Existe-il z tel que |P(z)|...

Bonjour je suis coincé sur ce problème que je n'arrive pas résoudre soit $P(z)=az^3+bz^2+cz+d$ avec avec $a,b,c,d\in \mathbb{C}$ et $|a|=|b|=|c|=|d|=1$ montrer qu'il existe $z\in\mathbb{C}$ avec $|z|=1$ tel que $|P(z)|\geq \sqrt{6}$.

Voilà où j'en suis tout d'abord il est suffisant de traiter le cas avec $a=1$, on prend donc $P(z)=z^3+az^2+bz+c$ de plus :
$$|P(z)|^2=(z^3+az^2+bz+c)\Big(\frac{1}{z^3}+\frac{1}{az^2}+\frac{1}{bz}+\frac{1}{c}\Big) \\
\qquad =4+\frac{z}{a}+\frac{a}{z}+\frac{b}{az}+\frac{az}{b}+\frac{c}{bz}+\frac{bz}{c}+\frac{b}{z^2}+\frac{z^2}{b}+\frac{c}{az^2}+\frac{az^2}{c}+\frac{c}{z^3}+\frac{z^3}{c}.
$$ En prenant $z=e^{i\theta} ,\ a=e^{i\alpha},\ b=e^{i\beta} ,\ c=e^{i\gamma}$ on obtient après un certain nombre de calcul :
$$|P(z)|^2=4+2\cos(3\theta-\gamma)+2\cos(2\theta+\alpha-\gamma)+2\cos(2\theta-\beta)+2\cos(\theta-\alpha)+2\cos(\theta+\alpha-\beta)+2\cos(\theta+\beta-\gamma).
$$ Il nous suffit donc de trouver $\theta $ tel que $\cos(3\theta-\gamma)+\cos(2\theta+\alpha-\gamma)+\cos(2\theta-\beta)+\cos(\theta-\alpha)+\cos(\theta+\alpha-\beta)+\cos(\theta+\beta-\gamma)\geq 1$.
C'est ici que je bloque, je ne sais pas si ma démarche est la bonne, il y en a sans doute une meilleure mais je ne la vois pas .
Merci d'avance.