Variables aléatoires décomposables
Bonjour,
on me demande de démontrer que si $n$ est un entier naturel premier supérieur ou égal à $3$ et si $Z$ est une variable uniforme sur $0,n-1$ alors $Z$ n'est pas décomposable (ie il n'existe pas $X$ et $Y$ var indépendantes telle que $Z$ et $X+Y$ ont même loi).
Je propose cette démonstration. est-elle valide ?
Par l'absurde, si $Z$ est décomposable alors il existe deux variables aléatoires $X$ et $Y$ telles que :
$$\forall t\in \R,\qquad G_Z(t) =G_X(t)G_Y(t) = \dfrac1n (1+t+\cdots+t^{n-1}).
$$ Les racines de $G_Z$ sont les racines $n$-ième de l'unité autre que 1. Les racines de $G_X$ et $G_Y$ sont parmi les racines $n$-ième de l'unité et sont simples.
Si $\omega$ est racines de $G_X$ (ou $G_Y$), il en est de même de $\overline{\omega}$ donc le degré de $G_X$ (et de $G_Y$) est pair ce qui donne $n$ pair et contredit $n$ premier (car $n\ge 3$).
Merci pour vos réponses.
bestM.
on me demande de démontrer que si $n$ est un entier naturel premier supérieur ou égal à $3$ et si $Z$ est une variable uniforme sur $0,n-1$ alors $Z$ n'est pas décomposable (ie il n'existe pas $X$ et $Y$ var indépendantes telle que $Z$ et $X+Y$ ont même loi).
Je propose cette démonstration. est-elle valide ?
Par l'absurde, si $Z$ est décomposable alors il existe deux variables aléatoires $X$ et $Y$ telles que :
$$\forall t\in \R,\qquad G_Z(t) =G_X(t)G_Y(t) = \dfrac1n (1+t+\cdots+t^{n-1}).
$$ Les racines de $G_Z$ sont les racines $n$-ième de l'unité autre que 1. Les racines de $G_X$ et $G_Y$ sont parmi les racines $n$-ième de l'unité et sont simples.
Si $\omega$ est racines de $G_X$ (ou $G_Y$), il en est de même de $\overline{\omega}$ donc le degré de $G_X$ (et de $G_Y$) est pair ce qui donne $n$ pair et contredit $n$ premier (car $n\ge 3$).
Merci pour vos réponses.
bestM.
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Réponses
J'ai vu l'erreur : n-1 est pair .
Merci
bestM
On dit que $\mathrm{Z}$ est décomposable s'il existe deux variables aléatoires indépendantes $\mathrm X$ et $\mathrm Y$ non nulles à valeurs dans $\mathbf{N}$ non presque sûrement constante, telles que $\mathrm{X}+\mathrm{Y}$ ait la même loi que $\mathrm{Z}$.