Corps finis - permutation

Julia Paule · April 2021

Je bute sur un exercice. Soit $K$ un corps fini de cardinal $q$, et $x$ un élément de $K$. On pose $f_x= - \Pi_{z \in K, z \ne x} (X -z) \in K[X]$.

Dans le corrigé, il est dit que $f_x(y)=0$ si $y \ne x$ (ok pour ça) et $f_x(y)=1$ si $y=x$.

Il me semble qu'on applique une permutation circulaire des racines de $X^q-X=-(X-x)f_x$ pour écrire $f_x(x)=- \Pi_{z \in K, z \ne x} (x -z)=- \Pi_{y \in K, y \ne 0} (y)=-(-1)=1$ (en posant $y=x-z$).
Comment faire pour le montrer rigoureusement ?

Merci d'avance.

Poirot · April 2021

L'application $z \mapsto x-z$ est une bijection de $K \setminus \{x\}$ dans $K \setminus \{0\}$, tu peux le montrer à la main.

Math Coss · April 2021

Je ne vois pas pourquoi la permutation serait circulaire mais en effet, $x-z$ décrit l'ensemble $K^*$ lorsque $z$ décrit $K\setminus\{x\}$. Le polynôme $X^{q-1}-1$ a au plus $q-1$ racines et tous les éléments de $K^*$ sont bien racines (Lagrange). On conclut en identifiant le produit des racines et le coefficient constant.

gai requin · April 2021

On a $(X-x)f_x(X)=X-X^q$ donc, en dérivant, $f_x(X)+(X-x)f_x'(X)=1-qX^{q-1}=1$.
D'où $f_x(x)=1$.

Julia Paule · April 2021

Merci beaucoup. Tout simplement. L'application est injective, donc bijective, et on peut remplacer dans l'expression. La permutation n'est en effet pas circulaire (ce serait $ z \mapsto z-x$).