Convexité (mpsi)
dans Analyse
Avant toute chose, je vous rappelle que je sais que je suis irrécupérable. Inutile de me le rappeler :-D
J'ai un service à vous demander.
Je dois "à partir de rien" taper entièrement en latex un chapitre de livre de MPSI AVANT CE SOIR. Bon, ce n'est pas que ça me pose de gros problèmes de fond, mais par contre ça m'en pose de plan et d'énoncés à mettre qui sont sous-entendu par le programme.
Je vous mets l'image du programme en PJ. (Je ne sais pas vraiment lire un programme de mpsi, je ne sais pas quels sont les implicites, est-ce qu'il est "pénal" (ie d'inteprretation strictement littérale, etc).
Evidemment, il va de soi que tout le monde peut m'aider, mais si des mpsi-istes (élèves ou profs) en "plein dedans" sont connectés, évidemment, ce serait bingo pour moi.
Merci d'avance.
J'ai un service à vous demander.
Je dois "à partir de rien" taper entièrement en latex un chapitre de livre de MPSI AVANT CE SOIR. Bon, ce n'est pas que ça me pose de gros problèmes de fond, mais par contre ça m'en pose de plan et d'énoncés à mettre qui sont sous-entendu par le programme.
Je vous mets l'image du programme en PJ. (Je ne sais pas vraiment lire un programme de mpsi, je ne sais pas quels sont les implicites, est-ce qu'il est "pénal" (ie d'inteprretation strictement littérale, etc).
Evidemment, il va de soi que tout le monde peut m'aider, mais si des mpsi-istes (élèves ou profs) en "plein dedans" sont connectés, évidemment, ce serait bingo pour moi.
Merci d'avance.
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Réponses
Mais vas-tu trouver ça ?
Tu es intrigant (:D
Je ne crois pas, il s'agit du livre de cours standard et académique de MPSI pour un éditeur standard où la règle est "pas d'originalité". C'est vraiment un court chapitre, sans grand intérêt mathématique d'ailleurs. J'ai ouvert le fil pour recevoir des conseils de plans et rédaction et les énoncés précis du programme de la part privilégiée de celles et ceux qui viendraient par exemple de l'enseigner ou de le prendre en note en tant qu'élève.
@Cyrano : oui, c'est ça, et surtout un truc qui aurait le label "déjà validé", Mon objectif est de ne pas stresser mes partenaires, je me méfie de moi-même, je ne veux pas trop faire un truc où on voit qui a écrit le chapitre.
Bon courage.
Fr. Ch.
- définition donnée.
- passage à Jensen par récurrence (moi je donnerai l'interprétation en termes d'espérance, pour préparer à la vraie "Jensen")
- le lemme des trois pentes qui compare les trois pentes entre deux réels parmi les trois $a<b<c$.
- conséquence : l'existence de toute dérivée à droite et à gauche. La dérivée à droite (resp. à gauche) est une fonction croissante, et en plus $f'_g(x) \leq f_d'(x)$ pour tout $x$ et on a à ce niveau la position par rapport aux demi-tangentes.
- ensuite on passe facilement au cas dérivable, puis au cas deux fois dérivable.
- cas des fonctions concaves
- convexe+concave équivaut à affine
- exemples et quelques illustrations en termes d'inégalités.
Les "applications" de la convexité sont très nombreuses et cela peut justifier en tant que tel l'intérêt de la notion (même si moi ce n'est pas un sujet qui m'amuse) :
- c'est le cadre idéal pour l'optimisation. Rappelons que sans la moindre hypothèse autre que $f$ est convexe, $a$ en est un minimum global si et seulement si $0$ est un élément de son sous-différentiel. Lorsque $f$ est convexe et que la partie $C$ est convexe, en appliquant ceci à $f+I_C$ on obtient la CNS avec le cône normal avec très peu d'hypothèse (en gros celles qui assure les situations non dégénérées pour pouvoir dire que le sous-diff de la somme est la somme des sous-diff). Si on veut faire plus général, on va vers les Clarkerie ou à la Rockafellar, mais je ne trouve plus cela tellement lisible et manipulable (je n'ai sans doute pas suffisamment pratiqué), sans compter que l'on n'est plus en CNS
- comme conséquence, la théorie microéconomique "basique" est basée sur la convexité, qui a en plus une interprétation en terme d'aversion au risque dans le cadre de von Neumann - Morgenstern (certes basique et contredit par le paradoxe d'Allais en pratique, mais encore couramment utilisé, il faut dire que calculer une intégrale par rapport à une capacité de Choquet, sauf sur des exemples triviaux, merci mais au revoir ...)
- par Jensen, on voit immédiatement que si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$, l'estimateur obtenu par le maximum de vraisemblance est biaisé (et on connaît le signe du biais) puisque bien entendu $\bar{X_n}$ estime sans biais $1/\lambda$ et que $x\mapsto 1/x$ est convexe sur $\R^+_*$.
IMMENSE MERCI!!
De mon téléphone.
D'accord avec Gilles Benson pour conseiller l'étude du bel ouvrage Inequalities de Hardy, Pólya, Littlewood, bien qu'il date de 1934.
Je suis très heureux d'avoir pu être utile à Christophe et à d'autres.
Bonne journée.
FR. Ch.
On y trouve les caractérisations usuelles de la convexité, l'inégalité de Jensen et quelques conséquences classique. Les propriétés traitant d'intégrales nécessitent d'avoir vu les sommes de Riemann auparavant.
Grace à vous 2, j'ai déjà cours+ exos + corrections (tu) (tu) (tu) (tu) (tu) (tu) (tu) (tu) (tu) (tu) (tu) (tu)
Comme le temps passe...
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Ce livre doit faire des compléments hors programme.
Dans mon livre de MPSI édition 2018, il n'y a pas de passage sur les fonctions convexes.
À partir de l'an prochain, elles reviennent au programme des MPSI (et MP2I) et même des PCSI, dans une moindre mesure (pas d'inégalité de Jensen, par exemple, et pas de lemme des 3 pentes).
$$\partial f(x)=\{p \in E', \forall y \in E, f(y)\geq f(x) + p.(y-x)\}.$$
Il est trivial à partir de cette définition que $x$ est un minimum global si et seulement si $0\in \partial f(x)$ (alors que la CN habituelle, il faut travailler un peu pour l'obtenir, même si c'est facile)
On travaille cependant un peu pour relier le sous-différentiel à la différentielle : si $Df(x)$ existe, alors $\partial f(x)$ est le singleton $\{ Df(x)\}$. La réciproque est "presque" vraie, en remplaçant la différentielle par celle de Gateaux. On retrouve donc la CNS standart lorsque $f$ est différentiable (même au sens de Gateaux).
Lorsque $E=\R$, si $x$ est un point intérieur au domaine de $f$, on vérifie facilement que $\partial f(x)=[f_g'(x),f_d'(x)]$.
Bah tiens, la fonction valeur absolue, qui est convexe, a son minimum en $0$, qui est bien un élément de $[-1,1]$, sous-différentiel de la fonction en $0$.
En devant enseigner dans un cours de L3 une petite section sur la convexité il y a une quinzaine d'années de cela, je n'ai pas fait grand chose sur le sous-différentiel dans un evn quelconque (cela exige de connaître pas mal de choses, autour de Hahn-Banach par exemple), cependant après quelques généralités j'avais fait toucher du doigt les choses en dimension $1$.
Donc, je me suis forcé à mettre des apparents conseils "de méthodes" (contre toutes mes convictions qu'il n'y a pas de "méthodes" en maths à mettre dans un cours mais peu importe, exigence éditoriale).
Cela dit, je suis très mécontent de moi, ça ne me va pas de simuler, donc si parmi vous (ça peut ne faire que 10-15 lignes sans latex), il y en a à qui vient un truc sincère en termes de "méthodes" qu'on peut mettre à des MPSI dans un tel bouquin... UN GEANT MERCI D AVANCE
Voici ce que j'ai écrit en me forçant, mais ça sent la "faire semblant":
SUPPRIME CAR FUTUR LIVRE EDITEUR PAS CONTENT SINON
Je ne vois pas très bien ce que la sourate machin-chose vient faire là-dedans. Il me semble en tout cas que l'exemple avec $x \mapsto 10^x$ est faux (inégalité dans le mauvais sens). Je n'ai pas lu la suite...
Brian: pardon en fait les slash ne passaient pas sur le forum j'ai copié collé ds le bloc note et utilisé l'outil remplacement mais débordé avec ma souris. De toute façon je vire le post dès que je suis si pc pour raison édition.
A l'oral de l'externe, j'ai bloqué sur la question de la continuité, mais ce n'est plus une méthode. Mais juste pour dire qu'une question si naturelle ne m'avait jamais effleuré l'esprit.
Cela dit :-D je vais y glisser quelques petites perles invisibles, t'inquiète. [small]Mais Chuuut[/small]. M'enfin ça restera très discret par respect pour les co-auteurs et l'éditeur.