Fonction de répartition jointe

math65 · April 2021

Bonjour,
j'ai une fonction de répartition jointe F(X;Y).
On me définit une fonction F(M) telle que F(M)(s)=F(X,Y)(s,s).
On me demande de démontrer que F(M) a toutes les caractéristiques d'une fonction de répartition et on me demande d'exprimer M en fonction de X et Y;
Enfin, on me demande de montrer que F(M) ne caractérise pas la loi du couple (X;Y).

Merci pour votre aide.

Saturne · April 2021

Bonjour,

Un peu bizarre comme énoncé, je trouve.

Saurais-tu dire pour quelle v.a. $M$ on a : $X \leq s \text{ et } Y \leq s$ $\iff$ $M \leq s$.

math65 · April 2021

On doit avoir M=X=Y, je suppose.

Comment montrer que F(M) a toutes les caractéristiques d'une fonction de répartition que je pense être croissante, continue à droite et limitée à gauche et converge vers 0 en moins l'infini et en 1 en plus l'infini?

merci

P. · April 2021

$M=\max(X,Y).$

math65 · April 2021

ok merci.

Comment montrer que F(M) a toutes les caractéristiques d'une fonction de répartition que je pense être croissante, continue à droite et limitée à gauche et converge vers 0 en moins l'infini et en 1 en plus l'infini?

merci

Poirot · April 2021

Tu as fait le plus dur, tu as donné la caractérisation d'une fonction de répartition. Tu peux montrer chaque point à la main, à toi de jouer !

math65 · April 2021

OK, Pour montrer que F(M) est croissante :

$\dfrac{\partial F(M)}{\partial s}=\int_{-\infty}^{s} f(X;Y) dx$

or $\int_{-\infty}^{s} f(X;Y) dx > 0$

ainsi F(M) est croissante.

juste?

gerard0 · April 2021

Bonjour.

Je n'ai pas l'impression que tu as utilisé la définition de $F(M)$. D'ailleurs ta notation $\dfrac{\partial F(M)}{\partial s}$ est bizarre, $F(M)$ étant une fonction à une seule variable. Et l'égalité aussi : Tu intègres pour dériver ?

Il y a d'ailleurs un problème de notation, il vaudrait mieux noter $F_{(X,Y)}$ la fonction de répartition conjointe de $(X,Y)$, et $F_M$ celle de $M$ définie par $F_M(s) =F_{(X,Y)}(s,s)$.
Enfin, les propriétés des fonctions de répartition permettent de trouver le sens de variation de $F_M$ sans dériver.

Cordialement.

math65 · April 2021

je faisais cela car :

$F_M(s) =F_{(X,Y)}(s,s)=\int_{-\infty}^{s}\int_{-\infty}^{s} f_{(X;Y)} dxdy$

Donc en théorie :
$\dfrac{\partial F_M(s)}{\partial s}=\int_{-\infty}^{s} f_{(X;Y)} dx$

En passant par les propriétés, est-ce qu'il y a quelque chose qui dit qu'une fonction de répartition jointe est croissante ?

merci

gerard0 · April 2021

Encire une fois, ce n'est pas une dérivée partielle. Et il serait bon de savoir comment tu dérives alors que s apparaît dans les deux intégrales. Tu sembles appliquer une règle de dérivation du genre : la dérivée de $\int_a^x f(t)\ dt$ par rapport à $x$ est $f(t)$. Mais ici, le f(t) dépend de x !!!

"En passant par les propriétés, ..." : Revois la définition de la fonction de répartition. C'est la première propriété à connaître. Et ça te donne tout de suite ce qu'il te faut.

P. · April 2021

Je crois que tout s'eclairerait avec une meilleure notation, c'est a dire si math65 avait en deux ans appris un peu de latex. En effet $F(X)(x)=\Pr(X\leq x)$ (au lieu de $F_X(x)$) est une notation catastrophique, tout comme $F(M)(s).$ Alors que si $M=\max(X,Y)$ on a
$$\Pr(X\leq x,Y\leq y)=F_{X,Y}(x,y)\Rightarrow F(X,Y)(s,s)=F_M(s)$$ et il n'y a meme pas a verifier que $F_M$ est la fonction de repartition d'une certaine variable aleatoire puisqu'on a celle ci sous le nez.

Saturne · April 2021

@P,

En effet, mais vu comment l'énoncé est fichu, on dirait qu'on n'a pas le droit d'utiliser $M$ pour cette question, vu que $M$ est demandée après. C'est pour ça que je disais que l'énoncé est bizarre.