Classes propres

petit-o
petit-o
dans Fondements et Logique
Bonjour
Je travaille dans ZC sans l'axiome de fondation, sans le principe de collection.

J'essaie de montrer que si $\mathbf A$ est une classe propre (c'est-à-dire une classe qui ne forme pas un ensemble), alors tout ordinal s'injecte dans $\mathbf A$.

Avec le principe de collection et en raisonnant par l'absurde, j'y arrive (sauf erreur).
Mais je ne vois pas sans, c'est-à-dire en restant dans ZC. Je ne sais même pas si c'est vrai.
Si quelqu'un a une idée, je suis preneur ...
Merci d'avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Qu'est-ce que tu appelles principe de collection ?
  • petit-o
    petit-o
    Le "principe de collection" :

    Si pour tout $x\in X$, il existe $y$ tel que l'on ait $\phi(x,y)$, alors il existe $Y$ tel que pour tout $x\in X$ il existe $y\in Y$ tel que l'on ait $\phi(x,y)$.
  • Martial
    Martial
    @Poirot : comme tu le vois le schéma de collection est une variante "bâtarde" du remplacement. A priori ce n'est pas évident de comparer la force des 2 schémas, puisque dans Collection l'hypothèse est plus faible, mais la conclusion aussi.

    En fait, on peut démontrer les 2 résultats suivants, dans la théorie ZF sans l'axiome de fondation :
    1) Coll implique Rempl.
    2) Rempl + Fondation implique Coll.

    C'est fait dans le Krivine, ou dans mon chap 13, pages 18/19.
  • christophe c
    christophe c
    Vite fait quelques remarques (je ne sais pas si ton truc est prouvable) :

    1/ Via Zorn tu peux mettre un bon ordre sur toute partie $E$ de ta collection, et même sur tous les $P(E)$. La preuve de Zorn ne nécessite pas Collection.

    2/ Tu prends le plus petit ordinal $a$ qui ne s'injecte pas dans ta collection (donc tous ceux plus petits s'y injectent). A priori avec un peu de taf, tu as un bon espoir de terminer. Mais je n'ai pas la dispo pour vérifier les détails.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • petit-o
    petit-o
    @ CC
    Le problème, c'est quand l'ordinal $a$ est limite.
    Pour tout $b<a$, par hypothèse il existe une injection $f_b$ définie sur $b$ à valeurs dans $\mathbf A$.
    J'ai bien envie de considérer $\bigcup_{b<a} \mathrm{Im} f_b$, mais il me semble que pour cela il faut avoir au préalable "collecter" ces $f_b$, c'est à dire de définir $b\mapsto f_b$.
    En fait, j'aurai dû écrire "pour tout $b<a$, par hypothèse il existe une injection $f$ définie sur $b$ à valeurs dans $\mathbf A$".
    L'idée de bien ordonner certains ensembles se heurte aussi (pour moi du moins) à la construction/définition de ces ensembles qui doivent être suffisamment grands

    @ tous : si vous le voulez bien, je donne un deuxième problème (P2) dans le même ordre d'idée, peut-être plus simple mais un peu plus frappant, en tout cas que je n'arrive pas à résoudre :

    "dans ZC sans fondation et sans principe de collection,
    si $\mathbf A$ est une classe propre totalement ordonnée par l'inclusion et si $\kappa$ est un cardinal,
    alors la classe des éléments de $\mathbf A$ de cardinal $\kappa$ est-elle nécessairement un ensemble ?".
  • Martial
    Martial
    Pour ton P2, si tu n'as pas le remplacement tu peux construire $\aleph_1$,...,$\aleph_n$, ..., mais pas $\aleph_{\omega}$. Donc il se peut que les $\aleph_n$ soient les seuls cardinaux, auquel cas le problème n'a plus grand sens.
  • petit-o
    petit-o
    @ Martial : ok. Cependant, c'est le schéma de collection que je ne veux pas utiliser, pas le schéma de remplacement.
    Le cadre choisi est ZC : extensionnalité, réunion, partie, remplacement, infini, choix.
    J'aimerais savoir si (P2) est vrai sous ZC. J'ai la vague impression que non.

    [Pour information, dans les messages qui suivent, on m'a signalé à juste titre que "ZC" n'est pas la bonne terminologie : il n'y a pas le schéma de remplacement comme écrit ci-dessus, mais le schéma de séparation à la place. Merci @Martial.]

    Edit1: ce qu'il y a entre crochets.
  • Martial
    Martial
    Non, tu te trompes dans la terminologie : ZC ce n'est pas ça.
    ZC c'est extensionnalité, paire, union, parties, schéma de compréhension, infini, choix.

    Il n'y a pas du tout de remplacement dans ZC.
  • petit-o
    petit-o
    @ Martial : d'accord, je comprends mieux tes remarques. Je réitère donc mes questions dans ZC+remplacement (questions P1' et P2').
  • Poirot
    Poirot
    C'est moi ou c'est simplement $\mathsf{ZF}-\mathrm{fondation}$ du coup ?
  • petit-o
    petit-o
    @Poirot : Je crois que dans ZF, on ne met pas l'axiome du choix.
    Il me semble que c'est ZFC - fondation qui est équivalent à ZC+remplacement.
  • Poirot
    Poirot
    Oui je voulais parler de $\mathsf{ZFC}$ et pas $\mathsf{ZF}$.
  • Martial
    Martial
    @Poirot : il y a une ambiguïté au sujet de l'axiome de fondation AF. Certains auteurs, comme Krivine, ne le mettent pas dans ZF(C). La plupart des autres (Kunen, Jech, Dehornoy, et sans doute Kanamori) le mettent. Le tout c'est de préciser dès le début de quoi on parle.

    @petit-o : Compte tenu de ce que je viens de dire à Poirot, si tu veux qu'on ait une chance de t'aider il faut que tu précises si tu mets ou pas AF dans ZF, dans ZC et dans ZFC. Sinon on va s'embrouiller.
  • petit-o
    petit-o
    @ Martial : je réfléchis dans la théorie où l'on a droit aux axiomes suivants : extensionnalité, réunion, partie, remplacement, infini, choix.
    En particulier, je n'ai pas le droit à l'axiome de fondation.
  • Martial
    Martial
    OK.
    Pour le P2 je pense que tu peux jongler avec le fait qu'en l'absence de AF rien ne t'empêche de suppose qu'il existe une classe propre d'atomes, c'est-à-dire d'ensembles $a$ tels que $a= \{a\}$. Je ne sais pas bien comment l'écrire, mais à mon avis cela devrait t'aider à prouver que P2 est faux.
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