Loi de 2 variables définies à partir de 3ème
Bonjour
$Z$ suit une loi uniforme sur $]0;2\pi[$. On définit les variable aléatoires $X=\cos(Z)$ et $Y=\sin(Z)$
1) Déterminer les lois de $X$ et de $Y$.
Sur $]0;2\pi[$, $\cos$ et $\sin$ ne font pas de bijection. Est-ce qu'il faut que je fasse du cas par cas ?
2) Le couple $(X;Y)$ admet-il une densité sur $ \mathbb{R}^2$ ?
Je pense qu'il faut déjà la réponse à la question 1) mais je ne vois pas comment faire.
$Z$ suit une loi uniforme sur $]0;2\pi[$. On définit les variable aléatoires $X=\cos(Z)$ et $Y=\sin(Z)$
1) Déterminer les lois de $X$ et de $Y$.
Sur $]0;2\pi[$, $\cos$ et $\sin$ ne font pas de bijection. Est-ce qu'il faut que je fasse du cas par cas ?
2) Le couple $(X;Y)$ admet-il une densité sur $ \mathbb{R}^2$ ?
Je pense qu'il faut déjà la réponse à la question 1) mais je ne vois pas comment faire.
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Réponses
en prenant $-1 \leq a < b \leq 1$, après intégration, je trouve
$\mathbb P(X \in [a, b])= \frac {1}{\pi} (\arccos(a)- \arccos(b))$
et
$\mathbb P(Y \in [a, b])= \frac {1}{\pi} (\arcsin(b)- \arcsin(a))$
comment voir si le couple $(X;Y)$ admet une densité sur $ \mathbb{R}^2$ ?
La probabilité que le couple $(X,Y)$ tombe sur le cercle est de 100%.
Comme le cercle est de mesure nulle, il n'y a pas de densité pour le couple.
De quelle règle propriété est-ce tiré?
merci
Cela signifie que la probabilité qu'un couple à densité tombe dans un ensemble de mesure nulle donne toujours 0.
Sinon on dit que le cercle est l'intersection des anneaux $\{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid 1-\varepsilon \leq x^2+y^2 \leq 1+\varepsilon\}$ pour lesquelles on sait calculer facilement la mesure de Lebesgue.
Par exemple :
$\int_{cercle} f_{X,Y}=F(2 \pi)- F(0)=0$
il ne s'agit pas d'une intégrale curviligne, mais d'une intégrale double :
$\iint_{cercle} f_{X,Y}= ?$
Cordialement.
$\iint_{cercle} f_{X,Y}= 0$ car les bornes de chaque intégrale sont les mêmes?
Une intégrale sur une partie de mesure nulle est nulle (j'ai rappelé pourquoi), on ne peut pas faire plus simple.
Tu continues à vouloir calculer autre chose que l'intégrale double. Que tu peux calculer par la méthode habituelle, intégrale d'une intégrale. Mais ça donne 0 dans n'importe quel cas (c'est ce que justifient directement Saturne et Poirot), le calcul étant de la forme :
$\iint_{cercle} f_{X,Y}= \int_{[-1,1]} \left( \int_{A} g(x,y) \ dx\right)\ dy$
Où A est l'ensemble des valeurs de X pour Y fixé. Et A est ....
Cordialement
Je pense que math65 parle plutôt de l'intégrale curviligne d'une fonction selon le lacet, et pas vraiment de l'intégrale d'une 1-forme différentielle.
Comme quand on définit la longueur d'un arc $L(C) = \int |\dot\gamma(t)| dt$ pour toute paramétrisation $\gamma$ de $C$.
$A$ est un ensemble ne contenant qu'une unique valeur?
L'intégrale de la forme différentielle $z\mapsto \frac{dz}{z}$ sur le cercle unité vaut $2i\pi$.
avec $A$ qui contient deux valeurs (merci Marsup). Mais $A$ est un ensemble de valeurs discrètes. c'est ce qui explique que $\int_{A} g(x,y) dx=0$?
et c'est ce qui se généralise avec l'intégrale de Lebesgue en "l'intégrale sur une partie de mesure nulle est nulle".