Conjecture de Frankl version infini

CC m'a souvent dit qu'il doutait très fortement qu'il existât un énoncé qui généralise de façon pertinente la conjecture de Frankl pour des ensembles infinis. J'ai senti que c'était pour des raisons qui m'échapperaient même s'il me les expliquait... mais en ajoutant quelques hypothèses très simples (qui n'ont pas d'incidence sur l'énoncé fini) je n'arrive pas à trouver de contre-exemple infini à l'énoncé ainsi généralisé :


Soit $F$ un ensemble de parties de $E$. Pour $x\in E$ on note :
$F_x=\left\{f\in F, x\in F\right\}$ et $F^c_x$ son complémentaire dans $F$.

On suppose que :
1) pour tout $G\subset F$, $\bigcap G\in F$
2) Il n'existe aucune chaine dans $C\subset F$ tel que $\bigcup C^c\subset \bigcap C$


QUESTION : Existe-t-il $x\in X$ tel que $card(F_x^c)\geq card(F_x)$?

[Edit : merci CC j'avais inversé l'innegalité]

La conjecture de Frankl dit que si $F$ est de cardinal fini, la réponse est Oui.


La conjecture est habituellement énoncée pour l'union, mais j'ai machinalement écrit la version intersection (qui m'est plus familière et qui est plus en adéquation avec beaucoup notions standard sous un certain angle) mais ça n'a aucune importance évidemment, les deux énoncés sont parfaitement duaux l'un de l'autre.

Remarquons que 1) impose une intersection quelconque et pas seulement finie, bien sur dans le cas fini cette distinction est sans intérêt.
Par contre, notons que 2) est nécessaire AUSSI dans le cas fini : en il y a un unique cas qui pose problème : le cas $F=\left\{E\right\}$.

Les deux exemples typiques qui "ne marchent pas à l'infini" habituels (en tous cas pour moi) sont
A) les parties co-finies d'un ensemble infini non dénombrable
une chaine infinie

A) vérifie 2) et pas 1) et ne vérifie pas 2 (on peut la compléter pour qu'elle vérifie 1)

Bien sûr on peut affiner ces deux exemples typiques : pour A) prendre un ultrafiltre ou plein d'autres trucs mais qui sont stables par intersection finie et non pas quelconque et pour considérer une famille finie dominée par chaque élément d'une chaine infinie, mais ça ne vérifiera pas 2)


Donc si vous avez un contre-exemple infini qui vérifie 1 et 2 mais pas la QUESTION ça m'intéresse... je suis sur qu'il doit y en avoir pleins, autrement CC ne m'aurait pas dit ce dont je parle au début...