphère située de part et d'autre du plan de votre écran.
Vous pouvez même imaginer que votre œil vigilant est situé au pôle Nord de la sphère et qu'il projette automatiquement un point $M\ $ de la sphère au point $m$ du plan de l'équateur c'est à dire justement sur votre écran.
Pour le moment sur votre écran, vous contemplez le cercle $\Gamma\ $ et le point $m.\qquad$.
Notons $M'$ le point diamétralement opposé au point $M$ sur la sphère.
Où va se trouver sa projection $m'\ $ sur l'écran par rapport au cercle $\Gamma\ $ et au point $m?\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Pappus,
Avec tes conventions, il me semble bien que m' se trouve sur le diamètre du cercle passant par le point m, et en la position telle que Om = Om', puisque le centre O de la sphère est un centre de symétrie pour la sphère, et que le centre du cercle, qui est ce même point O, est un centre de symétrie pour le cercle.
Bien amicalement
JLB

Merci Rescassol
Dans toute la suite, pour simplifier (?) les éventuels calculs, on peut toujours supposer que le cercle $\Gamma\ $ est notre divin cercle trigonométrique et donc que la sphère est la non moins sacrée sphère de Riemann.
Ce que tu dis est exact mais cela mérite au moins une démonstration.
On commence à se douter que tout ce qu'on va faire maintenant se passe sur notre écran.
Tu n'as pas tout à fait identifié la correspondance $m\longleftrightarrow m'.\qquad$
Elle porte un nom en géométrie (circulaire).
Amicalement
[small]p[/small]appus

Les grands cercles passant par $M$ se projettent sur la droite $(Om)$. En particulier le projeté du pôle Sud est $O$, et le pôle Nord est envoyé à l'infini.
Et sous l'action du groupe des rotations d'axe $OM$ les orbites des points de la sphère se projettent sur des cercles centrés sur $(Om)$.

YvesM a écrit:

Bonjour,
Une sphère est un plan : c’est faux.

Et pourtant S² muni des grands cercles et des couples de points antipodaux est bien un modèle de la géométrie plane absolue (ie la géométrie ou l'axiome/théorème des parallèles n'est pas vraie). Dans ce contexte S² est un plan, les grands cercles sont des droites et les couple de points antipodaux sont les points.

On fait vite d'oublier que les termes plan, droite, point en géométrie (quelque soit la géométrie qu'on considère) sont des termes indéfinis. C'est le modèle qui fait correspondre à ces termes des objets mathématiques concrets.

S² est un plan tout comme R² ou Q².

Ceci dit, la question de Artemus24 était de savoir comment on peut définir les angles dans une géométrie non-euclidienne en prenant pour exemple la géométrie sphérique.
Et dans S² les droites sont les grand cercles ergo les segments de droites sont des arcs de grand cercle. D'ou on peut construire bien des triangles sphériques. Reste le problème de la définition/mesure des angles. Et ici on a plusieurs chemins, le premier c'est de définir l'angle en termes de 2 vecteurs en utilisant le plan tangent et sa structure euclidienne. On peut aussi faire comme le faisait Lobaschevski (un des inventeurs des géométries non euclidiennes) qui procédait par analogie avec le cas euclidien en notant que un angle (je confonds angle et sa mesure faites-moi un procès civil :)o ) représente une fraction de l'angle rond. Dans le cas euclidien on peut utiliser à cet effet n'importe quel cercle piusque le résultat est indépendant du rayon, dans le cas sphérique c'est plus subtil mais le concept reste le même.

Référence : Nouveaux principes de la géométrie avec une théorie complète des parallèles de Lobaschevski

Bonjour à tous
La sphère $\mathbb S^2\ $ où on identifie les points antipodaux, cela s'appelle le plan projectif.
Et si on n'identifie pas les points antipodaux, cela s'appelle la sphère tout court qu'on peut considérer soit comme une variété riemannienne ou conforme suivant le groupe qu'on fait opérer dessus.
Je pense qu'Artemus qui n'a visiblement aucune culture géométrique pensait à la sphère euclidienne.
Il est vrai que lorsqu'on vit sur une sphère, il existe des gens très honorables qui pensent encore que la terre est plate et que toutes ces histoires de satellites ne sont qu'un vaste complot destiné à nous entuber !
Amicalement
[small]p[/small]appus

Ok pour les projections de grands cercles passant par $M$. En fait je n'avais regardé que celui qui passe par $N$, dont la projection est bien $(mm')$.
Quant aux projections des orbites je ne vois pas pourquoi ce que j'ai écrit est faux : c'est quoi l'orbite d'un point $A$ de la sphère ? C'est bien le cercle d'axe $(OM)$ passant part $A$ non ? Auquel cas sa projection donne un cercle centré sur $Om$.

Oui, donc ce que j'avais dit n'était pas absolument n'importe quoi.
Les projections des orbites sont bien des cercles centrés sur $Om$. Et évidemment tous les cercles centrés sur $Om$ ne sont pas de telles projections. Quoi dire alors ? Ces projections sont orthogonales à celles de tous les grands cercles passant par $M$ et un point de l'orbite. Bon, je ne sais pas quoi faire de cela, sinon de trouver une relation entre la position de leur centre sur $Om$ et leur rayon.

Bonjour à tous
C'est clair que personne ne s'intéresse à ce que je raconte!
A quoi bon continuer!
Au moins vous reste-t-il l'article de Wikipedia!
Et les triplets de points alignés ou de droites concourantes!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Et on peut donc construire à la règle et au compas, dans le plan de l'équateur, ce point $p'$. Soit $H$ le centre de la projection du grand cercle $MPP'$. La perpendiculaire à $(Hp)$ passant par $p$ coupe $mm'$ en $K$, centre de la projection de l'orbite de $P$. Et alors $p'$ est le symétrique de $p$ par rapport à la ligne des centres $(KH)$ :

Mon cher Ludwig
Il y a d'une part la sphère éventuellement plongée dans l'espace et d'autre part le plan de l'équateur sur lequel projette la projection stéréographique à partir d'un point qu'on appelle le pôle Nord. mais les grincheux peuvent toujours l'appeler le pôle Sud si ça leur chante!
Ce plan de l'équateur est matérialisé par l'écran de l'ordinateur.
Par convention, les points de la sphère sont étiquetés par des lettres majuscules alors que leurs images par la projection stéréographique le sont par la lettre minuscule correspondante.
Ne pas oublier donc que les points de l'écran sont des points du plan équatorial et qu'on a pas d'accès direct aux objets de l'espace euclidien dans lequel la sphère est plongée.
Je ne reviens pas sur la projection $mm'\ $ du diamètre $MM'\ $ de la sphère dont j'ai longuement parlé.
Cet axe $MM'\ $ définit un retournement de l'espace euclidien qui contient la sphère.
Comme ce retournement laisse stable la sphère, il induit sur la sphère une transformation involutive que j'appellerai encore retournement.
Ce retournement induit est encore une isométrie de la sphère. Là il faut déjà faire un petit effort pour comprendre la définition d'une isométrie de la sphère, c'et loin d'être évident. D'un point de vue interne de la sphère, on ne peut dire que le diamètre $MM'$ en est l'axe puisqu'il est extérieur à la sphère. Berger, par exemple, s'en tire en disant que les points $M\ $ et $M'\ $ en sont les pôles.
Maintenant si tu prends une paire de pôles antipodaux $\{M,M'\}\ $ et un point $P$ de la sphère distinct de ces deux pôles, qu'obtient-on?
D'une part le grand cercle méridien $(PMM')\ $ et d'autre part le cercle parallèle passant par $P$ et qui est l'orbite du point $P$ sous l'action du groupe des rotations d'axe $MM'\ $ laissant stable la sphère.
Ce parallèle et ce méridien sont orthogonaux, passent par le point $P$ et aussi par le symétrique $P'\ $ du point $P\ $ par rapport à l'axe $MM'$, lequel point $P'\ $ étant lui aussi sur la sphère.
Quand on projette tout de fourbi sur le plan de l'équateur, qu'obtient-on?
Le grand cercle $(PMM')\ $ devient le cercle rouge $(pmm')\ $.
Le parallèle devient je l'ai dit le cercle bleu du faisceau conjugué, c'est-à-dire du faisceau à points limites $m\ $ et $m'\ $passant par $p\ $
Ce cercle bleu et ce cercle rouge se recoupent au point $p'\ $, image de $P'\ $
Tu as tracé sur ta figure ce cercle bleu, bravo!
Maintenant le quadrangle $(m,m',p,p')\ $ n'est pas quelconque!
De quel adjectif (plus ou moins défunt aujourd'hui) peut-on qualifier ce quadrangle?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Ludwig
Si tu as le Lebossé-Hémery et je crois qu'on peut l'avoir en ligne, tu y trouveras les quadrangles harmoniques sous leur aspect euclidien.
Mais ce sont des objets circulaires et pour le voir il suffit de le montrer pour les inversions.
C'est sans doute proposé en exercice dans ce livre.
Et justement une inversion, tu en as une sous la main, à savoir la projection stéréographique elle même!
Amicalement
[small]pappus[/small]
PS
La preuve!!