Loi lognormale (exercice)

1)
$
\begin{align*}
t &>0 \\
\mathbb{P}(Z_1 <t) &= \mathbb{P}(\ln Z_1 < \ln t)\\
&= \Phi( \ln t) \\
f_{Z_1}(t) &= \dfrac{1}{t} \dfrac{1}{ \sqrt{2 \pi} } \exp \left( - \dfrac{ (\ln t )^2}{2} \right) \\
\end{align*}
$

2)
$
\begin{align*}
t &>0 \\
\mathbb{P}(Z_2 <t) &= \mathbb{P}( \dfrac{\ln Z_2 -m}{ \sigma} < \dfrac{\ln t -m }{ \sigma} )\\
&= \Phi( \dfrac{\ln t -m }{ \sigma}) \\
\end{align*}
$
On fixe $\alpha$, on cherche $q_{\alpha}$ tel $P(Z_2<q_{\alpha})= \alpha)$
$
\begin{align*}
\Phi( \dfrac{ \ln (q_{\alpha}) -m }{ \sigma})&= \alpha \\
\dfrac{ \ln (q_{\alpha}) -m }{ \sigma} &= \Phi^{-1} (\alpha) \\
\Phi^{-1} ( \dfrac{1}{2})&=0\\
\mu&= \exp(m)\\
\dfrac{ \ln (q_{\alpha}) - \mu }{ \Phi^{-1} (\alpha ) } &= \sigma \\
\end{align*}
$

3)
On conditionne par le tirage de $A_1$ ou $A_2$
$F_Z(t)= \dfrac{ F_X(t) + F_Y(t) } {2 }$

4)
$
\begin{align*}
F_Z(t)&= \dfrac{1}{2} \left( \Phi( \dfrac{\ln t - m_1}{\sigma_1} ) + \Phi( \dfrac{\ln t - m_2}{\sigma_2} ) \right) \\
\dfrac{1}{2} &=\dfrac{1}{2} \left( \Phi( \dfrac{\ln \mu - m_1}{\sigma_1} ) + \Phi( \dfrac{\ln \mu - m_2}{\sigma_2} \right) \\
1&= \Phi( \dfrac{\ln \mu - m_1}{\sigma_1} ) + \Phi( \dfrac{\ln \mu - m_2}{\sigma_2} ) \\
1&= \int_{ - \infty }^{ \dfrac{\ln \mu - m_1}{\sigma_1} } \ \dfrac{1}{ \sqrt{2 \pi} } \exp \left( - \dfrac{ t ^2}{2} \right)
+ \int_{ - \infty }^{ \dfrac{\ln \mu - m_2}{\sigma_2} } \ \dfrac{1}{ \sqrt{2 \pi} } \exp \left( - \dfrac{ t ^2}{2} \right)
\\
\end{align*}
$

5)
$
\begin{align*}
Z &\sim P_0 \\
K_{ P/P_0 } = &E \left( - \ln \left( \dfrac{f(Z)}{f_0(Z)} \right) \right) \\
&\geq - \ln \left( E \left( \dfrac{f(Z)}{f_0(Z)} \right) \right) \\
&\geq - \ln \int_{\mathbb(R)_{+}} f(u)du \\
&\geq - \ln (1) \\
&\geq 0 \\
&\end{align*}
$

On a appliqué l'inégalité de Jensen. Il y a égalité si le ration est constant, donc si les deux densités sont proportionnelles, donc égales.
Donc le max est atteint si $f=f_0$

6 )
a)
b)
$
\begin{align*}
f_i(t)&= \dfrac{1}{t \sigma_1} \dfrac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \dfrac{ - ( \ln t - m_i)^2 )}{ 2 \sigma_i ^2} \right)\\
U &\sim \mathcal{N}(m_i,\sigma_i^2) \\
\int_{0}^{+ \infty} (\ln x - m)^2 f_i(t) dt &= E[ (U-m)^2 ] \\
&= \sigma_1^2 + (m_1-m)^2 \\
\end{align*}
$
c) On minimise en $m,\sigma$

d et e)

$
\begin{cases}
\hat{m} &= \sum \alpha_i m_i \\
\hat{\sigma}^2 &= \sum \alpha_i [ \sigma_i^2 + (m_i - \hat{m} )^2 ] \\
\end{cases}
$

f) $\mu= \exp( \hat{m})$