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Polonais, ouverts, parfaits

Salut à tous,

Comme d'hab ça doit être trivial mais je bute sur un point.

Je veux montrer que si $X$ est polonais, il existe une unique décomposition de $X$ sous la forme $X=P \cup D$, avec $P$ fermé parfait, $D$ ouvert dénombrable, et $P \cap D = \emptyset$.
Je lis dans un cours de théorie descriptive le début de preuve suivant :
"On pose $\mathscr U = \{U \subseteq X : U \text{ ouvert dénombrable}\}$.
On pose $D= \bigcup \mathscr U$.
$D$ est un ouvert dénombrable, donc $D \in \mathscr U$. (En fait $D$ est le plus grand élément de $\mathscr U$).
On pose $P=X \setminus D$, puis on montre que $P$ est parfait, puis que la décomposition est unique, blablabla".

Ce qui me gêne c'est : pourquoi $D$ est-il dénombrable ? Pour cela il faudrait se convaincre qu'il y a au plus une quantité dénombrable d'ouverts dénombrables, et je ne sais pas comment faire.

Merci d'avance

Martial

Réponses

  • Salut,
    Si $X$ est polonais, alors il est à base dénombrable d'ouverts, tu peux donc réécrire ton $D$ comme une union dénombrable d'ouverts dénombrables, donc $D$ est un ouvert dénombrable.
  • Non, il peut y avoir bcp d'ouverts dénombrables sans que leur réunion dépasse le dénombrable, comme il y a bcp de parties de $\N$.

    Il est dans la définition d'un polonais que $D$ soit dénombrable je crois. (Enfin il me semble qu'on exige qu'un polonais soit séparable).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • HS: C'est marrant les coincidences, je passais vraiment par là par hasard, et ça arrive assez souvent qu'au même moment on soit plusieurs à poster j'ai remarqué. Mais en fait, ce ne serait pas probabilistiquement étonnant (comme les anniversaires le même jour dans une classe). HSOFF
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Merci à tous deux.

    @Bwah : je savais bien qu'il fallait utiliser l'existence d'une base dénombrable, mais je n'arrivais pas à le formuler.

    @Christophe : oui, un polonais est un espace complètement métrisable et séparable (ou à base dénombrable d'ouverts, ça revient au même dans le cas métrique).
    Oui, ce genre de phénomène se produit assez souvent, et c'est peut-être lié, comme tu dis, au problème des anniversaires.
  • Sorry, j'ai encore une question concernant cette satanée preuve.
    C'est pour démontrer l'unicité de la décomposition. Je garde les mêmes notations que ci-dessus.

    On sait que $X=P \cup D$. Supposons que $X= P' \cup D'$, avec les mêmes propriétés. Comme $D$ est le plus grand élément de $\mathscr U$, on a $D' \subseteq D$, donc $P \subseteq P'$.
    Si $P \subsetneqq P'$, alors $P' \cap D \neq \emptyset$.

    Jusque là, OK

    Mais après il est écrit : "donc, $P' \cap D$ est un ouvert non vide de $X$, qui de plus est dénombrable".
    non vide : OK
    dénombrable : OK
    mais pourquoi ouvert ? C'est l'intersection d'un fermé avec un ouvert...
  • $P' \bigcap D$ est un ouvert de $P'$, je crois que c'est suffisant pour ta preuve, non ?
  • @Bwah : merci. Evidemment ! Je cherche des complications là où il n'y en a pas.

    Je dois trouver que la settheory est trop facile, lol.
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