Identité algébrique

M'est avis qu'avec une telle"identité remarquable" Euclide doit se retourner dans sa tombe..X:-(

L'étymologie d'un mot ne donne pas nécessairement une intelligibilité complète de l'objet désigné par ce mot. Le dit « algorithme d'Euclide » est bel et bien un algorithme au sens actuel de ce mot, en dépit de l'étymologie de ce mot. De même, le livre II des Éléments d'Euclide s'occupe des fondements de l'algèbre géométrique, selon Jean Itard.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Chaurien,

la lecture des "éléments" d'Euclide montre clairement que le raisonnement algébrique n'est pas un outil des mathématiciens grecs, essentiellement géomètres. La précaution que prend Jean Itard est parfaitement nécessaire. Le calcul algébrique pur n'apparaît qu'à la renaissance.

Mais je suis sûr que ce qui t'a fait réagir est plus l'étymologie de "algèbre" que l'envie d'aider Lorenz.

Pour vous exonérer à vie de la pénible tâche qu'est une multiplication,
constituez une table $(k,f(k):=k^2/4)$ en laissant tomber la partie fractionnaire :
$$\begin{vmatrix}
1&2&3&4&5&6&7\cdots \\
0&1&2&4&6&9&12\cdots
\end{vmatrix}$$
Ensuite, pour calculer $a b$ , cherchez dans votre table $f(a+b)$ et $f(a-b)$ ; soustrayez.
Par exemple : $7\times 4 = f(11)-f(3) = 30-2 =28$

Ces tables étaient très répandues au temps du calcul manuel.
Elles prenaient bien moins de place qu'une table à double entrée.

N'oublions pas...

Les historiens des sciences ne sont pas tous d’accord avec toi, Chaurien.
Moi aussi j’ai suivi les cours d’un DÉA d’épistémologie et d’histoire des sciences et quand le sujet des mathématiques arabo-musulmanes est arrivé, ils étaient très clairs (de mémoire, Pascal Crozet et Christian Houzel) : on doit l’algèbre à al-Khwarizmi, notamment par la démarche de son livre sur al-muqabala et al-jabr : une série de problèmes qui se résolvent tous avec une classe de méthodes expliquées et démontrées (en s’appuyant sur Euclide).
Euclide n’avait pas de visée algébrique, Diophante étudiait des problèmes mais sans méthode explicite comme al-Khwarizmi.
Bref, bonne lecture.

Voici des explications plus détaillées sur l'algèbre géométrique du Livre II des Éléments d'Euclide, toujours par Sir Thomas Heath (1861-1940), grand spécialiste des mathématiques grecques. C'est extrait de : T. L. Heath, The thirteen books of Euclid's Elements, translated from the text of Heiberg, with introcuction and commentary, Volume I, Introduction and books I, II, Cambridge, at the University Press, 1908. La réponse à la question initiale est donc oui, il s'agit bien d'algèbre, mais avec particularité géométrique.

L'acharnement à réviser cette vérité historique me fait penser à Sganarelle, le faux médecin du Médecin malgré lui de Molière (Acte II, scène IV) :
GÉRONTE. (...) Il n’y a qu’une seule chose qui m’a choqué. C’est l’endroit du foie et du cœur. Il me semble que vous les placez autrement qu’ils ne sont. Que le cœur est du côté gauche, et le foie du côté droit.
SGANARELLE.- Oui, cela était, autrefois, ainsi ; mais nous avons changé tout cela, et nous faisons maintenant la médecine d’une méthode toute nouvelle.

Bonne journée.
Fr. Ch.

L'algèbre fait tellement peu partie des éléments d'Euclide et de la mathématique grecque que Newton ne l'utilise pas dans ses "Principia", faisant toutes ses démonstrations par géométrie. Alors que depuis un moment, les mathématiciens développent les outils algébriques.

Grosso modo, l'algèbre, c'est l'étude des calculs, des opérations, des relations, des équations. Si l'on adopte cette définition sommaire, le livre II des Éléments d'Euclide concerne bien l'algèbre, mais diffère grandement de notre algèbre actuelle en ce que celle-ci s’exerce sur des objets géométriques, d'où cette appellation d'algèbre géométrique, parfois écrite avec des guillemets pour en marquer la spécificité. C'est ce que nous ont enseigné les historiens des sciences les plus reconnus et les plus réputés comme ceux que j'ai cités, Jean Itard et Thomas Heath. Et voici que Nicolas.Patrois accuse Heath d'anachronisme, ce qui est la première faute dont le moindre étudiant débutant en histoire apprend à se garder. Ce n'est pas sérieux.

C'était une tradition babylonienne. Ils utilisaient le système sexagésimal, le tableau de multiplication seraient gigantesque, donc ils utilisaient plutôt le tableau des carrée avec ce(s) formule(s) pour faire la multiplication.

https://en.wikipedia.org/wiki/Babylonian_mathematics

Chaurien a écrit:

Grosso modo, l'algèbre, c'est l'étude des calculs, des opérations, des relations, des équations. Si l'on adopte cette définition sommaire, le livre II des Éléments d'Euclide concerne bien l'algèbre, mais diffère grandement de notre algèbre actuelle en ce que celle-ci s’exerce sur des objets géométriques, d'où cette appellation d'algèbre géométrique, parfois écrite avec des guillemets pour en marquer la spécificité.

« Algèbre géométrique », je préfère même si ça me semble encore un poil excessif vu ta définition de l’algèbre. En effet, le livre II ne contient pas de calculs, à peine peut-on parler d’opérations, des relations, oui, des équations, dans deux propositions (11 et 14) et encore, il s’agit plutôt de problèmes géométriques plutôt que d’équations.
Un ancêtre de l’algèbre, oui, on peut l’interpréter algébriquement, oui, mais d’abord géométriquement puisqu’Euclide ne raisonne que sur des aires.

Et voici que Nicolas.Patrois accuse Heath d'anachronisme, ce qui est la première faute dont le moindre étudiant débutant en histoire apprend à se garder. Ce n'est pas sérieux.

Et pourquoi Heath n’aurait pas le droit de se tromper ? Il a publié les Éléments il y a un siècle, de l’eau a coulé sous les ponts depuis.
C’est dommage, j’ai raté la publication des trois tomes des Éléments par Vitrac mais j’ai la version de Peyrard et celle de Heath, justement. J’aurais pu alors donner le point de vue de Vitrac.
Tu remarqueras qu’Euclide ne va pas au-delà de la dimension 2. Si vraiment il avait eu une visée algébrique, il serait allé au-delà, ce qui a été fait par les suiveurs d’Al-Khwarizmi.

Chaurien a écrit:

La question que nous pourrions nous poser c'est : pourquoi cette rage à le nier ?

Je peux te renvoyer la question : pourquoi cette rage à nier toute importance aux mathématiciens arabo-musulmans ?

Encore une chose pour qualifier d’algèbre le travail d’al-Kharizmi mais pas celui d’Euclide : après s’être appuyé sur Euclide, il l’oublie et donne un nom aux opérations importantes de ses manipulations d’équations. L’une est al jabr (la transposition additive qui a donné algèbre), l’autre est al muqabala (la réduction). Il y en a une troisième, al hatt (la proportionnalité ou transposition multiplicative).

@ev.
Je viens de comprendre ta remarque,
Mais je peine à trouver la base de ces
logarithmes-là...

Nicolas.patrois.

J'avais loupé ta remarque.

Toutefois, en explicitant deux approches "contemporaines" l'une de l'autre, je pense avoir été un peu plus loin.

À bientôt.

Oh mais je ne méprise ni les Mésopotamiens ni Euclide (dont j’ai deux éditions des Éléments et qui trône sous mon bureau avec Les neuf chapitres) et bien entendu, je sais très bien qu’ils ont travaillé sur ce qui sera plus tard, officiellement, l’algèbre et que sans eux, ça aurait été plus long.
J’aurais tendance à dire qu’en 1902, on n’était pas forcément au courant du travail des arabo-musulmans (et encore moins des Chinois et des Japonais). Encore aujourd’hui, on a des gens qui affirment qu’ils n'ont rien apporté et d’autres qu’ils ont tout fait.

Tu peux parler d’algèbre tant que tu veux, il s’agit de ne pas se faire aveugler par une quelconque haine ni par une quelconque admiration ; il s’agit de ne pas se tromper de mot. Ce n’est pas parce que des gens ont écrit ci ou ça il y a plus de cent ans qu’ils auraient raison (ou tort d’ailleurs). Tu t’es contenté de citer des auteurs, j’ai fait un travail de réflexion (au lieu de citer des auteurs qui vont dans mon sens, texte à l’appui).
Pour ce qui nous concerne, il suffit de lire les textes d’Euclide comme les tablettes mésopotamiennes pour se rendre compte qu’il ne s’agit pas de la même chose que ce qu’a fait al-Khwarizmi, qui a réalisé une synthèse de leurs travaux. Relis mes messages à ce sujet.
Remarque que les mal nommés théorèmes de Thalès ou de Pythagore ne te font pas bondir au plafond, contrairement au théorème d’al-Kashi.

Si tu parles de celui avec les proportions, non, le texte que tu cites dit le contraire.
Il dit aussi que Thalès est venu en Égypte pour apprendre les mathématiques.

Réponse à nicolas.patrois
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?17,2227538,2228888#msg-2228888
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?17,2227538,2232866#msg-2232866

« Haine ou admiration », ce n'est pas bien posé. L'histoire des mathématiques fournit certes le plus souvent des occasions d'admiration, mais on ne voit pas où pourrait se nicher une quelconque haine (?) - sinon peut-être pour l'« infâme coquette » qui a causé la mort de Galois (:D. L'alternative à l'admiration, ce n'est pas la haine, ce peut être par exemple l'indifférence ou le mépris. Cet emploi du terme « haine » est inapproprié et purement polémique, pour disqualifier un point de vue qui n'est pas le tien.

Tu me dis que les historiens des sciences ne sont pas tous d’accord avec moi. C'est trop d'honneur : ce n'est pas à ces éminents spécialistes d'être d'accord avec l'amateur que je suis. J'ai fait autrefois une modeste incursion dans le domaine de l'histoire des mathématiques, mais c'était à propos de périodes plus proches. Moi aussi je dispose des traductions d'Euclide par Peyrard et Heath, mais je ne les fréquente pas assidûment, et moi aussi j'ai raté Vitrac.

Si les historiens des sciences ne sont pas tous d’accord avec moi, il s'ensuit qu'ils ne sont pas tous d'accord entre eux. Quand on n'est pas soi-même un spécialiste, il est tout naturel d'étudier les écrits de ceux qui le sont. C'est ce que je fais, et par là je réfléchis tout autant que toi, en appuyant ma réflexion, comme on fait toujours, sur des auteurs compétents. Leur ancienneté ne les disqualifie pas. Ce ne sont pas des découvertes qui ont fait évoluer l'appréciation de l’histoire de l'algèbre, c'est un changement de point de vue imposé par des auteurs qui considèrent (pour des raisons simples à comprendre) la promotion des mathématiques arabo-islamiques comme une tâche militante, et repris sans esprit critique par d'autres, soucieux d'aller dans ce qu'ils voient comme le sens de l'histoire.

Je continue à rechercher des ouvrages concernant cette question. Il est facile d'en trouver qui affirment que le « Commencement de l'algèbre » c'est l’œuvre d'Al-Khwârizmî, ça semble la doxa en vigueur. Au fond, c'est peut-être une question de définition. Si l'on définit l'algèbre comme étant ce qui commence avec l’œuvre de ce mathématicien ouzbek (« arabe » bessif), il ne sera pas trop difficile d'en déduire qu'il n'y a pas d'algèbre auparavant. J'ai trouvé plusieurs ouvrages, plus récents que les précédents, qui offrent un point de vue plus équilibré. Voici par exemple :I. G. Bashmakova, G. S. Smirnova, The beginnings and evolution of algebra (2000, MAA) [Dolciani Mathematical Expositions]. Recension : https://www.maa.org/press/maa-reviews/the-beginnings-and-evolution-of-algebra. C'est la traduction d'un livre russe. Isabella Grigorievna Bachmakova (1921-2005) est une sommité de l'histoire des mathématiques. Je joins le sommaire.

Bonne journée de ce 3 mai 2021, qui nous libère un peu.
Fr. Ch.

En effet, les historiens des sciences ne sont pas tous d’accord. Tout dépend de plein de choses :

• Ce qu’il appellent algèbre. Pour certains, ils appellent algébriques des textes qu’ils interprètent algébriquement mais qui ne le sont pas des masses. Pour d’autres, ils se fient aux notations (comme celles de Descartes). Pour d’autres, ils parlent de l’origine du mot.
• Leur accès aux textes et à leurs traductions. Si on n’a accès qu’à Euclide et pas aux textes arabes, c’est sûr qu’on ne va pas voir l’algèbre chez eux.
• Leur conceptions politiques et/ou religieuses. Un historien musulman fanatique dira que les mathématiciens arabo-musulmans ont tout inventé, y compris la numération décimale ou que sais-je encore. D’autres, aveuglés par une haine des musulmans, diront qu’ils n’ont rien fait du tout, à peine furent-ils des passeurs.
• L’air du temps. Selon si l’époque est arabophile, arabolâtre ou l’inverse, les chercheurs auront tendance à suivre.
• Parfois même des oppositions de personnes. Untel déteste Machin qui lui a piqué un brillant étudiant, il va donc chercher à démolir les thèses de Machin.
• La sociologie de la population des chercheurs (origine sociale, etc) peut jouer aussi.
• Leur conception de la méthode scientifique et/ou historique. Certains cherchent des faits, des sources, d’autres travaillent sur les concepts, etc.

Comme d’habitude en science, j’ai plutôt tendance à faire confiance aux résultats récents mais pas trop. C’est comme en informatique, j’achète du matériel de la génération précédente, moins chère et plus fiable car testée et corrigée.
Pour revenir sur le sommaire de Bashmakova, pour moi, la page importante est la page 49 : l’algèbre comme discipline indépendante, ce dont je parlais dans mon message entre Mathurin et Dreamer.