Réciproque du corps de rupture

Est-ce que cette démonstration serait valable ?

$f$ irréductible et unitaire sur $K$ possède une racine $x$ dans une extension de $K$ ; alors le plus petit corps qui contient $x$ et $K$ est $K(x) \cong K[X] / \ker (ev_x)$, morphisme d'évaluation en $x$ (j'étais partie avec l'histoire de l'image de $X$, c'est ce qui bloquait).

On a $(f)=\ker (ev_x)$ (car $f$ est irréductible, donc $(f)$ est maximal, et $f \subset \ker(ev_x)$), $f$ est le polynôme minimal de $x$ sur $K$, et le degré de $K(x)$ sur $K$ est le degré de $f$ (division euclidienne, etc...), soit $r$.

Si $s>0$ et $x^{q^s}=x$, alors $x \in \mathbb{F}_{q^s}$, corps de degré $s$ sur $K=\mathbb{F}_q$. Or le plus petit corps qui contient $x$ et $K$ est $K(x)$ de degré $r$ sur $K$, donc $s \geq r$, donc $r$ est le plus petit entier $s>0$ tel que $x^{q^s}=x$.

Je me rends compte qu'il y a deux manières d'aborder le corps de rupture : avec l'image de $X$ (dont l'image donne une racine de $f$, cela permet de montrer que tout polynôme de $K[X]$ admet une racine dans une extension de $K$, mais cette racine est indéterminée), et avec le morphisme d'évaluation si on connait déjà une racine $x$ dans une extension de $K$ et son polynôme irréductible. Merci de me corriger si je raconte n'importe quoi.

Merci ! Cela me parait être la dimension des restes dans la division euclidienne par $f$. Je ne vois pas comment le montrer rigoureusement ?

Hum, la réciproque du corps de rupture dans mon 1er message est complétement évidente.

Merci Maxtimax. Cela fait un isomorphisme de $K$-espaces vectoriels, et comme l'ensemble des polynômes de $K[X]$ de degré $< \deg f$ est un espace vectoriel de dimension $\deg f$, on a que $K[X]/(f) $ est un $K$-espace vectoriel de dimension $\deg f$ (c'est une question que je me posais depuis longtemps).

Maintenant, c'est aussi un anneau comme anneau-quotient.