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Détermination borélienne (pour les nuls)

Comme la discussion qui s'est ouverte dans le fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2202994,2202994#msg-2202994 est d'un niveau élevé j'hésite à poser des questions simples de peur qu'elles soient idiotes.

Le jeu est dépeint ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2202994,2208102#msg-2208102
Une première observation est que si $X$ a un trou pair c'est Lea qui gagne.

Par trou pair j'entends une coordonnée d'indice paire suivant laquelle la projection de $X$ dans $\omega$ n'est pas surjective.
Je dirais dans ce cas que $X$ est Lea-trivial au rang 0.
L'intersection de $X$ avec les éléments de $\omega^\omega$ qui commence par une suite finie $f$, je le note $X_f$.
Je note aussi pour deux suites $u_n$ et $v_n$, $w=:u+v$ la suite telle que $ w_{2n+1}= v_n $ et $w_{2n}= u_n$.
S'il existe une suite finie $v$ de coup de Lea telle que pour toute suite $x$ de coups précédents de Bob, $ X_{x+v} $ a un trou pair, je dis que $X$ est Lea-trivial en $f $ ou à l'ordre "taille de $ f$", ou Lea-trivial tout court si ça arrive pour au moins un $f$.

On a la même notion avec la Bob-trivialité en remplaçant $X$ par son complémentaire, Bob par Lea, Lea par Bob, pair par impair,etc.

Il est évident que dans le cas Lea-trivial c'est Lea qui gagne. J'aurais tendance à dire (par "compacité", dans le cas où on a le droit qu'a répondre $0$ ou $1$) que si $X$ n'est pas Lea-trivial, alors Bob gagne, et ce quel que soit $X$ borélien ou pas... mais on pourrait très bien imaginer un $X$ qui soit non Lea-trivial avec $X^c$ non Bob-trivial non plus. (Appelons cette situation la situation * ambiguë *).

Est-ce que déterminé équivaut à non ambigu ?

Réponses

  • Précision : je ne peux pas ouvrir de fichier sur le téléphone (ça bug) et il n'y a rien sur wikipedia, enfin je n'ai rien trouvé... mais si quelque un trouve un lien qui ne nécessite aucun téléchargement et où on parle de ça, je suis preneur... en effet, sans documents, je risque sinon d'inventer une terminologie spécifique là où il y a déjà un vocabulaire standard...N’hésitez pas à rectifier si ça arrive...
    Merci d'avance.
  • Je ne vais guère pouvoir t'aider, juste deux trois bricoles :
    1) On dit "détermination borélienne", et non pas "déterminisme borélien". Le déterminisme c'est autre chose.
    2) Dans la littérature les suites finies sont plutôt notées $s$, et le truc que tu appelles $X_f$ est en général noté $N_s$. Si l'ensemble $E$ sur lequel les mouvements sont joués est dénombrable, la famille des $N_s$ pour $s \in E^{< \omega}$ forme une base dénombrable d'ouverts fermés (clopen sets) pour la topologie de $E^{\omega}$.
    3) Je ne comprends rien à ton histoire de trous pairs ou de jeux lea-trivial ou bob-trivial.
    4) Oui, en gros ambigu doit correspondre à déterminé, mais pourquoi inventer un nouveau mot pour dire la même chose ? C'est un peu comme si tu appelais un ouvert un gluckmuche.
    5) Ton histoire de $w=u+v$ me paraît un peu cheloue, et surtout je ne vois pas à quoi elle sert.
    6) Ça m'énerve, parce que toutes les définitions et notations sont dans mon chap 23, même s'il est fortement inachevé et avec sûrement beaucoup de coquilles. En plus de ça c'est gratos. Mais évidemment si tu ne peux rien télécharger c'est un peu délicat.
    7) Tu n'as pas d'autre accès Internet que ton téléphone ?
  • Je vois que pendant que j'étais en train d'écrire tu as remplacé "déterminisme" par "détermination". C'est bien, mais dans ce cas il va falloir rajouter "ne" à la fin de "borélien", sinon tu vas te faire remonter les bretelles par AD*.

    *Bien entendu, loin de moi l'intention de produire quelque jeu de mots que ce soit.
  • LMPC : Non, bien sûr qu'il y a des jeux déterminés qui ne sont ni Léa-trivial ni Bob-trivial; et Bob peut ne pas gagner même si $X$ n'est pas Léa-trivial.
    La Léa-trivialité est extrêmement forte car elle impose une victoire à un moment fini où on n'a plus à réfléchir. Regardons par exemple le jeu suivant: Léa gagne si et seulement si elle recopie les mouvements de Bob (i.e. $X$ est l'ensemble des suites telles que $x_0$ est quelconque et $x_{2n+2} = x_{2n+1}$). Alors, clairement Léa a une stratégie gagnante; pour autant le jeu n'est pas Léa-trivial .

    Les situations du style Léa-trivial ou Bob-trivial sont moralement des situations de type "ouvert-fermé" (techniquement dans un jeu Léa-trivial, Léa n'a pas gagné "si et seulement si" elle a gagné a un instant fini, mais il y a un instant fini où elle n'a plus à réfléchir pour gagner), les situations boréliennes générales sont bien plus complexes (et donc les non boréliennes.... ). Plus précisément, si c'est Léa-trivial, alors le jeu contient un gros ouvert sur lequel Léa gagne

    Martial : attention, $N_s$ ne correspond pas exactement au $X_s$ de LMPC, $X_s = X\cap N_s$
  • Merci pour vos réponses!

    Je ne peux pas trop écrire maintenant mais merci Max, pour cette exemple qui montre que Lea-trivial n'implique en rien Lea a une SG !

    En fait j'ai l'impression que Lea -trivial implique Lea gagne si notamment X est compact. Peut-être qu'en approchant X par des compacts on peut dire des choses....

    Je retourne à ma partie de poker^^
  • LMPC : mon exemple montre que "Lea a une SG" n'implique pas "Lea-trivial".
    Lea-trivial, si tu imposes que le trou soit juste après $x+u$ , ça donne bien une SG
  • Oui c'est une coquille je voulais dire que "non lea-trivial " n'implique pas lea SG^^


    Je viens de perdre au poker, tant mieux, j'avais envie de réfléchir à un jeu un tout petit plus déterminé (:P)
  • @Max : tu as probablement raison, mais je ne sais pas exactement qu'est-ce que LMPC appelle $X$. Il jongle sur plusieurs fils, et j'ai la flemme d'aller voir.
  • @Martial, oui c'est bien l'intersection avec de $X$ le but du jeu, avec $N_s$ que j'appelais $X_s$, mais je suis content d'avoir la terminologie standard pour $N_s$.


    Sinon il y a un cas trivial où le jeu s'arrête, c'est si une suite de $X$ ne s'écrit pas $x+s$ pour un de $s$ Lea et tout $x$ de Bob, autrement dit si il existe $s\in \omega^\omega$ tel que $w_{2n+1} \ne s $ pour tout $w\in X$.

    Peut-être que je devrais donner cette definition pour Lea-trivial. Cette notion. a peut-être une dénomination standard aussi ?
  • A modifier plus tard.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Idées en vrac et demande terminologique si notion standard.


    Si pour toute stratégie de Bob, Lea en a une qui gagne je dit que $X^c$ est quasi gagnant à droite , ou non perdant à droite .(même chose pour bob, en intervertissant $X$ et $X^c$ et droite et gauche).

    Si Lea a une stratégie gagnante , on dit que $ X^c$ est gagnant à droite. Si Bob a une stratégie gagnante $X$ est gagnant à gauche.

    Ce que je vais dire contient des évidences mais c'est pour vérifier que j'ai bien saisi le problème, et puis c'est pour les nuls (cf titre)



    1) est-ce que déterminé signifie : non-perdant = gagnant ?
    2) si X est gagnant à droite alors complémentaire de X est gagnant à gauche
    3) si X est gagnant à gauche et Y contient X, alors Y est gagnant à gauche

    Moins évident :

    4) si $ A $ et $B $ sont bob gagnants et $A\cap B$ bob non perdant , a t-on $A\cap B$ bob -gagnant?

    5) et si on faisait le même jeu mais en jouant non pas des entiers mais des stratégies....est-ce dans les preuves connues ?

    6) est-ce que dans les preuves connues, à un moment , on met une mesure sur les boreliens.

    7) les ensemble gagnants à gauche et à droite jouent-ils un rôles. Peut-on se limiter à eux? Sont-ils les plus nombreux ?
  • LMPC a écrit:
    Je retourne à ma partie de poker

    D'après ce qu'on m'a dit, la bonne manière de gagner au poker est d'être très patient et ne pas prendre de risque et que ça peut durer des centaines d'heures. Je vois qu'on avait su inventer les maisons de repos non médicalisées très tôt dans l'histoire humaine en leur donnant un cachet qui améliore l'allure et l'image de leurs pensionnaires :-D

    Idée sérieuse: est-ce qu'on ne gagnerait pas à développer institutionnellement les parties de poker dans les HP (département des dépressions)? Cela permettrait aux patients de se sentir "cowboyisés" et donc valorisés (au moins pour les mecs)

    HS OFF
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  • @CC tu veux que je t'apprenne à jouer ?

    Sinon question en plus des 7 autres : est-ce que le cas où le borelien est invariant par translation finie est "strictement plus facile" que le cas général ?

    Je repose aussi la 4 autrement : est-ce que l'ensemble des déterminés forme un treillis ? (Resp. une algèbre de Boole resp. une tribu)
  • - Qu'appelles-tu invariant par translation finie?

    - Non, tu peux prendre facilement des jeux déterminés et faire que leur intersection soit n'importe quoi de ton choix (évidemment, sous AD, par exemple, c'est $P(\R)$).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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