Trace d'une matrice rectangle

Une généralisation dans quel sens ? Quelles propriétés veux-tu conserver ?

Comme un changement de base remplace $M$ par $PMQ$, où $P$ et $Q$ sont inversibles, alors, si tu veux que ton application soit linéaire, elle sera forcément nulle puisque $M$ et $-M$ sont toujours équivalentes. On peut aussi ne pas exiger la linéarité, mais cela devient sans intérêt.
Il reste à voir le cas de la caractéristique $2$