Classes propres
Bonjour
Je travaille dans ZC sans l'axiome de fondation, sans le principe de collection.
J'essaie de montrer que si $\mathbf A$ est une classe propre (c'est-à-dire une classe qui ne forme pas un ensemble), alors tout ordinal s'injecte dans $\mathbf A$.
Avec le principe de collection et en raisonnant par l'absurde, j'y arrive (sauf erreur).
Mais je ne vois pas sans, c'est-à-dire en restant dans ZC. Je ne sais même pas si c'est vrai.
Si quelqu'un a une idée, je suis preneur ...
Merci d'avance.
Je travaille dans ZC sans l'axiome de fondation, sans le principe de collection.
J'essaie de montrer que si $\mathbf A$ est une classe propre (c'est-à-dire une classe qui ne forme pas un ensemble), alors tout ordinal s'injecte dans $\mathbf A$.
Avec le principe de collection et en raisonnant par l'absurde, j'y arrive (sauf erreur).
Mais je ne vois pas sans, c'est-à-dire en restant dans ZC. Je ne sais même pas si c'est vrai.
Si quelqu'un a une idée, je suis preneur ...
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Réponses
Si pour tout $x\in X$, il existe $y$ tel que l'on ait $\phi(x,y)$, alors il existe $Y$ tel que pour tout $x\in X$ il existe $y\in Y$ tel que l'on ait $\phi(x,y)$.
En fait, on peut démontrer les 2 résultats suivants, dans la théorie ZF sans l'axiome de fondation :
1) Coll implique Rempl.
2) Rempl + Fondation implique Coll.
C'est fait dans le Krivine, ou dans mon chap 13, pages 18/19.
1/ Via Zorn tu peux mettre un bon ordre sur toute partie $E$ de ta collection, et même sur tous les $P(E)$. La preuve de Zorn ne nécessite pas Collection.
2/ Tu prends le plus petit ordinal $a$ qui ne s'injecte pas dans ta collection (donc tous ceux plus petits s'y injectent). A priori avec un peu de taf, tu as un bon espoir de terminer. Mais je n'ai pas la dispo pour vérifier les détails.
Le problème, c'est quand l'ordinal $a$ est limite.
Pour tout $b<a$, par hypothèse il existe une injection $f_b$ définie sur $b$ à valeurs dans $\mathbf A$.
J'ai bien envie de considérer $\bigcup_{b<a} \mathrm{Im} f_b$, mais il me semble que pour cela il faut avoir au préalable "collecter" ces $f_b$, c'est à dire de définir $b\mapsto f_b$.
En fait, j'aurai dû écrire "pour tout $b<a$, par hypothèse il existe une injection $f$ définie sur $b$ à valeurs dans $\mathbf A$".
L'idée de bien ordonner certains ensembles se heurte aussi (pour moi du moins) à la construction/définition de ces ensembles qui doivent être suffisamment grands
@ tous : si vous le voulez bien, je donne un deuxième problème (P2) dans le même ordre d'idée, peut-être plus simple mais un peu plus frappant, en tout cas que je n'arrive pas à résoudre :
"dans ZC sans fondation et sans principe de collection,
si $\mathbf A$ est une classe propre totalement ordonnée par l'inclusion et si $\kappa$ est un cardinal,
alors la classe des éléments de $\mathbf A$ de cardinal $\kappa$ est-elle nécessairement un ensemble ?".
Le cadre choisi est ZC : extensionnalité, réunion, partie, remplacement, infini, choix.
J'aimerais savoir si (P2) est vrai sous ZC. J'ai la vague impression que non.
[Pour information, dans les messages qui suivent, on m'a signalé à juste titre que "ZC" n'est pas la bonne terminologie : il n'y a pas le schéma de remplacement comme écrit ci-dessus, mais le schéma de séparation à la place. Merci @Martial.]
Edit1: ce qu'il y a entre crochets.
ZC c'est extensionnalité, paire, union, parties, schéma de compréhension, infini, choix.
Il n'y a pas du tout de remplacement dans ZC.
Il me semble que c'est ZFC - fondation qui est équivalent à ZC+remplacement.
@petit-o : Compte tenu de ce que je viens de dire à Poirot, si tu veux qu'on ait une chance de t'aider il faut que tu précises si tu mets ou pas AF dans ZF, dans ZC et dans ZFC. Sinon on va s'embrouiller.
En particulier, je n'ai pas le droit à l'axiome de fondation.
Pour le P2 je pense que tu peux jongler avec le fait qu'en l'absence de AF rien ne t'empêche de suppose qu'il existe une classe propre d'atomes, c'est-à-dire d'ensembles $a$ tels que $a= \{a\}$. Je ne sais pas bien comment l'écrire, mais à mon avis cela devrait t'aider à prouver que P2 est faux.