Loi de 2 variables définies à partir de 3ème
Bonjour
$Z$ suit une loi uniforme sur $]0;2\pi[$. On définit les variable aléatoires $X=\cos(Z)$ et $Y=\sin(Z)$
1) Déterminer les lois de $X$ et de $Y$.
Sur $]0;2\pi[$, $\cos$ et $\sin$ ne font pas de bijection. Est-ce qu'il faut que je fasse du cas par cas ?
2) Le couple $(X;Y)$ admet-il une densité sur $ \mathbb{R}^2$ ?
Je pense qu'il faut déjà la réponse à la question 1) mais je ne vois pas comment faire.
$Z$ suit une loi uniforme sur $]0;2\pi[$. On définit les variable aléatoires $X=\cos(Z)$ et $Y=\sin(Z)$
1) Déterminer les lois de $X$ et de $Y$.
Sur $]0;2\pi[$, $\cos$ et $\sin$ ne font pas de bijection. Est-ce qu'il faut que je fasse du cas par cas ?
2) Le couple $(X;Y)$ admet-il une densité sur $ \mathbb{R}^2$ ?
Je pense qu'il faut déjà la réponse à la question 1) mais je ne vois pas comment faire.
Réponses
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Il s'agit de prendre $-1 \leq a < b \leq 1$ et de calculer $\mathbb P(X \in [a, b])$ et $\mathbb P(Y \in [a, b])$, donc du calcul d'intégrale !
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OK,
en prenant $-1 \leq a < b \leq 1$, après intégration, je trouve
$\mathbb P(X \in [a, b])= \frac {1}{\pi} (\arccos(a)- \arccos(b))$
et
$\mathbb P(Y \in [a, b])= \frac {1}{\pi} (\arcsin(b)- \arcsin(a))$
comment voir si le couple $(X;Y)$ admet une densité sur $ \mathbb{R}^2$ ? -
Bonsoir,
La probabilité que le couple $(X,Y)$ tombe sur le cercle est de 100%.
Comme le cercle est de mesure nulle, il n'y a pas de densité pour le couple. -
Si une variable (ici un couple) est à densité, elle ne charge pas d'ensemble de mesure nulle.
Cela signifie que la probabilité qu'un couple à densité tombe dans un ensemble de mesure nulle donne toujours 0. -
En clair, il faut que je montre que si $f_{(X,Y)}$ existe alors $\iint f_{(X,Y)} dxdy=0$, donc impossible car cela doit être égal à $1$ ?
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S'il y a une densité du couple alors la probabilité que le couple appartienne au cercle est égale à l'intégrale de cette densité sur le cercle. Or une telle intégrale est égale à 0. Mes compétences sur l'intégrale de Lebesgue sont lointaines et je ne sais plus comment justifier proprement ce dernier point.
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C'est un fait général que l'on peut justifier en disant que le cercle est une sous-variété de dimension $1$ dans un espace de dimension $2$.
Sinon on dit que le cercle est l'intersection des anneaux $\{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid 1-\varepsilon \leq x^2+y^2 \leq 1+\varepsilon\}$ pour lesquelles on sait calculer facilement la mesure de Lebesgue. -
Oui, mais je ne vois plus comment on justifie proprement que $\mu(A) = 0$ $\implies$ $\int_A f d\mu = 0$. C'est de ce point dont je parlais.
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Ah oui $f \chi_A = 0$ presque partout.
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Oui, tout simplement.
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N'y aurait-il pas une méthode plus calculatoire ?
Par exemple :
$\int_{cercle} f_{X,Y}=F(2 \pi)- F(0)=0$ -
Que serait $F$ ?
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Attention, math65,
il ne s'agit pas d'une intégrale curviligne, mais d'une intégrale double :
$\iint_{cercle} f_{X,Y}= ?$
Cordialement. -
Ne pourrait on pas simplement dire que
$\iint_{cercle} f_{X,Y}= 0$ car les bornes de chaque intégrale sont les mêmes? -
Pourquoi ces délires ? :-)
Une intégrale sur une partie de mesure nulle est nulle (j'ai rappelé pourquoi), on ne peut pas faire plus simple. -
Quelles bornes ? Quelles intégrales ?
Tu continues à vouloir calculer autre chose que l'intégrale double. Que tu peux calculer par la méthode habituelle, intégrale d'une intégrale. Mais ça donne 0 dans n'importe quel cas (c'est ce que justifient directement Saturne et Poirot), le calcul étant de la forme :
$\iint_{cercle} f_{X,Y}= \int_{[-1,1]} \left( \int_{A} g(x,y) \ dx\right)\ dy$
Où A est l'ensemble des valeurs de X pour Y fixé. Et A est ....
Cordialement -
Et peut-être pour te convaincre que l'intégrale d'une fonction continue sur un courbe fermée ne fait pas forcément zéro : $$\int_{\mathcal C} \frac{\mathrm{d}z}{z} = 2i\pi,$$ où $\mathcal C$ est le cercle unité.
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J'ai peur que ta remarque soit un peu confusante, Poirot.
Je pense que math65 parle plutôt de l'intégrale curviligne d'une fonction selon le lacet, et pas vraiment de l'intégrale d'une 1-forme différentielle.
Comme quand on définit la longueur d'un arc $L(C) = \int |\dot\gamma(t)| dt$ pour toute paramétrisation $\gamma$ de $C$. -
Je ne pense pas les intégrales complexes en terme de $1$-formes mais bien en terme d'intégrales curvilignes...
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L'intégrale curviligne de la fonction complexe $z\mapsto \frac{1}{z}$ sur le cercle unité vaut 0.
L'intégrale de la forme différentielle $z\mapsto \frac{dz}{z}$ sur le cercle unité vaut $2i\pi$. -
Non, $Y = \pm\sqrt{1-X^2}$, ça fait deux valeurs, la plupart du temps.
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$\iint_{cercle} f_{X,Y}= \int_{[-1,1]} \left( \int_{A} g(x,y) \ dx\right)\ dy$
avec $A$ qui contient deux valeurs (merci Marsup). Mais $A$ est un ensemble de valeurs discrètes. c'est ce qui explique que $\int_{A} g(x,y) dx=0$? -
Oui,
et c'est ce qui se généralise avec l'intégrale de Lebesgue en "l'intégrale sur une partie de mesure nulle est nulle".
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Bonjour!
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