Une constante
Bonjour
J'ai l'impression de sécher sur un truc idiot.
J'ai une fonction $g$ de classe $\mathscr{C}^2([a,b],\R)$ vérifiant $g(a)=g(b)$.
J'effectue une intégration par partie : $$\int_a^b g(t) dt = \left[(t-c)g\right]_a^b - \int_a^b (t-c) g'(t) dt,
$$ où $c$ est une constante arbitraire. Je souhaite choisir $c$ pour supprimer le terme entre crochets.
Est-ce possible ? D'après mon corrigé oui, mais d'après mes calculs le terme entre crochets vaut $bg(b)-ag(a)$ et ne dépend pas de $c$. Ai-je loupé quelque chose ?
J'ai l'impression de sécher sur un truc idiot.
J'ai une fonction $g$ de classe $\mathscr{C}^2([a,b],\R)$ vérifiant $g(a)=g(b)$.
J'effectue une intégration par partie : $$\int_a^b g(t) dt = \left[(t-c)g\right]_a^b - \int_a^b (t-c) g'(t) dt,
$$ où $c$ est une constante arbitraire. Je souhaite choisir $c$ pour supprimer le terme entre crochets.
Est-ce possible ? D'après mon corrigé oui, mais d'après mes calculs le terme entre crochets vaut $bg(b)-ag(a)$ et ne dépend pas de $c$. Ai-je loupé quelque chose ?
Réponses
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Oui tu sembles avoir simplifié $-cg(b)+cg(a)$. Non ?
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Le membre de gauche ne dépend pas de $c$ mais en général, $\int_a^bcg'(t)\mathrm{d}t=c(g(b)-g(a))$ dépend de $c$ donc le terme intégré doit dépendre de $c$. Sauf que là, on n'est pas en général et l'hypothèse stipule exactement que le terme intégré ne dépend pas de $c$... Je partage ta perplexité.
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Merci Dom. Oui c'est cela.
J'ai vu mon erreur. En fait j'ai une hypothèse supplémentaire sur $g$ : $g(a)=g(b)\mathbf{=0}$.
Du coup le crochet est nul, peu importe $c$.
Je suis fatigué moi... -
Merci Math Coss d'avoir réfléchi à mon problème. J'ai oublié une hypothèse non négligeable sur $g$ (voir au-dessus).
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On a intégré $t\mapsto 1$ en proposant une primitive $t\mapsto t-c$.
On s’arrange pour que le crochet s’en aille (pour le rendre égal à $0$) mais en fait il passe dans le terme de droite (terme intégrale).
Édit : Ok ;-) -
cuba bonjour
J'ai presque le même exercice que toi, peux-tu m'aider?
J'ai une fonction $g$ de classe $\mathscr{C}^1(\R)$ vérifiant $g(a)\neq g(b)$.
Montrer qu'il existe c tel que
$$\int_a^b g(t) dt =
\int_a^b (c-t) g'(t) dt,
$$Le 😄 Farceur -
Bonjour gebrane,
On intègre par partie en dérivant $g$ et en intégrant $1$.
On choisit comme primitive de $1$ : $t\mapsto t-c$ où l'on choisit $c$ afin de rendre le crochet nul.
On prendra $c= \dfrac{ag(a)-bg(b)}{g(a)-g(b)}$. -
Merci ;-)Le 😄 Farceur
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Bonjour!
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