Inégalité maximale d'une v.a positive

ken · April 2021

$(Y_k)_k$ est une surmatingale à valeurs dans $\mathbb{R}^+. $

En écrivant $\{\max_{1 \leq p \leq k}Y_p>\epsilon\},\ \epsilon>0,$ sous la forme d'une union disjointe, vérifier que $$P(\max_{1 \leq p \leq k}Y_p >\epsilon) \leq \frac{1}{\epsilon}E[Y_1].

$$ En considérant les ensembles $F_p= \bigcap_{r=1}^{q-1}\{Y_r \leq \epsilon\} \cap \{ Y_p>\epsilon\},$ on peut voir que $F=\{\max_{1 \leq p \leq k}Y_p >\epsilon\}=\bigcup_{p=1}^k F_p,$ alors $P(F)=\sum_{p=1}^kP(F_p) \leq \frac{1}{\epsilon}\sum_{p=1}^k \int_{F_p}Y_p,$ et si on remplace $Y_p$ par sa valeur, elle devient plus compliquées.

S'il vous plaît, avez-vous des idées comment continuer ? Est-ce vrai que $\sum_{p=1}^k \int_{F_p}Y_p \leq E[Y_1]$.
Merci.

aléa · April 2021

L'inégalité proposée à démontrer est manifestement fausse (prendre $X_0=0$).
Je suppose que $X_0$ doit être remplacé par $Y_k$.

ken · April 2021

L'inégalité est corrigée hier, peut etre sans la sauvegarder.

zazou · April 2021

Je propose quelque chose : soit $\ell$ un entier tel que $\ell\geq 2$. Notons $I_r=]\varepsilon \ell^r, \varepsilon \ell^{r+1}]$ et $\tau_r = \inf\left\{ p\geq 1 : Y_p\in I_r\right\}$ pour $r\in\mathbb{N}$. Alors :
$$\quad P\big(\max_{1\leq p\leq k}Y_p>\varepsilon\big) = \sum_{r=0}^\infty P\big(\max_{1\leq p\leq k}Y_p\in I_r\big)=\sum_{r=0}^\infty P\left(\tau_r\leq k\right).
$$ Or $Y_{\tau_r\land p}\geq \varepsilon\ell^r\mathbf{1}_{\left\{\tau_r\leq p\right\}}$ est une surmartingale. En faisant $p=k$ et en prenant l'espérance, on a $\mathbb{E}Y_{1}\geq \mathbb{E}Y_{\tau_r\land k}\geq \varepsilon \ell^rP(\tau_r\leq k)$. Il s'ensuit que
$$\forall \ell \geq 2 , \quad P\big(\max_{1\leq p\leq k}Y_p>\varepsilon\big)\leq \frac{\mathbb{E}Y_1}{\varepsilon}\times\frac{1}{1-1/\ell}.
$$ On obtient le résultat en faisant $\ell\rightarrow\infty$.