Je pense connaitre la réponse, mais je l'enregistre quand-même.
Vos connaissez tous l'anneau borroméen (on retire un seul, quelconque, des trois cercles, et le tout devient "libre").
[large]Question 1130 :[/large]est-ce que pour tout entier $n$, il existe $n$ injections de $S^1$ dans l'espace (d'image directes 2 à 2 disjointes), telles que si on en retire une seule, quelle qu'elle soit, les autres sont totalement libérées?
(Je pense que oui, mais ça ne dispense pas de poser la question, d'autant qu'on n'en verra pas de preuves formelles, mais juste des liens vers des dessins célèbres que je ne connais pas encore j'imagine).
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Oui, ça existe, ça s'appelle entrelacs brunnien et ça date (au moins) de 1892, apprends-je avec délectation.
Le dessin avec six brins que je copie ci-dessous suggère qu'on doit pouvoir en construire un pour n'importe quel nombre de brins. On numérote les brins de $1$ à $n$, on dispose ceux de $1$ à $n-1$ comme des rectangles (bleu, vert, orange, rouge, rose) et avec le $n$-ième, partant de l'intérieur, on entoure $1$ dans un sens puis $2$ puis $1$ dans l'autre sens (noté $1^{-1}$), puis $3$, puis $1$, puis $2^{-1}$, puis $1^{-1}$, puis $3$, etc.
En fait, ce n'est pas la bonne façon de le dire. Il faudrait écrire une tresse comme un mot qui ressemble à un commutateur itéré, ce qu'on fait pour le tableau de la belle-mère ici ou là.
[large]Question1132[/large] dont la réponse est probablement célèbre et que je ne connais pas (ou ai oublié).
Il est facile de voir que la donnée d'un monoïde associatif et commutatif de présentation finie et commutatif et une égalité avec question "ces éléments sont-ils égaux?" est (au moins) un problème PSPACE-complet.
Qu'en est-il pour les GROUPES?
Qu'en est-il pour les SEMI-GROUPES réguliers?
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Les groupes abéliens de type fini sont bien connus, ils sont tous produits d'un $\mathbb Z^r$ et de groupes cycliques. Je n'ai pas le recul nécessaire pour répondre à ta question, mais je trouverais étonnant que le problème du mot soit difficile dans ce genre de groupes, la difficulté me semble être dans la manière d'établir explicitement l'isomorphisme entre le groupe donné et un tel produit.
Merci Poirot, je suis bien d'accord et du coup je ne sais pas si la difficulté se situe là où tu l'évoques ou dans la différence entre groupe et semi-groupe (enfin monoïde associatif et commutatif).
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
1133 : Je ne sais pas si on peut vraiment décrire toutes les parties A telles que bidule. Appelons P l'ensemble de ces parties A. On peut par exemple dire que tous les X différents de E qui possèdent une surjection continue vers [0,1[ sont dans P, ce qui fait déjà un paquet de monde. Mais les parties de E qui n'ont pas la puissance du continu ne sont pas dans E. (Je te laisse deviner pourquoi en procédant par évidences successives, n'est ce pas.)
Je fais dépendre tout de même la question d'un paramètre qui est un entier naturel $n\geq 4$, On se place dans l'espace euclidien $\R^n$ et on a une application $C^1$ allant de $S^1$ dans $\R^n$ qui s'appelle $f$ et elle est injective.
Existe-t-il forcément un plan affine $P\subset \R^n$ tel que
la projection $p$ affine orthogonale sur $P$ (donc parallèlement à $P^\perp$)
est telle que : :
$p\circ f$ est injective?
Pour information, on devrait être plusieurs à parier que non.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
On ne suppose pas l'axiome du choix. Pour tout corps $K$, je dis qu'il est clos quand tous les éléments de $\K[X]$ qui sont irréductibles ont comme degré 0 ou 1 ou 2.
L'axiome suivant est-il consistant avec ZF+AF+CD?
Pour toute partie $A$ de $\R$, il existe un partie borélienne $B$ de $\R$ et un corps clos $K$, sous-corps strict de $\R$, tel que:
La frontière de $W $ est $ W' $et union disjointe de deux arcs $ U' $ et $ V' $ (disons que $V$' contient ses extrémités et pas $U'$)avec $U'$ est inclus dans la frontière de $ U $ et $ V' $inclus dans la frontière de $V$
Question;
Existe t il $U $ et $ V$ comme précédemment tels que tout carré inscrit dans $U'\cup V'$ soit inscrit dans l'arc $V'$
Conséquence d'une réponse :
Si c'est oui, ça donne un très bon espoir de construire un contre-exemple fractal à la conjecture
[RAJOUTÉ EN EDIT : pour comprendre en quoi ça aiderait pour un contre exemple placons nous dans un cas particulier idéal (et sans doute inexistant) celui où $V'$ et$ U'$ sont homothetiques... et ajoutons l'hypothèse (en fait pas beaucoup plus forte...) que tout carre inscrit dans $U' \cup V' \cup X$ est inscrit dans $V' \cup X$ , où $ X$ est homothetique de $V $tel que U\V=W est homothetique de V\X. ( Notons que X est une surface et U' et V' des arcs.)
Dans ce cas il est facile de construire en iterant le processus, une courbe fractale contrexemplaire.
On peut imaginer d'autres constructions similaires avec des exigence beaucoup plus faible (que l'homothetie entre U' et V' entre autre) mais j'ai donné cet exemple simple pour qu'on saisisse l'idée]
Si c'est non, ça renseigne de façon très instructive et pertinente sur le problème, en particulier le lien avec la convexité!
Moralement, la conjecture semble vraie de mon point de vue. Mais c'est une bonne idée de chercher des contre-exemples.
Mon sentiment est qu'elle n'est non prouvée qu'à cause du fait que ce que j'appelle "les brouwereries" n'ont pas atteint leur maturité logiques. Il n'existe aucune preuve "logicienne" du théorème de Brouwer actuellement et j'ai toujours dit (enfin depuis 30ans) que le jour où on en aurait une, on ferait un grand pas.
J'ouvrira un fil pour des compléments. Sur ce même forum tu as un article de T.Tao, en anglais, qui date de 2016, qui a été envoyé par l'intervenant Bobbyjoe (je mettrai un lien à l'edit***) dont il y a peut-être "des nouveautés" à extraire.
1137: non parce que tout espace métrique $(E,d)$ possède une distance $d'$ équivalente (engendrant la même topologie) et bornée. Par exemple pour tous $x,y\in E$ on peut poser $d'(x,y):= \max \left (\frac 1 2 , d(x,y) \right )$.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Soit $E$ un $\mathbb Q$-ev de dim 2 inclus dans le plan et $V_0$ un ensemble denombrable compact de points tel que $V-E$ est $\mathbb Q$-libre
J1 et J2 sont deux joueurs qui jouent à tour de rôle $\omega_0$ coups. À chaque tour J1 donne un point $P$ qui n'est pas adhérent à $V$ et J2 ensuite donne 3 points distincts de $P$ tels que $P$ est sur le périmètre du triangle défini par ces trois points et tel que l'intérieur du triangle ne contient aucun points que J2 a joué précédemment ni aucun point de $V$. C'est ensuite au tour de J1 et ainsi de suite.
On note $U$ l'ensemble des points d'accumulations de l'ensemble de tous les points joués par J2 au bout de $\omega_0$ coups. J2 gagne si $(U\cup V )-E$ est libre.
Variante de 1141.
Soit $J$ compact connexe d'un espace euclidien et $f$ surjective continue de $J^2$ dans lui-même tel que $f\circ f(D)=D$,
avec $D=\left\{(x,x)\mid x\in J\right\}$.
Est-ce que $f(D)\cap D$ non vide ?
EDIT :en fait ça n'est pas très intéressant je crois, c'est sûrement non la réponse : on peut échanger continuement une diagonale d'un carré avec un segment disjoint de cette diagonale
Attention 1141 et 1142 ne sont pas référencées par ton lien qui amène sur la page topologie...
1142. Je crois que c'est vrai en dim3 mais il faut que je m'en assure... l'idée que chaque triplet définit un unique triangle (sans angle obtu) à isometrie près et je pense qu'on peut toujours diminuer strictement le plus grand angle lorsqu on fixe une droite et qu'on passe continuement de la troisième à la seconde. Pour être plus précis on fixe la droite qui a un nombre non extremal strict et on échange les deux autres droites continuement en gardant la droite fixée. Si ça ne marche pas on essaie "soit l'angle max diminue strictement soit le min augment strictement "(*)
Ça démontrera ce qu'on veut par compacité... j'essaie de démontrer (*) correctement
EDIT : je pense finalement que c'est possible de ne jamais passer par un triangle equilateral, on peut le faire pour passer d'un triangle ABC à CBA. Si toutes les permutations sont possibles, (à vérifier***) il est probable que le même type de chemin puisse être emprunté par les triangles par lesquels on passe ( pour transporter un triangle en son opposé sans passer par un équilatéral) , qui doivent aussi se transporter continuement en leur permutés
Edit^2 : *** c'est encore plus facile pour les autres "générateurs : qui correspond au cas où on fixe le plus grand (resp. Petit angle) je detail plus sur le lien
Pardon je croyais être dans le fil consacré (d'ailleurs je redis : ton lien ne donne pas les thread mais renvoie dans "topologie") je l'aurais bien fait pour toi ici ...:
En fait je crois que 1142 est trivialement oui en dim 3.
Car il me semble que $f(x)$ est constante pour tout $x$.
Quitte à remplacer $f$ par $g$ à valeur dans l'ensemble des triplets ordonnés de droites deux à deux orthogonales, et à poser la même question en imposant $g(y_{s(1)},y_{s(2)},y_{s(3)})$=$g(y_1,y_2,y_3)$ pour tout triplet de droite $y$ , et toute $s$ permutation d'ordre 2, on voit qu'avec un seul triplet $y_0 $ que $g(y_0)=(a,b,c)$doit vérifier $a=b=c$
Cela provient du fait que $(13)\circ (32)=(132)$ et $(32)\circ (13)=(231)$
Dans tout ce qui suit la norme et la distance que l'on met sur $\R^d$ sont euclidiennes pour tout $d\in \N$ ($\|x\|=\sqrt {\sum_{i=1}^d x_i^2}$ et $d(x,y)=\|x-y\|$ pour tous $x,y\in \R^d$).
Soient $d\in \N,x\in \R^d,(R,\varepsilon)\in [0,+\infty[^2$. La sphère de centre $x$, de rayon $R$ et d'épaisseur $\varepsilon $ est l'ensemble $S(x,R,\varepsilon):=\left \{ y\in \R^d \mid R \leq d(x,y) \leq R+\varepsilon\right \}$.
Une sphère d'épaisseur $0$ est en particulier une sphère au sens usuel.
Enfin, on note $\mu_d$ la mesure de Lebesgue sur $\R^d$ pour tout entier $d$.
[large]Question 1145[/large]
Vrai ou faux?
Il existe une suite $(\varepsilon_n)_{ n\in \N}$ de réels strictement positifs tendant vers $0$ quand $n\to +\infty$, et une suite $(S_n)_{n\in \N}$ telle que pour tout $n$, $S_n$ est une sphère d'épaisseur $\varepsilon_n$ dans $\R^n$, et $\mu_n \left ( S_n \cap [0,1]^n\right ) \underset{n\to +\infty} \longrightarrow 1$.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Merci Foys pour cette nouvelle question. Je pense qu'il suffit pour y répondre d'étudier les intersections entre les (comment dire "plaques"**) et ton hypercube. $[0,1]^n$
Une plaque est l'ensemble des points contenus entre deux hyperplan parallèles (et son épaisseur est ce qu'on imagine). Je pense qu'il y a équivalence entre ton énoncé et le même énoncé avec "plaques" à la place de "sphères épaisses"
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Quelques remarques sur l'exo: il a été rédigé hier un peu à l'arrache (c'est mal je sais) alors que je me remémorais des souvenirs de concentration de la mesure; j'avais un fort préjugé en faveur d'une des deux réponses possibles mais à vrai dire je ne sais plus trop.
La concentration de la mesure est un peu une approche alternative des probas: on essaie de comprendre géométriquement $\R^n$ quand $n$ est énorme, et le comportement de la mesure de Lebesgue sur lui (ou plus généralement $\Omega^n$ où $(\Omega,\mathcal A,P)$ est un espace mesuré).
La géométrie de $\R^d$ quand $d$ est très grand (des milliers, des millions, le nombre d'Avogadro, etc ) est très peu intuitive. Quelques exemples de phénomènes simples mais déroutants:
1°) Lorsque $a<b$, le diamètre de $[a,b]^n$ tend vers l'infini avec $n$ (puisqu'il vaut $\sqrt n (b-a)$).
2°) Le volume de la boule euclidienne inscrite dans $[a,b]^n$ tend vers $0$.
3°) En grande dimension, la masse des boules homogènes est majoritairement répartie au niveau de leur surface (ce qui m'avait inspiré l'exo).
Expliquons un peu 3°) en détail: on part de l'encadrement suivant, valable pour tout réel $x\geq 0$: $x - \frac{x^2}{2} \leq \log(1+x) \leq x$ (on écrit $1-x^2 = (1-x)(1+x)\leq 1 \leq 1+x$ puis on divise par $(1+x)$ et enfin on intègre).
On obtient alors pour tout $n\in \N$ et tout $t\geq 0$, $t-\frac{t^2}{n} \leq n\log \left ( 1+\frac t n\right) = \log \left ( \left ( 1+\frac t n \right )^n \right ) \leq t$ (poser $x:=\frac t n$ dans l'inégalité précédente).
Finalement, en exponentiant: $\exp (-t) \leq \left (1+\frac t n \right )^{-n} \leq \exp \left (- t +\frac {t^2} {2n} \right )$ et en particulier (quand $t=\sqrt n$), on a pour tout entier $n$, l'inégalité $$ \exp (-\sqrt n) \leq \left (1+\frac 1 {\sqrt n} \right )^{-n} \leq \exp \left (- \sqrt n +\frac 1 2 \right ) \tag{*}.
$$ - On note $\mu_n$ la mesure de Lebesgue dans $\R^n$.
Soit $A$ une partie convexe de $\R^n$ (une telle partie est toujours Lebesgue-mesurable: exo) telle que $0$ est dans $A$ (pour avoir l'inclusion $A\subseteq RA$ quand $R\geq1$). Alors pour tout $R>0$, $\mu_n(RA)=R^n \mu_n(A)$. Donc en particulier,
$$\mu_n (A) =\left (1+\frac 1 {\sqrt n} \right )^{-n} \mu_n \left ( \left (1+ \frac 1 {\sqrt n} \right )A \right ) \leq \exp\left (- \sqrt n + \frac 1 2 \right )\mu_n \left ( \left (1+ \frac 1 {\sqrt n} \right )A \right ). \tag{**}
$$ Par exemple, $\exp(-\sqrt{1000000}+0.5)\simeq \frac{1}{1.194\times 10^{434}}$. Ce nombre est supérieur à la proportion en volume occupée par une boule d'un mètre de rayon, dans une boule de rayon 1 mètre + 1 millimètre en dimension 1 million. Le reste est contenu dans la peau !!!
Comment résoudre l'exo cependant ? En effet le point 2°) ci-dessus rentre en conflit avec le point 3°).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Ça me rappelle vaguement des trucs de physique statistique avec des espaces de très grande dimension et ça donne des arguments pour faire des approximations pour donner des formules gérables - c'était en 1ère année d'ingé - j'avais lu que les trucs derrière étaient cotons mais on voyait pas en détail, probablement moins que les physiciens.
Je pense que la réponse à 1146 est non, avec une matrice diagonale bien choisie.
[large]Question 1148[/large]
Soit $n>1$ un entier et $f$ une application continue qui à chaque $x\in \R^n$ associe $f(x)$ un vecteur $\in \R^n$ de norme euclidienne 1. Est-ce que pour tout $a\in R^n$, il existe une application $g$ de $\R$ dans $\R^n$ telle que $g(0) =a$ et $\forall x\in \R: g'(x) = f(g(x))$ avec en plus la propriété que $||g(x)||\to +\infty$ quand $x\to \pm\infty$ ?
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
1148 L'existence d'applications $g$ qui vérifient tout sauf peut-être la condition disant que $\|g \|$ tend vers l'infini en l'infini est vraie à l'aide de combinaisons des théorèmes d'Ascoli et de Cauchy-Peano.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Peut-être, pour la question 1148, on peut la modifier en: est-ce qu'il existe $n$ un entier $>0$, et $f$ un champ de vecteurs de norme $1$, continu sur $\R^n$, et tel que pour tout $a \in \R^n$, et pour toute fonction dérivable $x$ de $\R$ dans $\R^n$ telle que $x(0)=a$ et $x'(t)=f(x(t))$, $x$ est bornée sur $\R$ ?
1150: déterminer toutes les fonctions $f$ de $\{0,1\}^2$ dans $\{0,1\}$ non constantes et telles que pour tous $x,y,z\in \{0,1\}$, $f \left(f(x,y) \times f(y,z), f(x,z) \right) = 1$.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
@Foys : Sur cette histoire de concentration de la mesure, tu parles d'une approche alternative aux probas.
1) Tu veux dire que par exemple, les lois des grands nombres sont des avatars de ce phénomène ? Ca va beaucoup plus loin ? En quoi c'est "alternatif" ?
2) Une fois, tu as dit que les probabilistes n'aiment pas qu'on leur rappelle que ce n'est que de la théorie de la mesure déguisée. Je suis d'accord, mais je peine à me faire une idée sociologique de la chose. Parfois, pour rire, je me dis que les probas sont une religion qui a ses croyants. Tu as un avis ?
Enfin, est-ce que tu sais s'il y a une approche "graphe" pour la concentration de la mesure ? Par exemple, des propriétés combinatoires qu'un graphe aurait qui le feraient exhiber des phénomènes similaires à ce que tu décris ? J'ai pas encore trop regardé sur Internet.
De mon téléphone : je crois que j'ai oublié l'autre jour de rappeler ou signaler que les hypercubes ont aussi leur volume concentré en surface en grande dimension, ce n'est pas "tant" surprenant.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
Vos connaissez tous l'anneau borroméen (on retire un seul, quelconque, des trois cercles, et le tout devient "libre").
[large]Question 1130 :[/large] est-ce que pour tout entier $n$, il existe $n$ injections de $S^1$ dans l'espace (d'image directes 2 à 2 disjointes), telles que si on en retire une seule, quelle qu'elle soit, les autres sont totalement libérées?
(Je pense que oui, mais ça ne dispense pas de poser la question, d'autant qu'on n'en verra pas de preuves formelles, mais juste des liens vers des dessins célèbres que je ne connais pas encore j'imagine).
Le dessin avec six brins que je copie ci-dessous suggère qu'on doit pouvoir en construire un pour n'importe quel nombre de brins. On numérote les brins de $1$ à $n$, on dispose ceux de $1$ à $n-1$ comme des rectangles (bleu, vert, orange, rouge, rose) et avec le $n$-ième, partant de l'intérieur, on entoure $1$ dans un sens puis $2$ puis $1$ dans l'autre sens (noté $1^{-1}$), puis $3$, puis $1$, puis $2^{-1}$, puis $1^{-1}$, puis $3$, etc.
En fait, ce n'est pas la bonne façon de le dire. Il faudrait écrire une tresse comme un mot qui ressemble à un commutateur itéré, ce qu'on fait pour le tableau de la belle-mère ici ou là.
Il est facile de voir que la donnée d'un monoïde associatif et commutatif de présentation finie et commutatif et une égalité avec question "ces éléments sont-ils égaux?" est (au moins) un problème PSPACE-complet.
Qu'en est-il pour les GROUPES?
Qu'en est-il pour les SEMI-GROUPES réguliers?
Soit $n$ un entier naturel, et on suppose $E:=\R^n$ doté de sa topologie usuelle.
Pour toute partie $X$ de $E$, je note $T(X)$ l'ensemble des composantes connexes de $E\setminus X$.
Pour quelles parties $A$ de $E$ a-t-on l'existence d'une application (édit : INJECTIVE) continue $f: A\to E$ telle que:
il n'y a pas d'injections de $T(A)$ dans $T( f[ A ] )$?
[size=x-small]sachant que pour tout $x,y$, $<<x[y]>>$ abrège ici $<<\{t\in E\mid \exists w\in y: x(y)=t\}>>$[/size]
Je fais un édit.
j'extrais une version formelle d'une question que j'ai posée ailleurs sous des formes plus générales, mais hélas vagues.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2194168,2194620#msg-2194620
Je fais dépendre tout de même la question d'un paramètre qui est un entier naturel $n\geq 4$, On se place dans l'espace euclidien $\R^n$ et on a une application $C^1$ allant de $S^1$ dans $\R^n$ qui s'appelle $f$ et elle est injective.
Existe-t-il forcément un plan affine $P\subset \R^n$ tel que
la projection $p$ affine orthogonale sur $P$ (donc parallèlement à $P^\perp$)
est telle que : :
$p\circ f$ est injective?
Pour information, on devrait être plusieurs à parier que non.
Je note $A$ l'ensemble des frontières d'ouverts non vides simplement connexes bornés de $\R^2$
Je note $B$ l'ensemble des frontières d'ouverts non vides connexes bornés de $\R^2$
Je note $Y$ l'ensemble des images directes d'applications continues et injectives de $S^1$ dans $\R^2$.
Soit $\forall X$, l'énoncé $\phi(X):=$ il existe un carré de côté non nul ayant chacun de ses sommets dans $X$.
En dehors des implications évidentes, y en a-t-il d'autres qui sont actuellement connues ou faciles et résolubles dans le présent fil?
Comme beaucoup le savent $\phi(Y)$ est un problème ouvert, mais à un chouya près presque résolu.
On ne suppose pas l'axiome du choix. Pour tout corps $K$, je dis qu'il est clos quand tous les éléments de $\K[X]$ qui sont irréductibles ont comme degré 0 ou 1 ou 2.
L'axiome suivant est-il consistant avec ZF+AF+CD?
Pour toute partie $A$ de $\R$, il existe un partie borélienne $B$ de $\R$ et un corps clos $K$, sous-corps strict de $\R$, tel que:
$$ \forall x\in \R \setminus K : (x\in A\iff x\in
Soit U et V deux convexes du plan. Et W=U\V
La frontière de $W $ est $ W' $et union disjointe de deux arcs $ U' $ et $ V' $ (disons que $V$' contient ses extrémités et pas $U'$)avec $U'$ est inclus dans la frontière de $ U $ et $ V' $inclus dans la frontière de $V$
Question;
Existe t il $U $ et $ V$ comme précédemment tels que tout carré inscrit dans $U'\cup V'$ soit inscrit dans l'arc $V'$
Conséquence d'une réponse :
Si c'est oui, ça donne un très bon espoir de construire un contre-exemple fractal à la conjecture
[RAJOUTÉ EN EDIT : pour comprendre en quoi ça aiderait pour un contre exemple placons nous dans un cas particulier idéal (et sans doute inexistant) celui où $V'$ et$ U'$ sont homothetiques... et ajoutons l'hypothèse (en fait pas beaucoup plus forte...) que tout carre inscrit dans $U' \cup V' \cup X$ est inscrit dans $V' \cup X$ , où $ X$ est homothetique de $V $tel que U\V=W est homothetique de V\X. ( Notons que X est une surface et U' et V' des arcs.)
Dans ce cas il est facile de construire en iterant le processus, une courbe fractale contrexemplaire.
On peut imaginer d'autres constructions similaires avec des exigence beaucoup plus faible (que l'homothetie entre U' et V' entre autre) mais j'ai donné cet exemple simple pour qu'on saisisse l'idée]
Si c'est non, ça renseigne de façon très instructive et pertinente sur le problème, en particulier le lien avec la convexité!
Mon sentiment est qu'elle n'est non prouvée qu'à cause du fait que ce que j'appelle "les brouwereries" n'ont pas atteint leur maturité logiques. Il n'existe aucune preuve "logicienne" du théorème de Brouwer actuellement et j'ai toujours dit (enfin depuis 30ans) que le jour où on en aurait une, on ferait un grand pas.
J'ouvrira un fil pour des compléments. Sur ce même forum tu as un article de T.Tao, en anglais, qui date de 2016, qui a été envoyé par l'intervenant Bobbyjoe (je mettrai un lien à l'edit***) dont il y a peut-être "des nouveautés" à extraire.
*** http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2196346,2198356#msg-2198356
Soit $E$ un $\mathbb Q$-ev de dim 2 inclus dans le plan et $V_0$ un ensemble denombrable compact de points tel que $V-E$ est $\mathbb Q$-libre
J1 et J2 sont deux joueurs qui jouent à tour de rôle $\omega_0$ coups. À chaque tour J1 donne un point $P$ qui n'est pas adhérent à $V$ et J2 ensuite donne 3 points distincts de $P$ tels que $P$ est sur le périmètre du triangle défini par ces trois points et tel que l'intérieur du triangle ne contient aucun points que J2 a joué précédemment ni aucun point de $V$. C'est ensuite au tour de J1 et ainsi de suite.
On note $U$ l'ensemble des points d'accumulations de l'ensemble de tous les points joués par J2 au bout de $\omega_0$ coups. J2 gagne si $(U\cup V )-E$ est libre.
J2 a-t-il une stratégie gagnante ?
La 1142 est en début de fil
Soit $J$ compact connexe d'un espace euclidien et $f$ surjective continue de $J^2$ dans lui-même tel que $f\circ f(D)=D$,
avec $D=\left\{(x,x)\mid x\in J\right\}$.
Est-ce que $f(D)\cap D$ non vide ?
EDIT :en fait ça n'est pas très intéressant je crois, c'est sûrement non la réponse : on peut échanger continuement une diagonale d'un carré avec un segment disjoint de cette diagonale
1142. Je crois que c'est vrai en dim3 mais il faut que je m'en assure... l'idée que chaque triplet définit un unique triangle (sans angle obtu) à isometrie près et je pense qu'on peut toujours diminuer strictement le plus grand angle lorsqu on fixe une droite et qu'on passe continuement de la troisième à la seconde. Pour être plus précis on fixe la droite qui a un nombre non extremal strict et on échange les deux autres droites continuement en gardant la droite fixée. Si ça ne marche pas on essaie "soit l'angle max diminue strictement soit le min augment strictement "(*)
Ça démontrera ce qu'on veut par compacité... j'essaie de démontrer (*) correctement
EDIT : je pense finalement que c'est possible de ne jamais passer par un triangle equilateral, on peut le faire pour passer d'un triangle ABC à CBA. Si toutes les permutations sont possibles, (à vérifier***) il est probable que le même type de chemin puisse être emprunté par les triangles par lesquels on passe ( pour transporter un triangle en son opposé sans passer par un équilatéral) , qui doivent aussi se transporter continuement en leur permutés
Edit^2 : *** c'est encore plus facile pour les autres "générateurs : qui correspond au cas où on fixe le plus grand (resp. Petit angle) je detail plus sur le lien
Questions 1141 et 1142 :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2209938,2209938#msg-2209938
...mais je ne sais pas comment on fait pour mettre une phrase à la place du lien
Car il me semble que $f(x)$ est constante pour tout $x$.
Quitte à remplacer $f$ par $g$ à valeur dans l'ensemble des triplets ordonnés de droites deux à deux orthogonales, et à poser la même question en imposant $g(y_{s(1)},y_{s(2)},y_{s(3)})$=$g(y_1,y_2,y_3)$ pour tout triplet de droite $y$ , et toute $s$ permutation d'ordre 2, on voit qu'avec un seul triplet $y_0 $ que $g(y_0)=(a,b,c)$doit vérifier $a=b=c$
Cela provient du fait que $(13)\circ (32)=(132)$ et $(32)\circ (13)=(231)$
Donc $(c,a,b)=(b,c,a)$
[large]
Soient $d\in \N,x\in \R^d,(R,\varepsilon)\in [0,+\infty[^2$. La sphère de centre $x$, de rayon $R$ et d'épaisseur $\varepsilon $ est l'ensemble $S(x,R,\varepsilon):=\left \{ y\in \R^d \mid R \leq d(x,y) \leq R+\varepsilon\right \}$.
Une sphère d'épaisseur $0$ est en particulier une sphère au sens usuel.
Enfin, on note $\mu_d$ la mesure de Lebesgue sur $\R^d$ pour tout entier $d$.
[large]Question 1145[/large]
Vrai ou faux?
Il existe une suite $(\varepsilon_n)_{ n\in \N}$ de réels strictement positifs tendant vers $0$ quand $n\to +\infty$, et une suite $(S_n)_{n\in \N}$ telle que pour tout $n$, $S_n$ est une sphère d'épaisseur $\varepsilon_n$ dans $\R^n$, et $\mu_n \left ( S_n \cap [0,1]^n\right ) \underset{n\to +\infty} \longrightarrow 1$.
Une plaque est l'ensemble des points contenus entre deux hyperplan parallèles (et son épaisseur est ce qu'on imagine). Je pense qu'il y a équivalence entre ton énoncé et le même énoncé avec "plaques" à la place de "sphères épaisses"
La concentration de la mesure est un peu une approche alternative des probas: on essaie de comprendre géométriquement $\R^n$ quand $n$ est énorme, et le comportement de la mesure de Lebesgue sur lui (ou plus généralement $\Omega^n$ où $(\Omega,\mathcal A,P)$ est un espace mesuré).
La géométrie de $\R^d$ quand $d$ est très grand (des milliers, des millions, le nombre d'Avogadro, etc ) est très peu intuitive. Quelques exemples de phénomènes simples mais déroutants:
1°) Lorsque $a<b$, le diamètre de $[a,b]^n$ tend vers l'infini avec $n$ (puisqu'il vaut $\sqrt n (b-a)$).
2°) Le volume de la boule euclidienne inscrite dans $[a,b]^n$ tend vers $0$.
3°) En grande dimension, la masse des boules homogènes est majoritairement répartie au niveau de leur surface (ce qui m'avait inspiré l'exo).
Expliquons un peu 3°) en détail: on part de l'encadrement suivant, valable pour tout réel $x\geq 0$: $x - \frac{x^2}{2} \leq \log(1+x) \leq x$ (on écrit $1-x^2 = (1-x)(1+x)\leq 1 \leq 1+x$ puis on divise par $(1+x)$ et enfin on intègre).
On obtient alors pour tout $n\in \N$ et tout $t\geq 0$, $t-\frac{t^2}{n} \leq n\log \left ( 1+\frac t n\right) = \log \left ( \left ( 1+\frac t n \right )^n \right ) \leq t$ (poser $x:=\frac t n$ dans l'inégalité précédente).
Finalement, en exponentiant: $\exp (-t) \leq \left (1+\frac t n \right )^{-n} \leq \exp \left (- t +\frac {t^2} {2n} \right )$ et en particulier (quand $t=\sqrt n$), on a pour tout entier $n$, l'inégalité $$ \exp (-\sqrt n) \leq \left (1+\frac 1 {\sqrt n} \right )^{-n} \leq \exp \left (- \sqrt n +\frac 1 2 \right ) \tag{*}.
$$ - On note $\mu_n$ la mesure de Lebesgue dans $\R^n$.
Soit $A$ une partie convexe de $\R^n$ (une telle partie est toujours Lebesgue-mesurable: exo) telle que $0$ est dans $A$ (pour avoir l'inclusion $A\subseteq RA$ quand $R\geq1$). Alors pour tout $R>0$, $\mu_n(RA)=R^n \mu_n(A)$. Donc en particulier,
$$\mu_n (A) =\left (1+\frac 1 {\sqrt n} \right )^{-n} \mu_n \left ( \left (1+ \frac 1 {\sqrt n} \right )A \right ) \leq \exp\left (- \sqrt n + \frac 1 2 \right )\mu_n \left ( \left (1+ \frac 1 {\sqrt n} \right )A \right ). \tag{**}
$$ Par exemple, $\exp(-\sqrt{1000000}+0.5)\simeq \frac{1}{1.194\times 10^{434}}$. Ce nombre est supérieur à la proportion en volume occupée par une boule d'un mètre de rayon, dans une boule de rayon 1 mètre + 1 millimètre en dimension 1 million. Le reste est contenu dans la peau !!!
Comment résoudre l'exo cependant ? En effet le point 2°) ci-dessus rentre en conflit avec le point 3°).
[large]Question 1147[/large]
Soit $K$ un corps, $n>1$ un entier et $A\in M_n(K)$. Soit $P\in K[X]$, de degré $n$ tel que $P^n(A)=0$.
A-t-on forcément $P(A)=0$?
Et merci, sniiiiif
[large]Question 1148[/large]
Soit $n>1$ un entier et $f$ une application continue qui à chaque $x\in \R^n$ associe $f(x)$ un vecteur $\in \R^n$ de norme euclidienne 1. Est-ce que pour tout $a\in R^n$, il existe une application $g$ de $\R$ dans $\R^n$ telle que $g(0) =a$ et $\forall x\in \R: g'(x) = f(g(x))$ avec en plus la propriété que $||g(x)||\to +\infty$ quand $x\to \pm\infty$ ?
1150: déterminer toutes les fonctions $f$ de $\{0,1\}^2$ dans $\{0,1\}$ non constantes et telles que pour tous $x,y,z\in \{0,1\}$, $f \left(f(x,y) \times f(y,z), f(x,z) \right) = 1$.
La réponse sera probablement "non", mais je la formule dans un sens positif plus court.
Soient $E,F$ des espaces compacts et $f,g$ deux applications continues de $E\to F$ telles que pour tous $x,y$ dans $E:$
$$ (f(x),g(x)) \neq (g(y),f(y)) $$
A-t-on forcément l'existence de $s: F\to \R$ telle que $\forall x\in E: s(f(x)) \neq s(g(x))$?
1) Tu veux dire que par exemple, les lois des grands nombres sont des avatars de ce phénomène ? Ca va beaucoup plus loin ? En quoi c'est "alternatif" ?
2) Une fois, tu as dit que les probabilistes n'aiment pas qu'on leur rappelle que ce n'est que de la théorie de la mesure déguisée. Je suis d'accord, mais je peine à me faire une idée sociologique de la chose. Parfois, pour rire, je me dis que les probas sont une religion qui a ses croyants. Tu as un avis ?
Enfin, est-ce que tu sais s'il y a une approche "graphe" pour la concentration de la mesure ? Par exemple, des propriétés combinatoires qu'un graphe aurait qui le feraient exhiber des phénomènes similaires à ce que tu décris ? J'ai pas encore trop regardé sur Internet.
je répondrai en détail plus tard mais pour les graphes et autres problèmes concrets spécifiques tu peux regarder l'inégalité de McDiarmid.
https://people.eecs.berkeley.edu/~bartlett/courses/281b-sp08/13.pdf