Coefficients d'un terme dans un développement
Bonsoir,
je chercher à calculer le coefficient de $x^{1509}$ dans $(1+x)(1+x^2)\dots(1+x^{100})$.
Je crois qu'il existe une suite OEIS qui répond à mon problème mais ce qui m'intéresse c'est de trouver un programme "réaliste" pour effectuer ce calcul.
Pour les curieux, voici le problème de départ: calculer à l'aide d'un ordinateur le nombre de façon de calculer 2022 sous la forme 2022 = +/-1+/-2...+/-100
Alors je crois que ce problème mériterait probablement d'être mis dans un autre forum mais il m'apparaît, à la base, comme relevant de la combinatoire.
Merci de vos éventuels éclaircissements,
Amicalement,
F.D.
je chercher à calculer le coefficient de $x^{1509}$ dans $(1+x)(1+x^2)\dots(1+x^{100})$.
Je crois qu'il existe une suite OEIS qui répond à mon problème mais ce qui m'intéresse c'est de trouver un programme "réaliste" pour effectuer ce calcul.
Pour les curieux, voici le problème de départ: calculer à l'aide d'un ordinateur le nombre de façon de calculer 2022 sous la forme 2022 = +/-1+/-2...+/-100
Alors je crois que ce problème mériterait probablement d'être mis dans un autre forum mais il m'apparaît, à la base, comme relevant de la combinatoire.
Merci de vos éventuels éclaircissements,
Amicalement,
F.D.
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Réponses
Plus généralement, si n>0 : F(x,n)=F(x-n,n-1)+F(x,n-1)
et si n=0...
Puisqu'on parle de programme, ça me paraît une bonne piste.
Résultat : 3429176948342242977995928
Je vais explorer ton programme, Guego.
Alors, pour le coeff. il s'agit à priori de celui de $\frac{1}{2}\big(\sum_{k=0}^{100} k -2022\big)$ qui semblait être le bon. (Allez en toute honnêteté ce n'est pas mon idée, c'est un "effort collectif" dont je suis essentiellement le scribe.)
Je pense que la relation de récurrence doit mener à un résultat que je comparerais à la suite référencée par Math Coss
En tout cas, merci beaucoup,
F.D.
alors j'arrive à $3018 = \sum_{i=1}^{100}(1+(-1)^{1+t_i})i$ et on veut compter le nombre de suites $t_i$.
Mais, sincèrement, si quelqu'un peut expliquer le $\frac{1}{2}$ qui apparaît partout, je ne comprends pas... Oui, la décrépitude intellectuelle est peut-être un signe de vieillesse mais plus ça va, plus je constate que je ne comprends rien aux maths.
Amicalement,
F.D.
Je n'ai pas du tout trouvé le lien entre ces 2 énoncés.
Il me semble, mais j'ai pu me tromper que si on doit partir du problème 2022, et qu'on veut le reformuler, on arrive au problème :
Trouver le coefficient de $x^{1514}$ dans $(1+x)(1+x^2)...(1+x^{100})$
Le $\dfrac{1}{2}$ vient du changement de variable final $x=t^2$, qui divise les degrés par $2$.
On aurait aussi pu tout diviser par $t^1t^2\cdots t^{100}$, et faire le changement de variable $x=t^{-2}$. Dans ce cas, ça revient à chercher le coefficient en $x^{1514}$ de $(1+x)(1+x^2)\ldots(1+x^{100})$.
(3536 = 1768 * 2 non?)
Merci encore, je vais essayer de comprendre tout ceci avant Azheimer!
Amicalement,
F.D.
alors je sais mon Alzheimer est de plus en plus présent MAIS le programme de Guego me renvoie un nombre non-nul pour le nombre de façons de trouver 5049 avec ces sommes signées alors que la réponse devrait être 0...
Bon, il va me falloir y passer un peu plus de temps!
Amicalement,
F.D.
En fait, j'assayais de calculer à l'avance le terme à recherche donc le degré 3536 par exemple. Sauf que, pour l'utiliser dans un programme python, j'ai fait des divisions euclidiennes DONC qui fonctionnent aussi avec un nombre impair...
Lorsque j'ai essayé de mettre un contrôle au départ... le programme n'a plus renvoyé QUE des 0.
Bref il y a encore une subtilité qui m'échappe (j'oserai dire comme d'hab) sur la partie Python.
Merci en tout cas, Guego, de toutes tes explications. J'ai (re?)découvert des maths passionnantes. Il me semble qu'une autre solution a été proposée sur le forum de l'APMEP Toulouse d'où vient le problème mais elle me semble moins efficace!
Très amicalement,
F.D.