Preuves hasardeuses
Je suis peu connecté en ce moment, mais j'ouvre tout de même un fil qui me tient de plus en plus à coeur (il avancera doucement) et que je connecterai à son parent (je ne me rappelle pas le titre exact, genre "amélioration de preuves")
But du fil répertorier et collecter les preuves où l'argument central consiste à utiliser l'inférence:
$$ \mu(A)>0 \to [\exists x: x\in A] $$
où $\mu$ est n'importe quelle mesure, comptage, etc, pas forcément sigma-additif.
J'ai eu à signaler différentes preuves (je les résume ci-dessous**) de ce genre récemment. J'aimerai les collecter toutes dans un même fil, pour voir ce qu'on peut en faire.
Merci par avance pour vos exemples!!
** résumés de quelques exemples:
[small]1/ Preuve de Brouwer: Soit $f$ continue envoyant $B$ dans $S$ (boule et sa pshère), égale à l'identité sur S.
1.1/ soit $\forall t: (g_t:= tf+(1-t)id)$.
1.2/ $t\mapsto h(t):=Volume(ImageDirecte(g_t))$ est un poynôme
1.3/ Il est constant sur $[0,e]$ pour $e$ assez petit (Picard)
1.4/ $h(0)=1$ et $h(1)=0$, contradiction
2/ Il existe des nombres transcendants (sans commentaire)
3/ Théorème des zéros de Hilbert:
3.1/ Prendre X une indéterminée et $P(X)$ un des polynômes de l'équation.
3.2/ Rajouter une lettre $a$
3.3/ From $P(X) = (X-a)Q(X,a) + P(a)$ et supposant à l'arrache $P(a)\neq 0$, obtenir $P(X) = (X-a)R(X,a) - 1$
3.4/ Modulo l'idéal, Ecrire $0= (X-a)R(X,a) - 1$ et bien étaler sous forme de somme de monômes à coefficients considérés comme éléments de $K(a_i)$
3.5/ Trouver une dépendances linéaire en ajoutant des indices à la lettre $a: c_1(a_1) (X-a_1)^{-1 } + ..$
3.6/ Multiplier par le dénominateur et obtenir un polynôme $\sum_i \prod_{j\neq i} c_i (X-a_j)=0$
3.7/ Conclure que $X$ est algébrique sur $K$, car les $"a_i"$ auraient pu être à peu près n'importe qui (ici est l'hasardisme) dans le corps $K$
4/ Soit $P$ un polynôme à coefficients rationnels. Il existe un nombre premier non dans l'image de $\Q$ par $P$.
4.1/ Je mettrai un lien vers le post approprié ou recopie-collerai.
4.2/ Voici le lien
[/small]
But du fil répertorier et collecter les preuves où l'argument central consiste à utiliser l'inférence:
$$ \mu(A)>0 \to [\exists x: x\in A] $$
où $\mu$ est n'importe quelle mesure, comptage, etc, pas forcément sigma-additif.
J'ai eu à signaler différentes preuves (je les résume ci-dessous**) de ce genre récemment. J'aimerai les collecter toutes dans un même fil, pour voir ce qu'on peut en faire.
Merci par avance pour vos exemples!!
** résumés de quelques exemples:
[small]1/ Preuve de Brouwer: Soit $f$ continue envoyant $B$ dans $S$ (boule et sa pshère), égale à l'identité sur S.
1.1/ soit $\forall t: (g_t:= tf+(1-t)id)$.
1.2/ $t\mapsto h(t):=Volume(ImageDirecte(g_t))$ est un poynôme
1.3/ Il est constant sur $[0,e]$ pour $e$ assez petit (Picard)
1.4/ $h(0)=1$ et $h(1)=0$, contradiction
2/ Il existe des nombres transcendants (sans commentaire)
3/ Théorème des zéros de Hilbert:
3.1/ Prendre X une indéterminée et $P(X)$ un des polynômes de l'équation.
3.2/ Rajouter une lettre $a$
3.3/ From $P(X) = (X-a)Q(X,a) + P(a)$ et supposant à l'arrache $P(a)\neq 0$, obtenir $P(X) = (X-a)R(X,a) - 1$
3.4/ Modulo l'idéal, Ecrire $0= (X-a)R(X,a) - 1$ et bien étaler sous forme de somme de monômes à coefficients considérés comme éléments de $K(a_i)$
3.5/ Trouver une dépendances linéaire en ajoutant des indices à la lettre $a: c_1(a_1) (X-a_1)^{-1 } + ..$
3.6/ Multiplier par le dénominateur et obtenir un polynôme $\sum_i \prod_{j\neq i} c_i (X-a_j)=0$
3.7/ Conclure que $X$ est algébrique sur $K$, car les $"a_i"$ auraient pu être à peu près n'importe qui (ici est l'hasardisme) dans le corps $K$
4/ Soit $P$ un polynôme à coefficients rationnels. Il existe un nombre premier non dans l'image de $\Q$ par $P$.
4.1/ Je mettrai un lien vers le post approprié ou recopie-collerai.
4.2/ Voici le lien
[/small]
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
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Bonjour,
Ce genre d'argument est à la base de la méthode probabiliste. Par exemple, on peut montrer comme ça que, si $\binom{n}r <2^{\textstyle \binom{r}2 -1}$, alors il existe un graphe bichromatique à $n$ sommets, sans sous-graphe monochromatique à $r$ sommets.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_probabiliste -
Un fil MathOverflow a pour but de répertorier ce genre de résultats : https://mathoverflow.net/questions/365631/what-are-some-examples-of-proving-that-a-thing-exists-by-proving-that-the-set-of/365723#365723
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Un grand merci pour ces réponses.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Je mets lien de Poirot en très gros pour la suite.[size=x-large]Fil équivalent sur mathoverflow[/size]
de sorte que si le fil grossit, le lien tapera l'oeil.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je complète seulement le point (4), puisque j'avais remis:
4/ Rappel: $P$ étant l'ensemble des nombres premiers, théorème : $\forall Q\in \Q[X] : non(P\subset \{Q(x)\mid x\in \Q\})$, sauf si $deg(Q) = 1$.
4.1/ argument dû à CALLI (un intervenant): si $n,a,$ sont entiers $P\in \Q[X]$ et $P(a/b)=n$, la fraction étant irréductible alors $b$ est un diviseur du produit du numérateur du coef dominant de $P$ par le produit des dénominateur des coefficients de $P$.
4.2/ Il s'ensuit que la somme des $1/q$ avec $q$ entiers dans $ \{P(x)\mid x\in \Q\})$ est finie si $deg(P)\geq 2$ (elle est de l'ordre des inverses des carrés des entiers)
4.3/ Il se trouve par ailleurs que celles des inverses des nombres premiers est infinie.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je suis curieux de voir le lien entre ce genre de preuve et le côté randomisé de l’attribution des orientations sexuelles comme on en avait discuté Je sais pas à quel point t’avais creusé le truc
-
Pardon pour le délai, oui, j'essaierai (ce que tu me demandes est difficile)!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Je up le fil pour rafraîchir la mémoire sur mon avant-dernier message :-D
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Bonjour!
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